Vídeo: Calcular el área delimitada por dos o más curvas

En este vídeo vamos a aprender cómo usar integración para hallar el área delimitada por las gráficas de dos o más funciones.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar el método de integración para calcular el área delimitada por las gráficas de dos o más funciones. Para mejor aprovechar este vídeo, debes saber ya cómo aplicar diversas técnicas de integración para calcular integrales definidas e indefinidas. Ahora veremos cómo la integración puede ayudarnos a hallar el área de regiones que se encuentran delimitadas por las gráficas de dos o más funciones.

Considera la región que se encuentra entre la curva con ecuación 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥, que está delimitado por las rectas verticales 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏. Hemos pintado esta región de color rosa. Si 𝑓 es una función continua, sabemos que podemos calcular el área de esta región integrando la función 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 entre los límites 𝑎 y 𝑏.

Vamos a añadir otra curva al diagrama. Esta vez, la curva tiene la ecuación 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, donde 𝑔 es continua y 𝑔 de 𝑥 es menor o igual que 𝑓 de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏. De nuevo, podemos hallar el área de la región entre la curva 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 y el eje de las 𝑥 y estas dos rectas verticales, y hemos pintado esta región de color amarillo, que corresponde a la integral de 𝑔 de 𝑥 entre los límites de 𝑎 y 𝑏.

Ahora podemos ver que, si restamos el área entre la curva de 𝑔 de 𝑥 y el eje de las 𝑥 al área entre la curva de 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥, obtendremos la región 𝐴 tres. Esta es la región entre las dos curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥. Por lo tanto, podemos decir que el área 𝐴 tres de la región delimitada por 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥 es la integral de 𝑓 de 𝑥 calculada entre 𝑎 y 𝑏 menos la integral de 𝑔 de 𝑥 calculada entre 𝑎 y 𝑏.

Pero también sabemos que la suma o la diferencia de la integral de dos funciones es igual a la integral de la suma o la diferencia de esas funciones. Por lo tanto, podemos decir que el área es igual a la integral de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥 calculada entre 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏. Esto nos lleva a nuestro primer resultado. El área 𝐴 de la región delimitada por las curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, y las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, donde 𝑓 y 𝑔 son continuas y 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que 𝑔 de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, es la integral definida de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 calculada entre los límites 𝑎 y 𝑏.

Fíjate en que aquí 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que 𝑔 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 entre 𝑎 y 𝑏, ambos inclusive. Vamos a tener que fijarnos bien en aquellas situaciones en las que este no sea el caso, y aplicar algo de lógica. Pero, de momento, vamos a ver la aplicación de esta fórmula.

Halla el área de la región encerrada por las curvas 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 y 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 al cuadrado.

Recuerda que el área de la región encerrada por las curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, y las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 para las funciones continuas 𝑓 y 𝑔, las cuales son tales que 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que 𝑔 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, es la integral definida entre los límites 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. Así que vamos a tener que definir las funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 con mucho cuidado, así como los valores de 𝑎 y 𝑏, asegurándonos de que 𝑓 de 𝑥 es mayor que 𝑔 de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏.

Las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 señalan el comienzo y el final de la región que nos interesa. Entonces, ¿cuáles son las ecuaciones de estas rectas? Son las abscisas 𝑥 de los puntos en los que las dos gráficas se cortan. Así que igualamos las ecuaciones tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 y menos cinco 𝑥 al cuadrado, y despejamos 𝑥.

Primero sumamos cinco 𝑥 al cuadrado a ambos lados. A continuación factorizamos la expresión en el lado izquierdo sacando el factor común 𝑥. Y obtenemos que 𝑥 por ocho 𝑥 menos cinco es igual a cero. Como sabemos, para que esta igualdad sea cierta, 𝑥 debe ser igual a cero u ocho 𝑥 menos cinco debe ser igual a cero. Para resolver la ecuación de la derecha, sumamos cinco y luego dividimos por ocho. Y obtenemos que 𝑥 es igual a cinco octavos.

Como podemos ver, las coordenadas 𝑥 de los puntos de intersección de las dos curvas son cero y cinco octavos. Por lo tanto, 𝑎 es igual a cero y 𝑏 es igual a cinco octavos. Ahora tenemos que decidir qué función es 𝑓 de 𝑥 y qué función es 𝑔 de 𝑥. Así que vamos a dibujar las gráficas de 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 y de 𝑦 igual a cinco 𝑥 al cuadrado. Queremos saber cuál de las curvas se encuentra en la parte de arriba.

Sabemos que la gráfica de 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 es una parábola con forma de U. Y podemos factorizar la expresión tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥, igualarla a cero, y hallar 𝑥. Vemos que pasa por el eje de las 𝑥 en cero y cinco tercios. Así que tiene más o menos este aspecto. La gráfica de 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 al cuadrado es una parábola invertida que pasa por el origen de coordenadas. De esta forma hemos obtenido la región coloreada.

Podemos observar que en el intervalo cerrado de cero a cinco octavos la función que está en la parte de arriba es la función definida por 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 al cuadrado. Así que podemos decir que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos cinco 𝑥 al cuadrado. Y, por lo tanto, 𝑔 de 𝑥 es tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥. Por lo tanto, el área que queremos hallar estará dada por la integral definida calculada entre cero y cinco octavos de menos cinco 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 con respecto a 𝑥.

Desarrollamos el paréntesis y vemos que nuestro integrando se convierte en menos ocho 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥. Pero, un momento, sabemos que cuando calculamos un área que se encuentra por debajo del eje de las 𝑥, obtenemos un resultado bastante curioso. Obtenemos un valor negativo. Tal vez conviene que pauses el vídeo un momento para que puedas pensar en lo que significa esto en este ejemplo. ¿Ya lo sabes? Podemos ver que toda nuestra región se encuentra por debajo del eje de las 𝑥 y estamos calculando la diferencia entre las áreas. Por lo tanto, los resultados negativos que obtendríamos al integrar cada función por separado se cancelarán entre sí. Muy bien, ahora lo que nos queda es calcular la integral.

La integral de menos ocho 𝑥 al cuadrado es menos ocho 𝑥 al cubo sobre tres. Y la integral de cinco 𝑥 es cinco 𝑥 al cuadrado sobre dos. Tenemos que calcular esto entre cero y cinco octavos, que es menos ocho tercios de cinco octavos al cubo más cinco medios por cinco octavos al cuadrado menos cero. Eso es 125 sobre 384 unidades cuadradas. Este problema era bastante sencillo, pues la curva de 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 al cuadrado era mayor o igual que la curva 𝑦 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos cinco 𝑥 en el intervalo que nos interesaba.

Vamos a ver qué pasaría si este no fuera el caso.

Las siguientes curvas son 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 y 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado. ¿Cuál es el área de la región coloreada? Da una respuesta exacta.

Como ya hemos visto, el área de la región delimitada por las curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, y las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 para las funciones continuas 𝑓 de 𝑔, cuando 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que 𝑔 de 𝑥 para los valores de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, está dada por la integral definida calculada entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥.

Como ves, tenemos un pequeño problema aquí. Podemos ver que la región está limitada por las rectas verticales 𝑥 igual a 0.5 y 𝑥 igual a dos. Pero en el intervalo cerrado 𝑥 de 0.5 a dos, una de las funciones no es siempre mayor o igual que la otra. Así que no podemos aplicar este resultado. Pero si descomponemos la región un poco, sí que podemos hacerlo. Y para ello hemos añadido una tercera recta en el punto donde se cortan las dos curvas. Esta recta tiene la ecuación 𝑥 igual a uno.

En el intervalo cerrado de 0.5 a uno, los valores de la línea roja son siempre mayores o iguales que los de la línea verde. Y en el intervalo cerrado 𝑥 entre uno y dos, ocurre lo contrario. Así que vamos a descomponer la región y a sumar los valores al final. Vamos a calcular el área de la primera región, 𝑅 uno. Para hacerlo, vamos a tener que comprobar de nuevo qué curva es cuál. Es más probable que la línea roja sea uno sobre 𝑥 al cuadrado. Pero para asegurarnos vamos a elegir un par de coordenadas y sustituir estos valores.

Podemos ver que la curva pasa por el punto con coordenadas 0.5, 4. Así que vamos a sustituir 𝑥 igual a 0.5 en la ecuación 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado. Al hacerlo obtenemos 𝑦 igual a uno sobre 0.5 al cuadrado, que es uno sobre 0.25, que es cuatro, tal y como se nos pide. Así que la línea roja tiene la ecuación 𝑦 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado y la línea verde tiene la ecuación 𝑦 igual a uno sobre 𝑥. Calculamos el área de 𝑅 uno y obtenemos que 𝑓 de 𝑥 es uno sobre 𝑥 al cuadrado y que 𝑔 de 𝑥 es uno sobre 𝑥.

Por lo tanto, el área está dada por la integral definida entre los límites 0.5 y uno de uno sobre 𝑥 al cuadrado menos uno sobre 𝑥. Ahora solo nos queda calcular la integral. Y es mucho más fácil de hacer si reescribimos uno sobre 𝑥 al cuadrado como 𝑥 elevado a menos dos y luego usamos algunos resultados generales. Para integrar 𝑥 elevado a menos dos, aumentamos el exponente en uno y luego dividimos por el nuevo número. Y obtenemos 𝑥 elevado a menos uno sobre menos uno, que es menos uno sobre 𝑥. Y la integral de uno sobre 𝑥 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥. Así que nuestra integral es menos uno sobre 𝑥 menos el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥.

Ahora calculamos esto entre 𝑥 igual a 0.5 y 𝑥 igual a uno. Eso es menos uno sobre uno menos el logaritmo neperiano de uno menos menos uno sobre 0.5 menos el logaritmo neperiano de 0.5. Fíjate en que ya no tenemos el símbolo del valor absoluto, pues uno y 0.5 ya son valores positivos. El logaritmo neperiano de uno es cero. Menos uno sobre uno es menos uno. Y menos uno sobre 0.5 es dos. Hemos expresado el logaritmo neperiano de 0.5 como el logaritmo neperiano de un medio y desarrollado los paréntesis. Esto se simplifica a uno más el logaritmo neperiano de un medio.

Algo muy importante que debes saber hacer es identificar cuándo se puede seguir simplificando un logaritmo. Reescribimos el logaritmo neperiano de un medio como el logaritmo neperiano de dos elevado a menos uno. Y luego usamos el hecho de que logaritmo neperiano de 𝑎 elevado a 𝑏 es igual a 𝑏 por el logaritmo neperiano de 𝑎. Por lo tanto, obtenemos que el área exacta de la primera región 𝑅 uno es uno menos el logaritmo neperiano de dos.

Vamos a dejar espacio y a repetir este procedimiento para obtener el área de la región dos. Esta vez, la línea verde está por encima de la línea roja, así que hacemos 𝑓 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 igual a uno sobre 𝑥 al cuadrado. Nuestra área es la integral definida entre uno y dos de uno sobre 𝑥 menos uno sobre 𝑥 al cuadrado que, al integrarse, nos da el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más uno sobre 𝑥. Calculamos entre los límites de integración uno y dos, y obtenemos el logaritmo neperiano de dos más un medio menos el logaritmo neperiano de uno más uno, que es igual al logaritmo neperiano de dos menos un medio.

Como queremos hallar el área de toda la región vamos a añadir estos dos valores. Es uno menos el logaritmo neperiano de dos más el logaritmo neperiano de dos menos un medio, que se simplifica a un medio. El área de la región coloreada es, pues, media unidad de área. En este ejemplo hemos visto que la fórmula para calcular el área puede aplicarse para hallar el área comprendida entre dos curvas incluso si ocurre que una curva está por encima de la otra en parte del intervalo de integración y ocurre lo contrario en la otra parte del intervalo, siempre y cuando descompongamos la región haciendo uso del punto en el que se cortan las curvas.

Vamos a ver cómo podemos desarrollar más este método para ser capaces de hallar áreas de regiones delimitadas por tres curvas.

Halla el área de la región delimitada por las curvas 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado, 𝑦 igual a menos 𝑥 y 𝑦 igual a raíz cuadrada de 𝑥. Redondea la respuesta a una cifra decimal.

Recuerda que, para las funciones continuas 𝑓 y 𝑔, el área de la región delimitada por las curvas 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥, y las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏, cuando 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que 𝑔 de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, viene dada por la integral calculada entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. Aquí debemos prestar mucha atención, pues tenemos tres curvas. Vamos a comenzar representando lo que tenemos, para ver cómo resolverlo.

El área delimitada entre las tres curvas tiene más o menos este aspecto. Y vamos a hacer uso del resultado que hemos visto antes, pero vamos a hacerlo con bastante maña. Descomponemos nuestra región en una región por encima del eje de las 𝑥 y una región por debajo del eje de las 𝑥. Vamos a descomponerla un poco más. Como ves, tenemos 𝑅 uno, que es la región que se encuentra entre el eje de las 𝑥 y la curva 𝑦 igual a raíz de 𝑥 entre 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a 𝑏. Donde 𝑏 es la coordenada 𝑥 en el punto de intersección de la curva 𝑦 igual a la raíz de 𝑥 y 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado.

Luego tenemos 𝑅 dos. Esa es la región entre 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado, 𝑥 igual a 𝑏 y 𝑥 igual a dos. Hemos elegido 𝑥 igual a dos como el límite superior porque es el valor de 𝑥 en el punto en el que la curva corta el eje de las 𝑥. Vamos a dividir una de nuestras tres regiones en dos regiones más para facilitarnos las cosas. Pero vamos a calcular primero el área de 𝑅 uno y 𝑅 dos. Así que tenemos que hallar el valor de 𝑏.

Hemos dicho que es la coordenada 𝑥 en el punto de intersección de las dos curvas, cuatro menos 𝑥 al cuadrado y raíz de 𝑥. Así que vamos a igualarlas para hallar 𝑥. Y obtenemos que 𝑥 es, con tres cifras decimales, 1.648. Así que 𝑏 es igual a 1.648. Podemos calcular cada una de estas integrales a mano o con una calculadora gráfica. El área de 𝑅 uno resulta ser 1.4104, etcétera. Y el área de 𝑅 dos es 0.23326, etcétera

Vamos a calcular ahora el área de 𝑅 tres. Es la integral entre cero y dos de menos 𝑥 calculada con respecto a 𝑥. Debemos tener algo de cuidado aquí, pues esto está por debajo del eje de las 𝑥 y, por lo tanto, dará un resultado negativo en la integración. De hecho, el resultado es menos dos. Y podemos decir que el área es el valor absoluto de esto. Es dos. También podríamos haber usado la fórmula del área de un triángulo para calcular esta área.

El área de 𝑅 cuatro es la integral definida entre dos y 𝑐 de cuatro menos 𝑥 al cuadrado menos menos 𝑥. Y aquí, 𝑐 es la coordenada 𝑥 del punto de intersección de las curvas 𝑦 igual a menos 𝑥 y 𝑦 igual a cuatro menos 𝑥 al cuadrado. De nuevo, igualamos cuatro menos 𝑥 al cuadrado a menos 𝑥 y despejamos 𝑥. Y obtenemos, con tres cifras decimales, que se intersecan en el punto donde 𝑥 es igual a 2.562. Escribimos esto en la calculadora y obtenemos que el área de esta región es 0.59106. Y hallamos el total de estos cuatro valores, que es 4.2347, que, redondeado a una cifra decimal, es 4.2 unidades de área.

En este vídeo hemos aprendido cómo usar el resultado que dice que el área entre dos curvas es igual a la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥, para las funciones continuas 𝑓 y 𝑔, cuando 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que 𝑔 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏. También hemos visto que, para hallar el área de regiones más complicadas — como aquellas delimitadas por tres o más curvas, o regiones que tienen partes por encima y partes por debajo del eje de las 𝑥, o aquellas en las que 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 se intercambian — lo mejor es descomponer la región cuantas veces haga falta.

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