Lesson Video: Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos

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En este video, vamos a ver cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos. ¿Cómo resolvemos algo de la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, en donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 pueden ser números complejos?

Recordemos que el discriminante de una ecuación cuadrática 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero es 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐. El discriminante es a menudo representado por Δ mayúscula. En una ecuación cuadrática con coeficientes reales, el discriminante nos permite determinar la naturaleza de sus raíces.

Existen tres posibilidades. Si el discriminante es positivo, tenemos dos raíces reales. Si es cero, tenemos una raíz real repetida. Y si es negativo, tenemos un par de conjugados complejos de raíces complejas. Pero esto es cierto solo si la ecuación cuadrática tiene coeficientes reales, es decir si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales.

Vamos a ver qué podemos decir si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales. Pero primero, veamos cómo resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos. Tenemos la expresión familiar 𝑎𝑧 al cuadrado más 𝑏𝑧 más 𝑐 igual a cero. Pero lo que es nuevo es que los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐 pueden ser números complejos.

Si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son reales, aplicamos la fórmula cuadrática. Pero tal vez no sea obvio que esta fórmula cuadrática todavía aplica cuando 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos. Así que volvamos a derivar la fórmula cuadrática completando el cuadrado, revisar cada paso que vamos a usar es válido aun cuando 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos y no solo reales.

Podemos dividir ambos lados para 𝑎 hacer que el coeficiente de 𝑧 sea uno al cuadrado. Y ahora queremos completar el cuadrado, escribiendo 𝑧 al cuadrado más 𝑏 sobre 𝑎𝑧 como un cuadrado. Obtenemos 𝑧 más algo al cuadrado. Y este algo es la mitad del coeficiente de 𝑧, de mitad de 𝑏 de 𝑎, que es 𝑏 sobre dos 𝑎. Y si lo desarrollamos, vemos que en realidad obtenemos 𝑧 al cuadrado más 𝑏 sobre 𝑎𝑧. Pero también obtenemos un término de 𝑏 al cuadrado sobre cuatro 𝑎 al cuadrado. Necesitamos restar este término para obtener 𝑧 al cuadrado más 𝑏 sobre 𝑎𝑧. Hacemos esta sustitución sabiendo que la respuesta que hemos hallado es cierta tanto para los números complejos como para los números reales.

Ahora, podemos restar los términos constantes de ambos lados. Y podemos combinar las dos fracciones en el lado derecho, obteniendo 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 sobre cuatro 𝑎 al cuadrado. Aquí viene la parte difícil, necesitamos hallar las raíces cuadradas. En efecto, la respuesta es lo que esperamos según nuestra experiencia con números reales. Podemos verificar elevando al cuadrado la última línea y observando que obtenemos la línea sobre ella. Y según el teorema fundamental del álgebra, no puede haber ninguna solución que hayamos pasado por alto. Tenemos un polinomio de grado dos, por lo que esperamos dos raíces. Y estas dos raíces están dadas por las opciones más y menos en el lado derecho. No puede haber más opciones.

Todo lo que nos queda por hacer es restar 𝑏 sobre dos 𝑎 en ambos lados. Y después obtenemos la fórmula cuadrática que tanto nos gusta. 𝑧 igual a menos 𝑏 más o menos raíz de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 todo sobre dos 𝑎. Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta formula.

Resuelve 𝑧 al cuadrado más cinco 𝑖𝑧 menos dos igual a cero.

Resolvemos usando la ecuación cuadrática. La fórmula nos dice que la ecuación 𝑎𝑧 al cuadrado más 𝑏𝑧 más 𝑐 igual a cero tiene como solución 𝑧 igual a menos 𝑏 más o menos raíz de 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐 todo sobre dos 𝑎. Y esta fórmula aplica incluso si los coeficientes 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números complejos y no solo números reales. Así que podemos aplicarlo a nuestro problema.

¿Qué es menos 𝑏? Bueno, el coeficiente de 𝑧 es cinco 𝑖. Es decir menos cinco 𝑖. Después tenemos más o menos la raíz cuadrada de 𝑏 al cuadrado, que es por supuesto 𝑖 al cuadrado. Y partiendo de esto, restamos cuatro de 𝑎, que es tres, por 𝑐, que es menos dos. Y finalmente, dividimos por dos 𝑎, 𝑎 que equivale a tres.

Y lo siguiente es simplificar. No vemos mucho de menos cinco 𝑖 en este momento. Pero cinco 𝑖 al cuadrado es menos 25. Y cuatro por tres por menos dos es menos 24. Dos por tres es seis. Y podemos simplificar más bajo el radical. Menos 25 menos menos 24 es menos 25 más 24, que es menos uno. Y podemos ver que tenemos un discriminante negativo. Y sabemos que la raíz cuadrado de menos uno es. Es 𝑖. Por lo tanto las dos soluciones son 𝑧 igual a menos cuatro 𝑖 sobre seis y 𝑧 igual a menos seis 𝑖 sobre seis. Podemos simplificar las soluciones a 𝑧 igual a menos dos tercios 𝑖 y 𝑧 igual a menos 𝑖.

Tengamos en cuenta que aunque aquí tenemos un discriminante negativo, nuestras dos soluciones no son conjugados complejos. Si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene un discriminante negativo, obtenemos dos soluciones conjugadas complejas. Sin embargo, no hay garantías cuando tenemos un coeficiente imaginario como lo hacemos aquí.

Resuelve 𝑧 al cuadrado más dos más 𝑖 por 𝑧 más 𝑖 igual a cero.

Usamos la fórmula cuadrática, reemplazando los coeficientes por 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Podemos simplificar bajo el radical. Dos más 𝑖 al cuadrado es dos al cuadrado, que es cuatro, más dos por, dos por 𝑖, que es cuatro 𝑖, más 𝑖 al cuadrado, que es menos uno. Y partiendo de esto, restamos cuatro por uno por 𝑖, que es cuatro 𝑖. Vemos que los términos que incluyen 𝑖 se cancelan. Y solo nos queda un cuatro menos uno, que es tres bajo el radical.

Nótese que tenemos un discriminante positivo aquí. Hay un poco más de simplificación por hacer. Dos por uno en el denominador es dos. Y podemos distribuir el signo menos en el paréntesis. Haciendo esto y ordenando los términos, obtenemos menos dos más o menos raíz de tres menos 𝑖 sobre dos. Por lo tanto nuestras soluciones son 𝑧 igual a menos dos más raíz de tres sobre dos menos 𝑖 sobre dos y 𝑧 es igual a menos dos menos raíz de tres sobre dos menos 𝑖 sobre dos.

Tengamos en cuenta que aunque nuestra ecuación tiene un discriminante positivo, no obtenemos dos soluciones reales. Si una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene un discriminante positivo, obtenemos dos soluciones reales. Sin embargo, nuestra ecuación cuadrática tiene algunos coeficientes imaginarios. Y, como hemos visto, no deberíamos esperar que tenga dos raíces reales.

Resuelve dos más tres 𝑖 por 𝑧 al cuadrado más cuatro 𝑧 menos seis 𝑖 más cuatro igual a cero.

Usamos la fórmula cuadrática. Reemplazamos los valores de los coeficientes por 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Y simplificamos. En el denominador, obtenemos cuatro más seis 𝑖. En el numerador, obtenemos menos cuatro más o menos un radical grande. Y dentro de ese radical, cuatro al cuadrado es 16. Y de eso, restamos cuatro veces el producto de 𝑎 y 𝑐. Cuando distribuimos, vemos que los términos que incluyen 𝑖 se cancelan. Y solo nos queda ocho más 18, que es 26. 16 menos cuatro por 26 es menos 88.

Debemos considerar que tenemos un discriminante negativo aquí. La raíz cuadrada de menos 88 es 𝑖 por la raíz cuadrada de 88 o dos 𝑖 por la raíz cuadrada de 22. Es tentador decir que esta es nuestra respuesta final. Pero queremos que nuestros denominadores sean reales si es posible. Hacemos esto multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado complejo de este denominador.

Hagamos esto para la primera raíz. Desarrollamos en el numerador y en el denominador también. Y en el denominador, notamos que los términos que incluyen 𝑖 se cancelan, dejando solo el módulo de nuestro número complejo en el denominador. Eso es cuatro al cuadrado más seis al cuadrado. Evaluamos el denominador y agrupamos las partes reales e imaginarias en el numerador. Y vemos que podemos cancelar un factor de cuatro. Por lo tanto, podemos escribir nuestra primera raíz en la forma más simple como se muestra. Y podemos usar exactamente el mismo procedimiento para simplificar la segunda raíz.

Consideremos que, aunque nuestra cuadrática tenía un discriminante negativo, estas dos raíces no son conjugados complejos. Ni siquiera tienen las mismas partes reales.

Resuelve 𝑧 al cuadrado menos cuatro más cuatro 𝑖 𝑧 más ocho 𝑖 igual a cero.

Usamos la fórmula cuadrática. Reemplazamos los valores de los coeficientes por 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Bajo el signo radical, menos cuatro más cuatro 𝑖 al cuadrado se convierte en 16 más 32𝑖 menos 16, que es 32𝑖. Y de esto, restamos cuatro por uno por ocho 𝑖, que es 32𝑖, lo que significa que, bajo el radical, tenemos cero. En el denominador, tenemos dos. Escribiendo esto de nuevo sin todos los borrones, vemos que nuestro discriminante es cero. La raíz cuadrada de cero es cero. No sumamos ni restamos nada, lo que significa que solo hay una raíz. 𝑧 es igual a cuatro más cuatro 𝑖 sobre dos, que es dos más dos 𝑖.

Según el teorema fundamental del álgebra, esta debe ser una raíz repetida. Y podemos comprobarlo. Vemos que esta cuadrática tiene una sola raíz imaginaria repetida. Si el discriminante es cero, se garantiza una raíz repetida. Si los coeficientes de la cuadrática son reales, esta raíz debe ser real. Pero si son complejos, las raíces podrían ser complejas.

Podemos ver esto al observar la fórmula cuadrática. Si hacemos que el discriminante sea cero, nos queda solo 𝑧 igual a menos 𝑏 sobre dos 𝑎. Este es el valor de nuestra raíz repetida. Si los coeficientes 𝑏 y 𝑎 son reales, entonces la raíz repetida, menos 𝑏 sobre dos 𝑎, también debe ser real. Pero si 𝑎 o 𝑏 o ambos son imaginarios, menos 𝑏 sobre dos 𝑎 también podría ser imaginario.

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, el discriminante siempre ha sido real. Pero los números tuvieron que ser cuidadosamente elegidos para que este fuera el caso. En general, los discriminantes pueden ser imaginarios. Veamos un ejemplo.

Resuelve uno más dos 𝑖 por 𝑧 al cuadrado menos tres más 𝑖 igual a cero. Redondea la respuesta a tres cifras.

Como no hay un término que incluya 𝑧, parece un poco tonto romper la fórmula cuadrática. En cambio, lo que podemos hacer es restar tres más menos 𝑖 de ambos lados y luego dividir ambos lados por uno más dos 𝑖 para hallar 𝑧 al cuadrado igual a tres menos 𝑖 sobre uno más dos 𝑖.

Solo necesitamos hallar la raíz cuadrada de este número complejo. Pero primero, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado complejo del denominador. Podemos desarrollar y luego simplificar. Y obtenemos un quinto menos siete quintos 𝑖.

¿Cómo hallamos la raíz cuadrada de este número? Bueno, podemos escribirlo en forma polar y luego aplicar el teorema de De Moivre para las raíces. ¿Cuál es el módulo de este número complejo? Hallamos que es la raíz dos. Como nuestro número complejo está en el cuarto cuadrante, su argumento es el arcotangente de su parte imaginaria sobre su parte real. Hallamos que su argumento es un arcotangente de menos siete. Y así podemos escribir nuestro número complejo en forma polar.

El teorema de raíces de De Moivre nos da la 𝑛-ésima raíz de un número complejo en forma polar. Estamos buscando raíces cuadradas, así que 𝑛 es dos. Aplicando esta fórmula a nuestro ejemplo, en donde 𝑟 es raíz de dos y 𝜃 es arcotangente menos siete, obtenemos lo siguiente. Al ponerlos en una calculadora, hallamos que 𝑧 es igual a 0.898 menos 0.779𝑖 y 𝑧 es igual a menos 0.898 más 0.77𝑖 con tres cifras significativas.

Resuelve 𝑧 al cuadrado más dos menos dos 𝑖 𝑧 menos siete más 26𝑖 igual a cero.

Usamos la fórmula cuadrática. Sustituimos los valores de los coeficientes por 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Simplificamos bajo el signo radical, notando que hay alguna cancelación. Y menos ocho 𝑖 más 28 más 104𝑖 es 28 más 96𝑖. Notamos que, bajo el radical, tenemos dos múltiplos de cuatro. Por eso podemos sacar ese múltiplo de cuatro en cada caso y sacar un dos delante del signo radical. Esto nos permite cancelar el dos en el denominador. Y obtenemos menos uno más 𝑖 más o menos la raíz cuadrada de siete más 24𝑖.

Usamos el teorema de De Moivre para hallar las raíces cuadradas. Pero primero, necesitamos escribir siete más 24𝑖 en forma polar. Su módulo es 25 y su argumento es arcotangente 24 sobre siete. Y el teorema de raíces de De Moivre nos dice cómo hallar las raíces cuadradas.

El módulo de la raíz cuadrada es la raíz cuadrada del módulo. Que es la raíz cuadrada de 25, que es cinco. Tenemos que reducir el argumento a la mitad. El argumento de la raíz cuadrada es arcotangente 24 sobre siete dividido por dos. Al ponerlos en una calculadora, obtenemos que el coseno de este valor es 0.8 y el seno de este valor es 0.6. Y así, al multiplicar por el módulo cinco, sumamos o restamos cuatro más tres 𝑖. Por lo tanto, nuestras dos raíces son 𝑧 es igual a tres más cuatro 𝑖 y 𝑧 igual a menos cinco menos dos 𝑖.

Aquí, como el discriminante era complejo, tuvimos que usar el teorema de De Moivre para hallar sus raíces cuadradas. En realidad, solo obtuvimos una de sus raíces cuadradas usando el teorema de De Moivre. Pero sabemos que el otro debe ser su opuesto. Y tenemos este signo más o menos aquí.

Estos son los puntos clave que hemos cubierto en este video. Podemos resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos usando la fórmula cuadrática. Si el discriminante es cero, la ecuación tiene una única raíz repetida. A diferencia de las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, esta raíz repetida no necesita ser real. Si el discriminante no es cero, hay dos raíces distintas. Y vemos que el discriminante nos dice si la cuadrática tiene una raíz repetida o dos raíces distintas.

Hemos visto que, para ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, el signo del discriminante nos dice si las raíces son reales o imaginarias. Si es positivo, tenemos dos raíces reales distintas. Si es cero, tenemos una única raíz real repetida. Y si es negativo, tenemos dos raíces conjugadas complejas. Este no es el caso de las ecuaciones cuadráticas con coeficientes complejos. No podemos usar el signo del discriminante para determinar si las raíces son reales o no. Todo lo que podemos hacer es saber si hay una raíz repetida o si hay dos raíces distintas. Y, generalmente, el discriminante no necesita ser un número real.