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En este vídeo vamos a aprender cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.
Las ecuaciones lineales son ecuaciones donde el exponente más alto de las incógnitas es uno. Asimismo, en estas ecuaciones tampoco hay términos con incógnitas que están multiplicadas entre sí. Por ejemplo, la ecuación dos 𝑥 más tres 𝑦 igual a siete es una ecuación lineal. Contiene dos incógnitas, 𝑥 e 𝑦. Y como contiene dos incógnitas, no podemos resolver esta ecuación directamente; necesitamos más información.
Si nos dan una segunda ecuación lineal que también contenga estas mismas dos incógnitas, como la ecuación cinco 𝑥 menos 𝑦 igual a nueve, entonces ahora sí tenemos lo que se denomina un sistema de ecuaciones lineales. En general, necesitamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Como ocurre en este sistema, en el que tenemos dos incógnitas, 𝑥 e 𝑦, y dos ecuaciones. Las cuales podemos resolver para hallar los valores de 𝑥 y de 𝑦 que satisfacen ambas ecuaciones. Hay varios métodos que podemos usar para hacerlo. Pero en este vídeo solo vamos a demostrar el método de reducción. Veamos pues una serie de ejemplos, comenzando con este.
Usa el método de reducción para resolver las ecuaciones simultáneas tres 𝑥 más dos 𝑦 igual a 14, seis 𝑥 menos dos 𝑦 igual a 22.
Decir «ecuaciones simultáneas» es otra forma de referirse a un sistema de ecuaciones. Podemos ver que tenemos dos ecuaciones. Y ambas tienen las mismas dos incógnitas, 𝑥 e 𝑦. El enunciado nos dice que hemos de usar el método de reducción para resolver el sistema. Veamos cómo hacerlo. La idea básica de este método consiste en combinar las ecuaciones para reducir —o sea, eliminar— una de las dos incógnitas de las ecuaciones. Podemos reducir 𝑥 o 𝑦. Pero fíjate que en este caso tenemos dos 𝑦 en las dos ecuaciones. En la ecuación 1, dos 𝑦 está sumado al término con la incógnita 𝑥 y en la ecuación 2 está restado del término con la 𝑥.
La clave aquí consiste en darse cuenta de que, si sumamos estas dos ecuaciones, eliminamos la 𝑦. Veamos cómo hacerlo. En el miembro izquierdo de la ecuación, tres 𝑥 más seis 𝑥 da nueve 𝑥. Seguidamente tenemos más dos 𝑦 más menos dos 𝑦. Eso es dos 𝑦 menos dos 𝑦, que es cero. En el miembro derecho, tenemos 14 más 22, que es 36. Así que hemos cancelado entre sí los términos con la incógnita 𝑦 y hemos obtenido una ecuación que tiene solo términos en 𝑥. Nueve 𝑥 es igual a 36.
Ahora que tenemos una ecuación lineal que tiene solo términos en 𝑥, podemos resolverla para hallar el valor de 𝑥. Tenemos nueve 𝑥 igual a 36, así que hemos de dividir ambos lados de la ecuación por nueve. Al hacerlo, obtenemos que 𝑥 es igual a cuatro. De esta forma ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Ahora tenemos que hallar el valor de la incógnita 𝑦. Para hacerlo nos basta con sustituir el valor que hemos hallado para 𝑥 en cualquiera de las dos ecuaciones. No importa cuál escojamos. Vamos a escoger la ecuación 1 porque el coeficiente de 𝑦 es positivo en esta ecuación, por lo que los cálculos serán más sencillos.
Sustituimos 𝑥 igual a cuatro, y obtenemos tres por cuatro más dos 𝑦 igual a 14. Tres por cuatro es 12. Así que tenemos la ecuación 12 más dos 𝑦 igual a 14, que es una ecuación que está solo en términos de 𝑦. Para resolverla hemos de restar primero 12 de ambos lados, de forma que obtenemos que dos 𝑦 es igual a dos, y luego dividir ambos miembros de la ecuación por dos, obteniendo que 𝑦 es igual a uno. Por lo que ya hemos obtenido también el valor de 𝑦. Y, por lo tanto, hemos resuelto las ecuaciones simultáneas. Nuestra solución es un par de valores: 𝑥 igual a cuatro y 𝑦 igual a uno.
Es importante tener en cuenta que conviene comprobar nuestra respuesta siempre que nos sea posible. Así que vamos a sustituir el par de valores que hemos obtenido para 𝑥 y para 𝑦 en la ecuación que no hemos usado para determinar el segundo valor. Así que vamos a sustituir en la ecuación 2. Al sustituir 𝑥 igual a cuatro y 𝑦 igual a uno en el lado izquierdo, obtenemos seis por cuatro menos dos por uno. Eso es 24 menos dos, que es 22. Y este es, desde luego, el valor que tenemos en el lado derecho de la ecuación. Así que esto confirma que nuestra solución es correcta.
La idea fundamental del método de reducción en esta cuestión ha consistido en darnos cuenta de que teníamos prácticamente el mismo coeficiente de 𝑦 en las dos ecuaciones, pero con signos distintos, uno era positivo y el otro negativo. Por lo tanto, hallamos que, si sumábamos las dos ecuaciones, esto eliminaría la incógnita 𝑦, obteniendo así una ecuación solo en términos de 𝑥. Nuestra solución es que 𝑥 vale cuatro y que 𝑦 vale uno.
En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo aplicar el método de reducción cuando no podemos eliminar una de las incógnitas simplemente sumando las dos ecuaciones.
Utiliza el método de reducción para resolver las ecuaciones simultáneas tres 𝑎 más dos 𝑏 igual a 14, cuatro 𝑎 más dos 𝑏 igual a 16.
Tenemos un par de ecuaciones simultáneas o, dicho de otra forma, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, 𝑎 y 𝑏. Y se nos ha pedido que usemos el método de reducción para resolver este sistema de ecuaciones. Vamos a denominar nuestras dos ecuaciones como ecuación 1 y ecuación 2 para poder referirnos a ellas fácilmente. Si nos fijamos en estas dos ecuaciones, vemos, en primer lugar, que tienen el mismo coeficiente de 𝑏. Ambas tienen más dos 𝑏. Siendo esto así, puede que lo primero que pienses sea en eliminar la incógnita 𝑏 sumando las dos ecuaciones. Veamos cómo sería esto.
En el lado izquierdo, tres 𝑎 más cuatro 𝑎 es siete 𝑎. Luego tenemos más dos 𝑏 más dos 𝑏, que es más cuatro 𝑏. Y en el lado derecho, tenemos 14 más 16, que es 30. Así que tenemos la ecuación siete 𝑎 más cuatro 𝑏 igual a 30. Esta ecuación todavía contiene ambas incógnitas, así que no hemos conseguido lo que nos proponíamos, eliminar una de las incógnitas, por lo que sumar las dos ecuaciones no nos ha funcionado.
Así que vamos a ver si restar las ecuaciones funcionará. Y como el coeficiente de la otra incógnita, 𝑎, es mayor en la ecuación 2 que en la ecuación 1, vamos a restar la ecuación 1 de la ecuación 2. En el lado izquierdo, cuatro 𝑎 menos tres 𝑎 es 𝑎. A continuación tenemos dos 𝑏 menos dos 𝑏. Así que se cancelan. Y en el lado derecho, 16 menos 14 es dos. Así que tenemos 𝑎 igual a dos. Hemos eliminado la variable 𝑏. Y además hemos hallado el valor de 𝑎 al mismo tiempo. Por lo tanto, la forma correcta de eliminar una de las incógnitas era restar las ecuaciones. Pues los coeficientes de la variable que queríamos eliminar, o sea, 𝑏, son iguales en ambas ecuaciones y tienen el mismo signo.
Vimos en el ejemplo anterior que, si los signos en los términos son diferentes, entonces debemos sumar. Y en este ejemplo acabamos de ver que, si los signos son iguales, entonces debemos restar las ecuaciones. Por lo tanto, debemos recordar que, en lo que debemos fijarnos es en los signos de la incógnita que queremos eliminar. Así que son los signos de la variable 𝑏 los que nos interesan aquí. Como los signos de 𝑏 eran iguales, eliminamos la variable restando una ecuación de la otra.
Ahora que hemos hallado el valor de 𝑎, tenemos que hallar también el valor de 𝑏, cosa que podemos hacer sustituyendo el valor de 𝑎 en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. Escogemos la ecuación uno. Tenemos tres por dos más dos 𝑏 igual a 14. Eso es seis más dos 𝑏 igual a 14. Y restando seis de cada lado obtenemos que dos 𝑏 es igual a ocho. Por último, despejamos la 𝑏 dividiendo ambos miembros de la ecuación por dos, y obtenemos que 𝑏 es igual a cuatro.
Así que ya tenemos la solución de las ecuaciones simultáneas: 𝑎 es igual a dos y 𝑏 es igual a cuatro. Pero conviene comprobar nuestra respuesta para asegurarnos de que es correcta, por lo que vamos a sustituir el par de valores que hemos hallado en la otra ecuación. En la ecuación 2. Sustituimos 𝑎 igual a dos y 𝑏 igual a cuatro en el lado izquierdo de la ecuación 2 y obtenemos cuatro por dos más dos por cuatro. Eso es ocho más ocho, que es 16, que coincide con el valor en el lado derecho de la ecuación 2. Así que esto confirma que nuestra solución es correcta.
Debemos recordar pues que, si los signos de la variable que queremos eliminar son iguales, debemos restar. Y lo mismo ocurre al contrario. Si los signos de la variable que queremos eliminar son distintos, entonces sumamos. Nuestra solución a este conjunto de ecuaciones simultáneas —la cual hemos comprobado— es 𝑎 igual a dos y 𝑏 igual a cuatro.
Como ves, en los dos ejemplos que hemos visto hasta ahora, hemos podido eliminar una de las incógnitas simplemente sumando o restando las dos ecuaciones iniciales. No obstante, en ocasiones debemos realizar un paso adicional antes de poder hacer esto, y es algo que vamos a ver en el próximo ejemplo.
Usa el método de reducción para resolver las ecuaciones simultáneas cinco 𝑥 menos cuatro 𝑦 igual a 21, cuatro 𝑥 más 12𝑦 igual a 32.
Se nos ha pedido que resolvamos este sistema de ecuaciones usando el método de reducción, lo que significa que debemos eliminar la incógnita 𝑥 o 𝑦 sumando o restando las ecuaciones. Sin embargo, si intentáramos hacer esto con estas ecuaciones tal y como están, hallaríamos que, si las sumáramos o las restáramos, en ambos casos seguiríamos teniendo las dos incógnitas 𝑥 e 𝑦 en la ecuación resultante. Si las sumáramos, obtendríamos la ecuación nueve 𝑥 más ocho 𝑦 igual a 53. Y si restáramos, obtendríamos la ecuación 𝑥 menos 16𝑦 igual a menos 11. Así que no nos sirve ni una cosa ni la otra.
Pero ¿por qué no ha funcionado? Bueno, para poder aplicar el método de reducción, necesitamos que los coeficientes de una de las incógnitas sea el mismo en ambas ecuaciones, o al menos que tenga la misma magnitud, como más y menos tres. Pero en este problema, este no es el caso. El coeficiente de 𝑥 en la primera ecuación es cinco y en la segunda es cuatro. Y el coeficiente de 𝑦 en la primera ecuación es menos cuatro y en la segunda es 12. Así que si sumamos o restamos estas ecuaciones en la forma actual no podremos eliminar ninguna de las incógnitas.
Pero el enunciado nos ha dicho que usemos el método de reducción. Entonces, ¿qué podemos hacer? Bueno, lo que vamos a hacer es manipular estas ecuaciones para obtener el mismo coeficiente, o al menos un coeficiente con la misma magnitud para una de las incógnitas. Para hacerlo vamos a hacer uso de la propiedad de la igualdad de la multiplicación, que dice que, si multiplicamos ambos lados de una ecuación por el mismo valor, entonces la igualdad sigue siendo verdadera. Debemos hallar un valor por el que podamos multiplicar una ecuación para obtener el mismo coeficiente, o un coeficiente del mismo tamaño, para una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
Si nos fijamos en los términos con 𝑦 en nuestras dos ecuaciones, vemos que cuatro es un divisor de 12. Así que, si multiplicamos la ecuación 1 por tres, obtendremos menos 12𝑦. Y, por lo tanto, el tamaño de los coeficientes de 𝑦 sería el mismo en ambas ecuaciones. Probemos a ver si funciona. Multiplicamos la ecuación 1 por tres. Así que multiplicamos todos los términos en la ecuación 1 por tres y obtenemos 15𝑥 menos 12𝑦 igual a 63. Los coeficientes de 𝑦 en nuestras dos ecuaciones son ahora iguales pero con signos distintos, lo que significa que podemos eliminar los términos con 𝑦 sumando las dos ecuaciones.
Lo hacemos, y obtenemos 15𝑥 más cuatro 𝑥, que es 19𝑥; menos 12𝑦 más 12𝑦, que es cero; y en el lado derecho 63 más 32, que es 95. De esta forma hemos eliminado la incógnita 𝑦 de nuestras ecuaciones, quedándonos así con una ecuación solo en términos de 𝑥, la cual podemos resolver dividiendo ambos lados por 19. Al hacerlo obtenemos el valor de 𝑥. 𝑥 es igual a cinco.
Seguidamente podemos hallar el valor de 𝑦 sustituyendo 𝑥 igual a cinco en cualquiera de las tres ecuaciones, ya sea en las dos ecuaciones iniciales o en la ecuación que hemos obtenido al multiplicar la ecuación 1 por tres. Vamos a usar la ecuación 2, pues todos los coeficientes son positivos en esta ecuación. Al hacerlo obtenemos cuatro por cinco, que es 20, más 12𝑦 igual a 32. Seguidamente restamos 20 de cada lado y dividimos por 12 para obtener que 𝑦 es igual a uno. Así que tenemos nuestra solución: 𝑥 es igual a cinco y 𝑦 es igual a uno. Pero vamos a comprobar si es correcta. Para ello vamos a sustituir estos valores en la ecuación 1. Tenemos cinco 𝑥 menos cuatro 𝑦 igual a 21. Sustituimos 𝑥 igual a cinco y 𝑦 igual a uno y obtenemos cinco por cinco menos cuatro por uno. Eso es 25 menos cuatro, que efectivamente es igual a 21. Así que esto confirma que nuestra solución es correcta.
El paso más importante en esta cuestión fue darnos cuenta de que no podíamos eliminar o reducir ninguna de las dos incógnitas sumando o restando las dos ecuaciones en su forma original. En su lugar, tuvimos que multiplicar primero una ecuación por una constante para crear una ecuación equivalente en la que el coeficiente de 𝑦 fuera de la misma magnitud que el coeficiente de la segunda ecuación. Solo así fuimos capaces de aplicar el método de reducción para resolver las ecuaciones simultáneas.
Ahora bien, no siempre basta con multiplicar una de las ecuaciones por una constante. A menudo vamos a tener que multiplicar ambas ecuaciones por distintas constantes. Veamos un ejemplo de cómo se hace esto.
Usa el método de reducción para resolver las ecuaciones simultáneas cuatro 𝑥 más seis 𝑦 igual a 40 y tres 𝑥 más siete 𝑦 igual a 40.
En las dos ecuaciones que nos han dado, los coeficientes de 𝑥 son diferentes y los coeficientes de 𝑦 son diferentes, lo que significa que no podemos eliminar una incógnita simplemente sumando o restando las ecuaciones. Además, si nos fijamos, vemos que ninguno de los coeficientes de 𝑥 son factores del otro coeficiente y ninguno de los coeficientes de 𝑦 son factores del otro coeficiente. Queremos tener ecuaciones en las que los coeficientes de ambas incógnitas sean iguales o al menos que tengan el mismo signo. Pero ¿cómo podemos obtener eso?
Bueno, vamos a tener que multiplicar ambas ecuaciones por números. Vamos a multiplicar la ecuación 1 por tres y la ecuación 2 por cuatro porque de esta forma obtendremos 12𝑥 en ambas ecuaciones. También podríamos haber elegido multiplicar la ecuación 1 por siete y la ecuación 2 por seis porque de esta forma obtendríamos 42𝑦 en las dos ecuaciones. No importa qué incógnita vayamos a reducir.
Ahora que tenemos nuestras dos nuevas ecuaciones, tenemos 12𝑥 en cada una. Y como los signos son los mismos, podemos eliminar la incógnita 𝑥 restando. Vamos a restar la ecuación superior de la inferior porque el coeficiente de 𝑦 es mayor en la segunda ecuación. Tenemos 12𝑥 menos 12𝑥, que se cancelan; 28𝑦 menos 18𝑦, que es 10𝑦; y 160 menos 120, que es 40. De esta forma hemos eliminado la incógnita 𝑥 de nuestra ecuación. Seguidamente despejamos la 𝑦 dividiendo ambos lados de la ecuación por 10, y obtenemos que 𝑦 es igual a cuatro.
Para calcular la 𝑥, podemos sustituir este valor de 𝑦 en cualquiera de las cuatro ecuaciones. Vamos a elegir la ecuación 1. Al hacerlo, obtenemos una ecuación lineal sencilla para 𝑥 que podemos resolver restando 24 y dividiendo entre cuatro para obtener 𝑥 igual a cuatro. Así que ya tenemos nuestra solución. Tanto 𝑥 como 𝑦 valen cuatro. Como ya sabemos, debemos comprobar nuestra solución sustituyendo los valores en cualquiera de las otras ecuaciones. Hemos escogido la ecuación 2. Y hemos confirmado que nuestra solución es correcta.
El paso fundamental en esta cuestión ha sido multiplicar ambas ecuaciones por un número para obtener el mismo coeficiente de una de las incógnitas. De esta forma pudimos usar el método de reducción para eliminar esta incógnita y resolver las ecuaciones simultáneas.
Repasemos algunos de los puntos clave que hemos aprendido en esta lección. El objetivo que perseguíamos con este método era eliminar una incógnita sumando las dos ecuaciones o restando una de la otra. Si los coeficientes de la incógnita que queremos eliminar tienen signos diferentes, sumamos las dos ecuaciones. Y si los signos son los mismos, entonces restamos las ecuaciones. Asimismo, hemos visto que, a menudo, antes de sumar o restar para eliminar una variable, hemos de multiplicar una de las ecuaciones, o las dos, por números.
Una vez que hemos eliminado una de las incógnitas y hallado el valor de la otra, sustituimos este valor en una de las ecuaciones para hallar el valor de la incógnita que habíamos eliminado. Y siempre debemos comprobar nuestra respuesta sustituyendo ambos valores en la ecuación que no hayamos utilizado para calcular el segundo valor.
