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En este vídeo vamos a aprender cómo dibujar un campo direccional para así representar gráficamente la solución general de una ecuación diferencial de primer orden. Asimismo, aprenderemos cómo determinar la ecuación que representa un determinado campo de direcciones. Y, a la inversa, hallaremos qué campo de direcciones representa una ecuación diferencial determinada. Pero conviene aclarar primero algunos de los términos que estamos usando.
Supongamos que tenemos una función desconocida 𝑦, que es una función de 𝑥. La pendiente de 𝑦, d𝑦 sobre d𝑥, es la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene la derivada de una función. Una ecuación diferencial de primer orden contiene solo la primera derivada. Y una ecuación diferencial expresa la pendiente en términos de una función 𝑓. 𝑓 puede ser una función de 𝑥. 𝑓 puede ser una función de 𝑦. O 𝑓 puede ser una función de 𝑥 y de 𝑦. Lo ideal sería que pudiéramos resolver la ecuación diferencial que se nos ha dado. Esto implicaría hallar la primitiva, esto es, la función 𝑦 de 𝑥. Pero, como seguramente ya sabes, esto no es posible para la mayor parte de las ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente, son muy pocas las ecuaciones diferenciales que pueden ser resueltas de forma exacta.
Pero no te preocupes, no todo está perdido, pues podemos trazar la derivada de la función. Es decir, podemos representar la ecuación diferencial en varios puntos del plano 𝑥𝑦. El resultado se conoce como campo de pendientes o campo direccional. En este ejemplo, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a dos 𝑥, que es una función de 𝑥. Cada una de estas rayas azules representa la pendiente de una solución particular 𝑦 de 𝑥 en ese punto. De esta forma, cuando 𝑥 es igual a aproximadamente 0.5, la pendiente de las soluciones en ese punto es positiva. De hecho, podemos hallar la pendiente de cualquier solución en 𝑥 igual a 0.5 sustituyendo 𝑥 igual a 0.5, que es un medio, en la ecuación diferencial. Y hallamos que d𝑦 sobre d𝑥 es el doble de un medio, que es uno. Por lo tanto, en el punto 𝑥 aproximadamente igual a 0.5, para cualquier solución de esta ecuación diferencial, la pendiente es aproximadamente uno.
Una solución particular de una ecuación diferencial se define mediante un valor o condición inicial. Así, por ejemplo, en nuestro caso, tenemos tres soluciones particulares en este gráfico, en el que la solución A tiene un valor inicial de cero, uno. La solución B tiene un valor inicial de cero, cero. Y la solución C tiene un valor inicial de cero, menos dos. De hecho, la solución general de esta ecuación diferencial es 𝑦 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más una constante de integración.
Para la solución particular A, la constante de integración es uno. Para la solución B, la constante de integración es cero. Y para la solución C, la constante de integración es menos dos. Estas son tres posibles soluciones de esta ecuación diferencial. En realidad, hay un número infinito de soluciones, cada una definida por la constante 𝐶. Como puedes ver, el campo de direcciones nos muestra el comportamiento general de la familia de soluciones de la ecuación diferencial. A partir de un valor inicial, podemos hallar una solución particular. Y esta solución sigue la dirección de la pendiente de los segmentos de recta del campo direccional.
Veamos ahora cómo trazar un campo de direcciones. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑥 menos 𝑦, que es una función de 𝑥 y de 𝑦. Esto quiere decir que, en un punto cualquiera del plano 𝑥𝑦, la pendiente de la solución de la ecuación diferencial en ese punto es igual a la coordenada 𝑥 menos la coordenada 𝑦. Y trazamos una pequeña raya con esta pendiente en este punto del plano 𝑥𝑦. Vamos a hacer esto con algunos puntos usando nuestra ecuación diferencial. Si tomamos 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a uno como nuestro primer punto, la pendiente d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑥 menos 𝑦 es cero menos uno. Y eso es menos uno. Por lo tanto, la pendiente en el punto cero, uno es menos uno.
Vamos a poner nuestros puntos en el gráfico para ver qué aspecto tiene esto en el campo de direcciones. En el punto cero, uno, nuestra solución tiene una pendiente de menos uno. Elegimos como nuestro siguiente punto 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a cero. En este caso, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cero menos cero, que es cero. Por lo tanto, en este punto tenemos una raya horizontal, con pendiente cero. Ahora escogemos el punto uno, cero, y vemos que la pendiente es uno menos cero, que es uno. De esta forma, en el punto uno, cero, la pendiente es más uno. Sigamos; el punto cero, menos uno tiene una pendiente de uno. El punto menos uno, cero tiene una pendiente de menos uno. El punto uno, uno tiene pendiente cero. Y el punto menos uno, menos uno también tiene pendiente cero. Si continuamos así con muchos más puntos en el plano 𝑥𝑦, obtenemos el campo de direcciones. Y este campo de direcciones representa la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑥 menos 𝑦.
La solución que pasa por un punto determinado del campo de direcciones seguirá la dirección de estos pequeños segmentos de recta. Esta es la gráfica de la solución con la condición inicial 𝑥 cero, 𝑦 cero, donde en este caso 𝑥 cero, 𝑦 cero es igual a menos uno, menos uno. Fíjate en que una gráfica de soluciones que pase por cualquiera de los segmentos de recta que hemos trazado tendrá la misma pendiente que el segmento en ese punto. Es probable que una solución no siga los segmentos que hemos trazado. Sino que serpentee entre los segmentos. Recuerda que el diagrama muestra solo la derivada en una selección de puntos. Así que un campo de direcciones es una forma de representar un número infinito de soluciones particulares. Y si sabemos que la solución que estamos buscando pasa por un punto determinado, entonces seguir las líneas direccionales desde ese punto nos permite hallar esa solución particular.
Veamos un ejemplo.
Considera el siguiente campo de direcciones que representa una ecuación diferencial. Si la solución de la ecuación diferencial contiene el punto 𝑆, ¿qué otro punto puede formar parte también de la solución?
Vamos a dibujar curvas solución a través de cada uno de los puntos en la dirección de las rayas del patrón de pendientes. Comenzamos en el punto 𝑆, y vemos que la curva solución podría pasar por el punto 𝐶. Aunque 𝐶 no se encuentra exactamente en uno de los segmentos trazados, se encuentra dentro del patrón del campo direccional determinado por la solución que pasa por el punto 𝑆. Así que el punto 𝐶 es un candidato para la solución que pasa por 𝑆. Consideremos los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐷 y 𝐸. Si seguimos el campo de direcciones partiendo del punto 𝐴, vemos que la solución no pasa por el punto 𝑆. Así que el punto 𝐴 no pertenece a la misma solución que el punto 𝑆. Seguimos ahora el patrón a través del punto 𝐵, y vemos, de nuevo, que esta solución no pasa por el punto 𝑆. Lo mismo ocurre con el punto 𝐷 y con el punto 𝐸, por lo que solo el punto 𝐶 puede pertenecer a la solución que contiene el punto 𝑆.
Ya hemos aprendido cómo dibujar un campo de direcciones y cómo esbozar la solución que pasa por un punto. Veamos ahora un ejemplo en el que se nos da el campo de direcciones y se nos pide que hallemos la ecuación diferencial representada por el campo de direcciones.
Considera el siguiente campo de direcciones. ¿Cuál de las ecuaciones diferenciales siguientes está representada en el gráfico? A) 𝑦 prima igual a 𝑥 más dos sobre 𝑥 menos tres. B) 𝑦 prima igual a dos menos 𝑥 sobre 𝑥 menos tres. C) 𝑦 prima igual a 𝑥 menos dos sobre 𝑥 más tres. D) 𝑦 prima igual a 𝑥 más dos sobre tres menos 𝑥. O E) 𝑦 prima igual a 𝑥 menos dos sobre 𝑥 menos tres.
Enseguida nos damos cuenta de que en cada una de las opciones hay un más o menos dos en el numerador y un más o menos tres en el denominador. Si observamos el gráfico, vemos que el comportamiento de la pendiente en 𝑥 igual a menos dos y en 𝑥 igual a más tres es muy característico. En 𝑥 igual a menos dos, los segmentos del campo direccional son todos horizontales. Esto significa que la pendiente es igual a cero. Es decir, 𝑦 prima es igual a cero en 𝑥 igual a menos dos.
Vamos a probar con 𝑥 igual a menos dos en cada una de nuestras posibles ecuaciones y veamos si corresponde. Si 𝑥 es igual a menos dos en la ecuación A, 𝑦 prima es igual a menos dos más dos sobre menos dos más tres. Eso es igual a cero partido por menos cinco, que es cero. Así que la ecuación A en el punto 𝑥 igual a menos dos corresponde con nuestro campo de direcciones. Si observamos la ecuación B en 𝑥 igual a menos dos, vemos que 𝑦 prima es igual a dos menos menos dos sobre dos menos tres. Eso es igual a cuatro partido por menos cinco, que no es igual a cero. Por lo tanto, la ecuación B no corresponde con nuestro campo de direcciones en 𝑥 igual a menos dos. Así que descartamos la ecuación B.
Ahora probemos con la ecuación C. Para la ecuación C, tenemos que 𝑦 prima es igual a menos dos menos dos sobre menos dos más tres. Esto es igual a menos cuatro sobre uno, que no es igual a cero. Así que tachamos la ecuación C. Para 𝑥 igual a menos dos en la ecuación D, tenemos que 𝑦 prima es menos dos más dos sobre tres menos menos dos. Esto es igual a cero partido por cinco, que es cero. La ecuación D corresponde con el campo de direcciones, cuando 𝑥 es menos dos. Así que la ecuación D sigue siendo una opción. En la ecuación E, tenemos que 𝑦 prima es igual a menos dos menos dos partido por menos dos menos tres. Eso nos da menos cuatro sobre menos cinco, que es cuatro sobre cinco. Esto no es igual a cero. Así que no coincide con el campo de direcciones. Por lo que descartamos la ecuación E.
Así que tenemos las ecuaciones A y D como posibles opciones. Vamos a probar con 𝑥 igual a más tres en cada una de estas ecuaciones. En 𝑥 igual a más tres, ambas ecuaciones tienen un denominador de cero. Esto significa que ambas ecuaciones son indefinidas en 𝑥 igual a tres y tienen una pendiente vertical en ese punto. Esto se corresponde con la pendiente en el campo de direcciones. Así que tenemos que buscar otra alternativa para hallar una posible solución. Vamos a escoger otro valor, por ejemplo 𝑥 igual a cero. Para 𝑥 igual a cero, cada uno de los segmentos de recta en el campo de direcciones tiene una pendiente negativa. Así que vamos a ver cuál es el signo de la pendiente en 𝑥 igual a cero según cada una de las dos ecuaciones diferenciales que nos quedan.
En la ecuación A, 𝑦 prima es igual a cero más dos sobre cero menos tres, que es igual a dos partido por menos tres y es menor que cero. Esto se corresponde con la pendiente en 𝑥 igual a cero en el campo de direcciones. Por lo tanto, la ecuación A sigue siendo una posible opción. En la ecuación D, 𝑦 prima es igual a cero más dos sobre tres menos cero. Eso es igual a dos tercios, que es positivo. Y esto no se corresponde con la dirección de la pendiente en 𝑥 igual a cero en el campo de direcciones. Así que eliminamos la ecuación D. Y solo nos queda la ecuación A. Así que concluimos que el campo de direcciones representa la ecuación diferencial 𝑦 prima igual a 𝑥 más dos sobre 𝑥 menos tres.
En este problema que acabamos de hacer se nos ha dado un campo direccional. Y hemos tenido que elegir entre varias la ecuación diferencial que está representada por el gráfico.
En el ejemplo siguiente vamos a comenzar con una ecuación diferencial y seguidamente vamos a hallar cuál de los campos de direcciones dados representa dicha ecuación diferencial.
¿Cuál de los siguientes es el campo de direcciones de la ecuación diferencial 𝑦 prima igual a dos 𝑥 más tres 𝑦 menos cinco?
Vamos a resolver esta cuestión mediante eliminación. En primer lugar, vamos a hallar un punto en cada gráfico donde 𝑦 prima, la pendiente, es igual a cero. Esto es un segmento de recta horizontal. Si nuestra ecuación diferencial no es igual a cero en ese punto, entonces podemos eliminar el gráfico asociado. Si comenzamos con el gráfico A, vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cero en el punto uno, menos uno. Así que la pendiente del gráfico A es igual a cero en el punto uno, menos uno. Ahora bien, si sustituimos 𝑥 igual a uno y 𝑦 igual a menos uno en nuestra ecuación diferencial, obtenemos que 𝑦 prima es igual a dos por uno más tres por menos uno menos cinco. Eso es igual a dos menos tres menos cinco, que es menos seis. Evidentemente esto no es igual a cero. Así que podemos descartar el gráfico A.
Ahora consideremos el campo B. El campo B tiene pendiente cero en 𝑥 igual a menos uno, 𝑦 igual a menos uno. Si sustituimos esto en nuestra ecuación, obtenemos que 𝑦 prima es igual a dos por menos uno más tres por menos uno menos cinco. Eso es igual a menos dos menos tres menos cinco, que es menos 10. Esto no es igual a cero, así que descartamos el gráfico B. Probemos ahora con el gráfico C. Uno de los puntos en el campo C, donde d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cero, es el punto tres, dos. Con 𝑥 igual a tres y 𝑦 igual a dos en nuestra ecuación, tenemos que 𝑦 prima es dos por tres más tres por dos menos cinco. Eso es igual a siete, que es distinto de cero. Así que eliminamos la ecuación C. Recuerda que queremos hallar un gráfico con un punto en el que la pendiente es igual a cero y donde ese punto hace que nuestra ecuación diferencial sea también igual a cero.
Consideremos ahora el gráfico D. La pendiente es igual a cero en el campo D en el punto uno, uno. Sustituimos 𝑥 igual a uno y 𝑦 igual a uno en nuestra ecuación diferencial, y obtenemos que 𝑦 prima es igual a dos por uno más tres por uno menos cinco. Eso es dos más tres menos cinco, que es cero. Esto se corresponde con la pendiente del gráfico en el punto uno, uno. Así que el gráfico D es una opción. Ahora consideremos el campo E. Podemos ver que, en el campo E, en el punto uno, uno, la pendiente es cero. Ya sabemos a partir del gráfico D que el punto uno, uno satisface nuestra ecuación diferencial. Así que vamos a probar con otro punto en el campo E con pendiente cero. La pendiente es igual a cero en el gráfico E en el punto cuatro, menos uno. Vamos a sustituir esto en nuestra ecuación diferencial. Tenemos que 𝑦 prima es dos por cuatro más tres por menos uno menos cinco. Eso es ocho menos tres menos cinco, que es igual a cero. Por el momento, el campo E también coincide con nuestra ecuación diferencial.
Nos quedan, pues, dos candidatos, el campo D y el campo E. Así que vamos a considerar de nuevo el gráfico D. En el gráfico D, la pendiente es igual a cero en el punto uno, uno. Y esto coincide con nuestra ecuación diferencial. La pendiente también es igual a cero en el punto tres, menos dos. Así que vamos a probar este punto en nuestra ecuación diferencial. Tenemos que 𝑦 prima es dos por tres más tres por menos dos menos cinco. Eso es seis menos seis menos cinco. Y eso es igual a menos cinco, que es distinto de cero. Así que descartamos el campo D. El único campo de los cinco que puede representar nuestra ecuación diferencial es el gráfico E.
Probemos otro par de puntos en el campo E con pendiente cero y veamos si coinciden con nuestra ecuación diferencial. La pendiente en el gráfico es cero en el punto cuatro, menos uno, 𝑦 prima en la ecuación diferencial también es igual a cero. La pendiente en el gráfico es igual a cero en el punto menos dos, tres. Y 𝑦 prima es también igual a cero en el punto menos dos, tres. De los cinco campos que se nos han dado, el campo E es el único que puede representar la ecuación diferencial 𝑦 prima igual a dos 𝑥 más tres 𝑦 menos cinco.
Vamos a resumir lo que hemos aprendido en este vídeo. En primer lugar, hemos visto que, para una ecuación diferencial de primer orden de la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦, o d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥, o d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑦, podemos visualizar la solución general sin hallar la función 𝑦. Podemos hacerlo dibujando un campo de direcciones. Para hacer esto, trazamos una serie de segmentos de recta, cada uno con la pendiente d𝑦 sobre d𝑥, en varios puntos 𝑥, 𝑦 del plano 𝑥𝑦. Haciendo esto, nos hacemos una idea de la forma de la solución general de la ecuación diferencial. Y con una condición inicial, que es un punto de partida 𝑥 cero, 𝑦 cero, podemos esbozar una solución particular haciendo uso del campo de direcciones, siguiendo para ello la dirección de la pendiente de los segmentos de recta.
