Vídeo: Introducción al vocabulario de la probabilidad

Explicamos el vocabulario y la notación básicos de la probabilidad, incluyendo términos como experimento, resultado, sesgo, eventos dependientes y eventos mutuamente excluyentes.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a explicar el significado de algunos de los términos y de la notación comúnmente usados en la probabilidad.

Un experimento es una actividad cuyos desenlaces posibles son todos conocidos. Por ejemplo, un dado de seis caras, si lo tiramos en una mesa, caerá con uno de los seis números hacia arriba, y, por lo tanto, podemos decir que lanzar el dado es un experimento. Un experimento científico es un procedimiento cuyo objetivo es hacer un descubrimiento o probar una hipótesis. Pero un experimento de probabilidad es un poco diferente. Es un procedimiento específico que podemos repetir tantas veces como queramos, y el conjunto de resultados aleatorios posibles siempre es el mismo. Otros ejemplos de experimentos de probabilidad pueden ser lanzar una moneda para ver si cae en el lado de la cara o de la cruz o sacar un disco al azar de una bolsa con una variedad de discos de colores.

Un resultado es cada uno de los desenlaces posibles de un experimento, y el conjunto de los resultados se llama espacio muestral. Por ejemplo, cuando lanzamos un dado regular de seis caras, un resultado será que caiga con el número uno hacia arriba. Otro resultado será que caiga con el número dos hacia arriba, y así sucesivamente con todas estas diferentes posibilidades. Como hemos dicho, el espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles, así que lo representamos usando la notación de conjuntos. En este caso, son todos los números en la lista: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis. Y este es un conjunto exhaustivo de resultados porque cubre todos los resultados posibles.

Un suceso es un subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo, cuando lanzamos un dado, un suceso sencillo puede ser sacar uno o sacar tres. Pero podemos definir sucesos más complejos usando subconjuntos más complicados del espacio muestral, como obtener un número impar, obtener un número primo, o un múltiplo de tres, etc.

Representamos la probabilidad de que ocurra un resultado o un suceso utilizando la escala de probabilidad, y esta es una escala continua desde cero, que representa una situación imposible, hasta uno, que representa algo que ocurrirá con certeza. Por ejemplo, una probabilidad de un medio significa que algo ocurrirá la mitad de las veces que realizamos el experimento. Podemos usar fracciones o decimales para representar estos números entre cero y uno. También podemos usar porcentajes para representar la escala de la probabilidad, es decir, una escala de cero por ciento hasta 100 por ciento en lugar de cero a uno. Pero necesitamos incluir el signo de porcentaje también.

Por lo tanto, si 𝑃 representa la probabilidad de que ocurra un evento, debe estar entre cero y uno. Y esto podemos representarlo usando una inecuación, cero es menor o igual que 𝑃, que es menor o igual que uno.

Hay una notación importante que usamos comúnmente para representar probabilidades, y nos ahorra escribir mucho. Por ejemplo, en lugar de escribir la probabilidad de obtener un cinco al lanzar un dado es un sexto, podemos simplemente escribir 𝑃, entre paréntesis, cinco es igual a un sexto porque esta es la forma abreviada de escribir lo mismo y todos los matemáticos la entienden.

Una distribución de probabilidad es una descripción matemática de un evento que enumera todos los resultados posibles junto con sus probabilidades. Esto se puede resumir en una tabla. Por ejemplo, si una bosa contiene nueve discos similares, de los cuales dos son rojos, tres son azules y cuatro son verdes, si sacamos uno al azar, cada disco tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Tenemos nueve discos en total y solo vamos a seleccionar uno de ellos. ¿Cuántas maneras hay de obtener discos rojos? Bueno, hay dos maneras de entre nueve. Es decir que la probabilidad de obtener un disco rojo es dos sobre nueve. Hay tres discos azules de nueve, por lo tanto la probabilidad de obtener un disco azul es tres sobre nueve. Respecto a discos verdes, hay cuatro formas de obtener un disco verde entre las nueve posibilidades. Por consiguiente, la probabilidad de sacar un disco verde es cuatro sobre nueve. Esas son las probabilidades de estos resultados diferentes.

Prestemos atención a la forma en la que escribimos la probabilidad de sacar un disco azul, como tres sobre nueve, tres novenos. Podríamos haberla simplificado a su fracción equivalente, un tercio, pero no tenemos que hacerlo. De hecho, tres sobre nueve nos dice cuántas formas de seleccionar un disco azul hay en la bolsa. En realidad, es más informativo que simplificar la fracción a un tercio. También démonos cuenta de que la tabla muestra todos los resultados posibles de este experimento. Así que la suma de las probabilidades debe ser uno, uno de esos resultados ciertamente va a ocurrir. De modo que esta tabla representa una distribución de probabilidad.

Cuando lanzamos un dado regular, los resultados posibles son uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis. Y todos estos resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir. Esta es nuestra definición de ausencia de sesgo en probabilidad.

Cuando algunos resultados tienen más probabilidad de ocurrir que otros, decimos que el experimento es sesgado. Por ejemplo, cuando compramos un boleto de lotería, ganamos o perdemos. Hay dos resultados posibles. Pero en la mayoría de las loterías, la probabilidad de que el boleto no gane es mucho mayor que la probabilidad de que gane. Así que la lotería es sesgada, es más probable que perdamos a que ganemos.

Existen algunos experimentos de los que no podemos conocer por anticipado la probabilidad de que ocurra cada uno de sus resultados. Por ejemplo, si dejamos caer al suelo una tachuela desde, digamos, un metro de altura, cuando aterriza y se asienta, la tachuela quedará apuntando hacia arriba o hacia abajo. Pero no sabemos la probabilidad teórica de que uno u otro de estos desenlaces ocurra. En este caso, podemos realizar el experimento varias veces y anotar los resultados. Podemos usar la proporción de ocasiones en las cuales cada resultado ocurrió como un valor aproximado de la probabilidad del resultado. Llamamos a esta proporción la frecuencia relativa, o a veces, la probabilidad experimental de cada resultado. Cuantas más veces repitamos el experimento, más seguros estaremos de que nuestras frecuencias relativas son una estimación fiable de las probabilidades de cada resultado. En este ejemplo, hemos realizado este experimento 1000 veces y la tachuela aterrizó apuntando hacia arriba 632 veces y 368 veces apuntando hacia abajo. Por lo tanto, nuestra estimación de la probabilidad de que la tachuela aterrice hacia arriba es 632 sobre 1000, y la estimación de la probabilidad de que la tachuela aterrice hacia abajo es 368 sobre 1000. Esas frecuencias relativas, esas proporciones de las ocasiones en las que los sucesos ocurren, son nuestras estimaciones de las probabilidades reales de que esos resultados ocurran.

Probabilidad independiente. Dos sucesos se consideran independientes si el que uno de ellos ocurra no tiene ningún efecto en el que el otro ocurra o no. Por ejemplo, si lanzamos una moneda, puede aterrizar en cara o en cruz, y cada una de estas opciones es la mitad. Si lanzamos un dado, los resultados son dos, tres, cuatro, cinco o seis. Y nuevamente tienen iguales probabilidades de un sexto. Cada una de estas dos cosas, lanzar una moneda o lanzar un dado, son independientes. La probabilidad de obtener uno, dos, tres, cuatro, cinco o seis en un dado no depende de si la moneda cae en cara o cruz en el otro experimento. Otra forma de decir esto es, estos dos experimentos son independientes porque saber el resultado de uno, no afecta las probabilidades de los resultados del otro.

Bueno. En un experimento en donde lanzamos un dado, esta es nuestra distribución de probabilidad. Hay seis resultados posibles, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis y las probabilidades de los seis. Esto le hemos visto anteriormente. Definamos dos sucesos. El primer suceso es aquel en donde el resultado es un número par, así que puede ser un dos, un cuatro o un seis. Y el segundo suceso es aquel en donde el resultado es un número primo, así que puede ser un dos, un tres o un cinco. Estos dos sucesos no son independientes. Podemos decir que dos eventos son independientes si saber el resultado de uno no afecta las probabilidades de los resultados del otro. Pero este no es el caso aquí, porque si sabemos que el resultado es par, sabemos que el número es dos, cuatro o seis. Si sabemos que tenemos dos, cuatro o seis, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número primo? Bueno, solo uno de los tres es un número primo. Por lo tanto, el resultado será, la probabilidad de que sea un número primo, solo de un tercio. Si no hubiéramos sabido que había ocurrido el suceso uno, que el resultado fue par, no sabríamos si era impar o par, y habría tres posibilidades diferentes para los números primos. La probabilidad de que sea primo es tres de los seis resultados posibles, es decir, la mitad. Por lo tanto, saber el resultado de un suceso afecta la probabilidad de otro suceso. Esto no sucedía con nuestro ejemplo anterior porque saber el resultado de lanzar un dado no nos decía nada sobre el resultado de lanzar una moneda. Estas dos cosas eran completamente independientes. Vemos que las probabilidades dependientes e independientes se vuelven más importantes cuando comenzamos a trabajar con preguntas más complicadas.

Cuando dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo, los llamamos sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes. Por ejemplo, supongamos que generamos aleatoriamente un número entero entre uno y 10, ambos inclusive. Los sucesos, ser múltiplo de dos y ser factor de nueve son mutuamente excluyentes porque no hay múltiplos de dos que también sean factores de nueve. Si sabemos que el número generado es un múltiplo de dos, es imposible que sea un factor de nueve, y viceversa. Estos sucesos son incompatibles porque si un número es un múltiplo de dos, la probabilidad de que sea un factor de nueve es cero. Y si es un factor de nueve, la probabilidad de que sea un múltiplo de dos es también cero.

Otro ejemplo más es lo que puede ocurrir al lanzar un dado, pensando en números pares y números impares. Si es un número impar, no puede ser un número par. Si es un número par, no puede ser un número impar. Y estas dos cosas, par o impar son resultados mutuamente excluyentes de este experimento.

Aquí tienes, pues, una lista de vocabulario de probabilidad que deberás ser capaz de entender como resultado de ver este video. Esperemos que sea útil.

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