Vídeo: Estimación de la derivada

En este video, vamos a aprender cómo usar métodos gráficos y numéricos para estimar la derivada de una función.

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Transcripción del vídeo

Estimación de la derivada

En este video, vamos a aprender cómo usar métodos gráficos y numéricos para hallar un valor aproximado de la derivada de una función. Vamos a ver ejemplos de cómo estos dos métodos funcionan. Vamos a comenzar demostrando un método numérico para estimar la derivada.

En este tipo de cuestiones, nos piden estimar 𝑓 prima de 𝑎 para determinado valor 𝑎, donde 𝑓 prima es la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. También nos dan algunos valores de 𝑓 de 𝑥 para valores de 𝑥 alrededor de 𝑎, e incluyendo 𝑎. Vamos a usar estos valores de 𝑓 de 𝑥 junto con los valores correspondientes de 𝑥 para estimar la derivada en 𝑎. Y la forma en que vamos a hacer esto es usando el hecho de que la derivada se halla a partir de la fórmula de la pendiente. Así que, para estimar la derivada, simplemente calculamos la pendiente de la función. Veamos cómo hacer esto.

Si queremos hallar la derivada de 𝑓 en 𝑎 y nos han dado los valores de 𝑓 de 𝑎, 𝑓 de 𝑏 y 𝑓 de 𝑐, donde 𝑏 es menor que 𝑎 que es menor que 𝑐, podemos usar estos tres valores de 𝑓, junto con los valores correspondientes de 𝑥, para estimar la pendiente a cada lado de 𝑎. Sabemos que la pendiente es igual al cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥. Podemos usar nuestros valores de 𝑓 para calcular el cambio en 𝑦 y los correspondientes valores de 𝑥 para calcular el cambio en 𝑥. Haciendo uso de estos valores, podemos estimar la pendiente en los lados izquierdo y derecho de 𝑎. Recordemos que estas son solo estimaciones, ya que estamos usando la pendiente de una recta para estimar la pendiente de una curva. Podemos decir que la pendiente a la izquierda de 𝑎 es aproximadamente igual a 𝑓 de 𝑎 menos 𝑓 de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝑏. Y la pendiente a la derecha de 𝑎 es aproximadamente igual a 𝑓 de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑐 menos 𝑎.

Una vez que hemos estimado la pendiente tanto a la izquierda como a la derecha de 𝑎, podemos estimar la pendiente en 𝑎 calculando la media de estas dos pendientes. Podemos hallar esta media sumando las dos pendientes y dividiendo el resultado por dos. Escribamos, pues, una fórmula para el valor aproximado de la derivada de 𝑓 en 𝑎. Y es que 𝑓 prima de 𝑎 es aproximadamente igual a 𝑓 de 𝑎 menos 𝑓 de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝑏 más 𝑓 de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑐 menos 𝑎 todo sobre dos. Esta estimación para 𝑓 prima de 𝑎 será más precisa cuanto más cerca estén los valores de 𝑏 y 𝑐 de 𝑎. Pero, es crucial que nuestros valores de 𝑏 y 𝑐 estén a diferentes lados de 𝑎.

Veamos un ejemplo de cómo se puede usar este método.

Dado que 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es una función con cuatro valores conocidos, siendo 𝑓 de dos igual a tres, 𝑓 de seis igual a 3.75, 𝑓 de siete es igual a cuatro y 𝑓 de 11 igual a 4.25, estima 𝑓 prima de siete.

En esta pregunta, nos piden estimar la derivada de 𝑓 en siete y nos han dado cuatro valores de 𝑓 de 𝑥 cercanos a siete. Por tanto, podemos usar nuestro método numérico para estimar esta derivada. Tenemos que 𝑓 prima de 𝑎 es aproximadamente igual a 𝑓 de 𝑎 menos 𝑓 de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝑏 más 𝑓 de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑐 menos 𝑎 todo sobre dos, donde 𝑏 es menor que 𝑎, que es menor que 𝑐. Y debemos elegir los valores más cercanos a 𝑎 para 𝑏 y 𝑐. En nuestro caso, dado que estamos tratando de hallar 𝑓 prima de siete, 𝑎 es igual a siete. Y los valores 𝑥 más cercanos a cada lado de siete, de los cuales nos han dado sus valores 𝑓, son seis y 11. Por lo tanto, hacemos que seis sea igual a 𝑏 y que 11 sea igual a 𝑐.

Seguidamente debemos sustituir estos valores en nuestra fórmula. Tenemos que 𝑓 prima de siete es aproximadamente igual a 𝑓 de siete menos 𝑓 de seis sobre siete menos seis más 𝑓 de 11 menos 𝑓 de siete sobre 11 menos siete todo sobre dos. Sabemos los valores de 𝑓 de seis, 𝑓 de siete, y 𝑓 de 11 porque nos los han dado en la cuestión. Así que podemos reemplazar estos valores, lo que nos deja con esto. Y luego simplificamos las fracciones en el numerador y obtenemos 0.25 sobre uno más 0.25 sobre cuatro todo sobre dos.

Podemos escribir 0.25 sobre uno como 0.25. Y podemos escribir 0.25 sobre cuatro como un cuarto multiplicado por 0.25. Después, podemos reescribir 0.25 como un cuarto. Luego, podemos multiplicar y sumar las dos fracciones en el numerador y finalmente dividir cinco sobre 17 por dos, lo que nos da 𝑓 prima de siete aproximadamente igual a cinco sobre 32. Nuestra solución puede ser escrita en forma decimal como 𝑓 prima de siete aproximadamente igual a 0.15625.

Antes de pasar a nuestro siguiente ejemplo, veamos más de cerca lo que estamos haciendo aquí. Esta gráfica muestra la función 𝑓 de 𝑥. Digamos que nos han pedido que calculemos la derivada de 𝑓 en 𝑎. En esta última pregunta, en realidad no se nos da la gráfica de 𝑓 de 𝑥. Sin embargo, se nos ha dado el valor de 𝑓 de a. Y también se nos han dado otros dos valores 𝑓: 𝑓 de 𝑏 y 𝑓 de 𝑐, de modo que 𝑏 es menor que 𝑎 y 𝑐 es mayor que 𝑎. Cuando usamos nuestro método numérico para estimar la derivada en 𝑎, tenemos primeramente que estimar la pendiente a la izquierda de 𝑎 hallando para ello la pendiente de la recta que va desde el punto 𝑏, 𝑓 de 𝑏 a 𝑎, 𝑓 de 𝑎.

Y aplicamos el mismo método para estimar la pendiente a la derecha de 𝑎. Hallamos la pendiente entre los puntos 𝑎, 𝑓 de 𝑎 y 𝑐, 𝑓 de 𝑐. Y estos son nuestros cálculos de 𝑓 de 𝑎 menos 𝑓 de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝑏 y 𝑓 de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑐 menos 𝑎. Luego, en nuestro paso final para estimar la derivada, simplemente hallamos la media de estas dos pendientes. Y así obtenemos nuestro valor aproximado de 𝑓 prima de 𝑎.

Pasemos a nuestro siguiente ejemplo, que incluye una tabla.

Usa la tabla para estimar 𝑓 prima de seis.

Aquí, nos piden estimar la derivada de 𝑓 en seis. Y nos han dado algunos valores de 𝑥, junto con los valores correspondientes de 𝑓, alrededor de seis, e incluyendo seis. Por lo tanto, podemos usar nuestra fórmula para este método numérico para estimar la derivada, que nos dice que la derivada de 𝑓 en 𝑎 es aproximadamente igual a la media de las pendientes a la izquierda y a la derecha de 𝑎. En esta fórmula, 𝑏 debe ser menor que 𝑎, que debe menor que 𝑐. Y debemos elegir los valores de 𝑏 y 𝑐 lo más cerca posible de 𝑎, y de modo que 𝑏 y 𝑐 estén a lados diferentes de 𝑎.

En nuestro caso, el valor de 𝑎 es seis y los valores más cercanos de 𝑥 a la derecha y a la izquierda de seis, que nos han dado, son cuatro y ocho. Por tanto, cuatro será igual a 𝑏 y ocho será igual a 𝑐. Una vez que tenemos los valores para 𝑎, 𝑏 y 𝑐, podemos sustituirlos en nuestra fórmula. Tenemos que 𝑓 prima de seis es aproximadamente igual a 𝑓 de seis menos 𝑓 de cuatro sobre seis menos cuatro más 𝑓 de ocho menos 𝑓 de seis sobre ocho menos seis todo sobre dos. Y ahora podemos reemplazar los valores de𝑓 de cuatro, 𝑓 de seis, y 𝑓 de ocho, ya que no los han dado en la tabla.

Luego de reemplazar estos valores, podemos simplificar las fracciones en el numerador, ya que 4.25 menos 3.9 es igual a 0.35, 4.8 menos 4.25 es igual a 0.55, y seis menos cuatro y ocho menos seis son ambos iguales a dos. Lo siguiente es dividir las fracciones en el numerador por el denominador. Y como este es dos, obtenemos 0.35 sobre cuatro más 0.55 sobre cuatro. Como tenemos un denominador común aquí, podemos sumar estas dos fracciones, lo que nos da 0.9 sobre cuatro. Simplificando esta fracción, llegamos a nuestra solución, que es que la estimación para la derivada de 𝑓 en seis es 0.225.

Veamos ahora cómo podemos estimar una derivada usando una gráfica. Si tenemos una función 𝑓 de 𝑥, como vemos aquí, podemos estimar la derivada de 𝑓 en un punto 𝑎 usando el hecho de que, como ya sabemos, la derivada es la pendiente de la función. Y podemos estimar la pendiente en un punto de la gráfica dibujando una tangente aproximada en ese punto y después calculando la pendiente de la tangente. Así que para hallar la pendiente de 𝑓 en 𝑎, simplemente dibujamos una tangente aproximada y después hallamos la pendiente de la tangente. Y esta pendiente aproximada de 𝑓 en 𝑎 es nuestra estimación para la derivada en 𝑎.

Veamos cómo hacer esto en el siguiente ejemplo.

Para la gráfica dada, estima 𝑓 prima de tres.

Aquí nos piden hallar la derivada de 𝑓 en tres. Y nos han dado una gráfica de 𝑓 de 𝑥. Nuestro método gráfico para estimar la derivada consiste en dibujar una tangente en el punto donde queremos hallar la derivada y calcular en ese punto la pendiente de esa tangente. Ahora, si hallas el valor de tres en nuestro eje 𝑥 y determinas su punto en nuestra gráfica de 𝑓 de 𝑥, podrás ver que ya se ha dibujado una tangente para este punto. Por consiguiente, lo que debemos hacer para estimar la derivada de 𝑓 en tres es hallar la pendiente de esta tangente. La forma más precisa de hallar la pendiente de esta tangente es elegir dos puntos bastante alejados entre sí en nuestra tangente, y que sean tales que podamos leerlos con precisión en nuestros ejes.

Vemos que tenemos un punto en cinco, siete. Y también tenemos otro punto en nuestra tangente en uno, menos uno. Por tanto, podemos usar estos dos puntos para hallar la pendiente de esta tangente. Usamos el hecho de que la pendiente de una recta es igual al cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥. El cambio en 𝑦 para nuestra tangente es la diferencia en los valores de 𝑦 de los puntos que hemos hallado. Es siete menos menos uno. Y el cambio en 𝑥 es la diferencia en los valores de 𝑥 para estos mismos puntos. Es cinco menos uno. Recordemos que es importante poner los números correspondientes en el mismo lado. Cinco y siete vinieron del punto cinco, siete y ambos van a la izquierda. Mientras que uno y menos uno vinieron del punto uno, menos uno, y ambos van a la derecha.

No importa en qué orden pongamos estos puntos siempre y cuando se haga de forma consistente. Por ejemplo, esta fracción es también igual a menos uno menos siete sobre uno menos cinco ya que menos uno y uno están a la izquierda y siete y cinco están en la derecha. Podemos simplificar esta fracción para hallar que la pendiente de nuestra tangente es igual a ocho sobre cuatro, que es, por supuesto, igual a dos.

Una vez que hemos hallado la pendiente de nuestra tangente, podemos usarla para estimar 𝑓 prima de tres ya que la derivada es la pendiente de la función. Y así hemos hallado la pendiente de la tangente en tres. Esto nos da el resultado de que nuestra estimación para la derivada de 𝑓 en tres es dos. La razón por la cual esta es una estimación y no una respuesta precisa es porque no sabemos qué tan precisa es la tangente que ha sido dibujada en el punto tres.

En este ejemplo hemos visto cómo podemos usar una tangente para hallar una estimación de la pendiente y, por lo tanto, la derivada en un punto. Sin embargo, la tangente en la gráfica a menudo no se nos da. Así que tendremos que dibujar una tangente nosotros mismos, como vamos a ver en nuestros ejemplos finales.

Para la gráfica dada, estima 𝑓 prima de menos 1.5.

Aquí nos piden estimar la derivada de 𝑓 en menos 1.5. Y nos han dado una gráfica de 𝑓 de 𝑥. Para poder estimar esta derivada usando la gráfica, vamos a usar el hecho de que la derivada es la pendiente de la función. Por tanto, estimar la derivada de 𝑓 en menos 1.5, como se nos pidió, es lo mismo que estimar la pendiente de 𝑓 en menos 1.5. Y una manera de estimar la pendiente de 𝑓 en cualquier punto es dibujar una tangente en ese punto y hallar la pendiente de la tangente. Como se nos ha pedido que calculemos el valor de la derivada en 𝑥 igual a menos 1.5, vamos a dibujar una recta tangente a 𝑓 en 𝑥 igual a menos 1.5. Menos 1.5 está aquí en nuestra gráfica y podemos ver el punto correspondiente en 𝑓 de 𝑥.

Así que simplemente dibujamos una tangente a 𝑓 en este punto. Y así es como nuestra tangente debe verse. Nuestra tangente estimada aquí es de hecho una recta horizontal. Por eso decimos que nuestra tangente es una recta de pendiente igual a cero. Esto se debe a que la pendiente es igual al cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥. Y podemos ver que cuando 𝑥 aumenta o disminuye, el valor de 𝑦 para esta recta horizontal se mantiene igual. Por tanto, no hay cambio en 𝑦. Así que el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥 será igual a cero. Esto es cierto para cualquier recta horizontal. Habiendo hallado la pendiente de nuestra tangente, podemos usar esto para estimar la derivada. Podemos decir que la derivada de 𝑓 en menos 1.5 es aproximadamente cero.

Veamos ahora el último ejemplo de este video.

Para la siguiente gráfica, estima 𝑓 prima de 0.5.

Nos han pedido estimar la derivada de 𝑓 en 0.5. Y nos han dado la gráfica de 𝑓. Como la derivada es la pendiente de la función, simplemente necesitamos estimar la pendiente de 𝑓 en 0.5. Y podemos hacer esto dibujando una tangente para 𝑓 en 0.5. Podemos hallar el punto en 𝑓 de 𝑥 que corresponde a la abscisa 𝑥 igual a 0.5. Después debemos dibujar una tangente a la gráfica en este punto. Queremos dibujar una tangente lo más larga posible para que podamos obtener un valor preciso de su pendiente.

Podemos ver los puntos finales de la tangente que hemos dibujado, que están aquí y aquí. Y las coordenadas de estos puntos son 2.6, cinco y menos cinco, menos cinco. Haciendo uso del hecho de que la pendiente de una recta se puede hallar calculando el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥, obtenemos que la pendiente de nuestra tangente es igual a cinco menos menos cinco sobre 2.6 menos menos cinco, que es igual a 10 sobre 7.6, que es igual a 1.316 con tres cifras decimales.

Ahora que hemos hallado una estimación para la pendiente de la tangente en el punto 0.5, 𝑓 de 0.5, podemos usar esta estimación para estimar la derivada de 𝑓 en 0.5 ya que la derivada es la función cuyo valor es la pendiente en cada punto. Así que 𝑓 prima de 0.5 es aproximadamente 1.316. La respuesta para esta pregunta puede diferir, ya que depende de cómo dibujemos nuestra tangente. Y esta es la razón por la cual esto es solo una estimación del valor de la derivada de 𝑓 en 0.5, ya que es casi imposible dibujar la tangente perfecta en este punto. Y, por lo tanto, la pendiente de nuestra tangente siempre se apartará de la derivada real en cierta cantidad. Sin embargo, este método puede ser una herramienta muy útil para estimar la derivada, pues podemos obtener un valor aproximado de la derivada incluso sin conocer la ecuación de 𝑓.

Hemos visto una variedad de ejemplos de cómo podemos estimar derivadas de funciones, tanto numérica como gráficamente. Repasemos algunos puntos clave del video.

Puntos clave

Podemos estimar numéricamente la derivada de una función en un punto hallando la media de la pendiente a la izquierda y a la derecha del punto donde estamos tratando de estimar la derivada. La fórmula es que 𝑓 prima de 𝑎 es aproximadamente igual a 𝑓 de 𝑎 menos 𝑓 de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝑏 más 𝑓 de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑐 menos 𝑎 todo partido por dos, donde 𝑏 es menor que 𝑎 y 𝑐 es mayor que 𝑎. Podemos hallar gráficamente un valor aproximado de la derivada de una función en un punto estimando la tangente a la gráfica en ese punto y hallando la pendiente de esta tangente.

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