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En este vídeo vamos a aprender cómo usar la antiderivada de funciones trigonométricas
inversas para integrar funciones más complejas en las que no tenemos claro cómo
pueden ayudarnos los métodos de sustitución o cambio de variable, o de integración
por partes. Para aprovechar este vídeo es esencial que te sientas cómodo derivando funciones
trigonométricas inversas tales como la inversa del seno de 𝑥, la inversa de la
tangente de 𝑥 y la inversa de la secante de 𝑥.
Este vídeo se basa en el teorema fundamental del cálculo. Como sabemos, la primera parte de este teorema dice que, si una función 𝑓 es
continua, entonces la derivada de la integral de la función 𝑓 con respecto a la
variable 𝑡 en el intervalo de 𝑎 a 𝑥 es igual a la función 𝑓 de 𝑥. Básicamente nos dice que la derivación y la integración son operaciones inversas. Esto nos viene de perlas, pues significa que, si podemos identificar nuestro
integrando como la derivada de una función — con unas pequeñas modificaciones, tal
vez — seremos capaces de integrar fácilmente funciones bastante complicadas.
Ahora vamos a repasar los principales resultados generales de la derivada de
funciones trigonométricas inversas que usaremos a lo largo del vídeo. La primera que vamos a ver es la derivada de la función inversa del seno de 𝑥 sobre
𝑎, para la constante real 𝑎. Es uno sobre la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado. Pero esto solo sirve para valores de la inversa del seno de 𝑥 sobre 𝑎 que son
mayores o iguales que menos 𝜋 sobre dos y menores que 𝜋 sobre dos. Con restricciones similares en el recorrido de la función inversa de la tangente de
𝑥 sobre 𝑎, obtenemos que su derivada es 𝑎 sobre 𝑎 al cuadrado más 𝑥 al
cuadrado.
Por último, sabemos que la derivada de la inversa de la secante de 𝑥 sobre 𝑎 es 𝑎
sobre 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado. Recuerda que, cuando hacemos cálculos con funciones trigonométricas, siempre
empleamos radianes. Ahora vamos a ver un ejemplo sencillo de cómo pueden ayudarnos estas derivadas a
calcular una integral que da como resultado una función trigonométrica inversa.
Calcula la integral definida entre los límites uno y raíz de tres de menos uno sobre
uno más 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥.
Tenemos una integral definida que ha de ser calculada entre los límites uno y raíz
cuadrada de tres. Así que, para calcularla, vamos a tener que aplicar la segunda parte del teorema
fundamental del cálculo, o sea, la regla de Barrow. La regla de Barrow dice que, si 𝑓 es una función real en un intervalo cerrado 𝑎,
𝑏, y 𝐹 mayúscula es una antiderivada de 𝑓 en ese intervalo cerrado, o sea, 𝐹
mayúscula prima de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Entonces, si 𝑓 es integrable (según Riemann) en el intervalo cerrado, la integral
definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula
de 𝑎. En definitiva, podemos calcular nuestra integral de aquí hallando la antiderivada de
la función menos uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado y calculando luego la diferencia
entre su valor en raíz de tres y su valor en uno.
Ahora bien, la integral de menos uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado no es
particularmente sencilla de resolver. Pero no te preocupes, pues enseguida vamos a ver que podemos sacar los factores
constantes fuera de la integral para centrarnos solo en la integral. Así que sacamos el factor constante de menos uno. Queremos calcular menos la integral de uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado entre uno y
raíz de tres. Y vemos que podemos usar el resultado general de la derivada de la inversa de la
tangente de 𝑥 sobre 𝑎. Es 𝑎 sobre 𝑎 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado. Esto significa que la antiderivada de 𝑎 sobre 𝑎 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado es
la inversa de la tangente de 𝑥 sobre 𝑎.
Si comparamos la función 𝑎 sobre 𝑎 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado con nuestra
función uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado, podemos ver que 𝑎 es igual a uno. Por lo tanto, si decimos que 𝑓 de 𝑥 es igual a uno sobre uno más 𝑥 al cuadrado,
entonces la antiderivada 𝐹 mayúscula de 𝑥 es la inversa de la tangente de 𝑥 sobre
uno, que es la inversa de la tangente de 𝑥. Según la regla de Barrow, la integral definida entre uno y raíz de tres de uno sobre
uno más 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es igual a la inversa de la tangente de
raíz de tres menos la inversa de la tangente de uno. Y, obviamente, hemos sacado fuera la constante de menos uno al principio.
Y podemos hallar fácilmente que la inversa de la tangente de la raíz de tres es 𝜋
sobre tres, y que la inversa de la tangente de uno es 𝜋 sobre cuatro. Vamos a calcular la diferencia entre estas dos fracciones usando un denominador
común. Multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por cuatro, y el
numerador y el denominador de la segunda fracción por tres. Queremos calcular menos cuatro 𝜋 sobre 12 menos tres 𝜋 sobre 12. Cuatro 𝜋 sobre 12 menos tres 𝜋 sobre 12 es 𝜋 sobre 12. Así que obtenemos que la respuesta es menos 𝜋 sobre 12. Muy bien, ya hemos hallado el resultado general de la integral indefinida de 𝑎 sobre
𝑎 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 para una constante real 𝑎. Es la inversa de la tangente de 𝑥 sobre 𝑎 más una constante de integración 𝑐. Y en lugar de calcular directamente 𝐹 mayúscula de 𝑏 menos 𝐹 mayúscula de 𝑎,
podríamos haber incluido el paso este adicional que usa los corchetes.
Halla la antiderivada más general 𝐺 mayúscula de 𝑣 de la función 𝑔 de 𝑣 igual a
cuatro por coseno de 𝑣 más tres sobre cinco por raíz de uno menos 𝑣 al
cuadrado.
Recuerda que la antiderivada es lo contrario de la derivada. Otra forma de pensar en ello es que para hallar la antiderivada 𝐺 mayúscula de
𝑣. Podemos hallar la integral indefinida de esta función. Así que decimos que 𝐺 mayúscula de 𝑣 es igual a la integral indefinida de 𝑔
minúscula de 𝑣. Sustituimos 𝑔 de 𝑣 por la función cuatro por coseno de 𝑣 más tres sobre cinco por
la raíz cuadrada de uno menos 𝑣 al cuadrado. Y nos acordamos de una de las propiedades básicas de las integrales; esto es, la
integral de la suma de dos o más funciones es igual a la suma de la integral de cada
una de estas funciones. Así que podemos descomponer nuestra integral. Y obtenemos que 𝐺 mayúscula de 𝑣 es igual a la integral de cuatro por coseno de 𝑣
más la integral de tres sobre cinco por la raíz cuadrada de uno menos 𝑣 al
cuadrado.
Otra propiedad básica que podemos aplicar es que la integral del producto de una
constante por una función es igual al producto de esa constante por la integral de
la función. Así que reescribimos esto como cuatro por la integral de coseno de 𝑣 más tres
quintos por la integral de uno sobre el cuadrado de uno menos 𝑣 al cuadrado. Y esto nos viene de perlas, pues ahora podemos hacer uso de los resultados generales
de las derivadas. En primer lugar, sabemos que la derivada del seno de 𝑥 es coseno de 𝑥. Así que la antiderivada y, por lo tanto, la integral de coseno de 𝑣 es seno de
𝑣. Y como tenemos integrales definidas, añadimos una constante de integración. Llamémosla 𝐴. De esta forma obtenemos que la primera parte es cuatro por seno de 𝑣 más 𝐴.
Sabemos que, si la inversa del seno de 𝑥 sobre 𝑎 es mayor o igual que menos 𝜋
sobre dos y menor o igual que 𝜋 sobre dos, su derivada es igual a uno sobre la raíz
cuadrada de 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado. En nuestro caso, 𝑎 al cuadrado es igual a uno. Así que 𝑎 debe ser igual a uno también. Por lo tanto, la antiderivada de uno sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑣 al
cuadrado y, en consecuencia, la integral de esta función es la inversa del seno de
𝑥 sobre uno. Y añadimos otra constante de integración 𝐵. Y la inversa del seno de 𝑥 sobre uno puede escribirse como la inversa del seno de
𝑥.
Si desarrollamos el paréntesis y combinamos las constantes en una nueva constante 𝐶
mayúscula, hallamos que la antiderivada general 𝐺 mayúscula de 𝑣 es igual a cuatro
por seno de 𝑣 más tres quintos de la inversa del seno de 𝑣 más 𝐶. En este ejemplo hemos usado que la integral indefinida de uno sobre la raíz cuadrada
de 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es la inversa del seno de
𝑥 sobre 𝑎 más 𝑐.
Ahora vamos a ver un ejemplo en el que vamos a tener que hacer alguna manipulación
más.
Calcula la integral indefinida de uno sobre equis por la raíz cuadrada de cuatro 𝑥
al cuadrado menos 16 con respecto a 𝑥.
A primera vista, puede parecer que esta integral produce una función trigonométrica
inversa sencilla. Sin embargo, aunque sabemos que la derivada de la inversa de la secante de 𝑥 sobre
𝑎 es 𝑎 sobre 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado,
cuando la inversa de la secante de 𝑥 sobre 𝑎 es mayor que cero, menor que 𝜋 y
distinta de 𝜋 sobre dos. Nuestro integrando no es de esta forma. Como vemos, tenemos cuatro 𝑥 al cuadrado en vez de 𝑥 al cuadrado. Así que tenemos que hacer algunos cambios. Comenzaremos multiplicando el numerador y el denominador de nuestra fracción por
dos. Recuerda que esto no cambia el integrando, pues es lo mismo que multiplicar por
uno.
Queremos calcular la integral indefinida de dos sobre dos 𝑥 por el cuadrado de
cuatro 𝑥 al cuadrado menos 16. Nos fijamos en que cuatro 𝑥 al cuadrado y 16 son cuadrados. Esto quiere decir que podemos escribir cuatro 𝑥 al cuadrado menos 16 como dos 𝑥,
todo al cuadrado, menos cuatro al cuadrado. Y ahora realizamos un cambio de variable. Hacemos 𝑢 igual a dos 𝑥 al cuadrado, y vemos que dentro del radical tenemos 𝑢 al
cuadrado menos cuatro al cuadrado. Como puedes ver esto está mucho más cerca de la forma que nos interesa. Si 𝑢 es igual a dos 𝑥, entonces d𝑢 sobre d𝑥 debe ser igual a dos. Y, del mismo modo, d𝑢 debe ser igual a dos 𝑥.
Fíjate en que podemos sustituir dos d𝑥 por d𝑢. Y tenemos dos 𝑥, y podemos sustituir dos 𝑥 por 𝑢, así que nuestra función está
ahora en la forma que queríamos. Tenemos que integrar uno sobre 𝑢 por la raíz cuadrada de 𝑢 al cuadrado menos cuatro
al cuadrado con respecto a 𝑢. Si echamos una ojeada a nuestras derivadas del principio, vemos que la inversa de la
secante de 𝑥 sobre 𝑎 es la antiderivada de 𝑎 sobre 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥
al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado. En nuestro integrando, 𝑎 es igual a cuatro. Y, obviamente, el numerador de la fracción es uno, no cuatro. Así que nuestra integral es un cuarto de la inversa de la secante de 𝑢 sobre cuatro
más 𝑐. Lo último que tenemos que hacer es deshacer el cambio de variable, es decir, debemos
sustituir 𝑢 por dos 𝑥. De esta forma obtenemos que la integral indefinida es un cuarto de la inversa de la
secante de 𝑥 sobre dos más la constante de integración 𝑐.
En el último ejemplo vamos a ver una integral en la que tendremos que hacer cambios
que incluyen completar un cuadrado y hacer un cambio de variable.
Calcula la integral indefinida de uno sobre 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 más uno con
respecto a 𝑥.
Esta función no es nada fácil de integrar. Pero no te preocupes, vamos a tratar de resolverla a partir de nuestros conocimientos
de integración. Desde luego no es el producto de dos funciones. Así que no vamos a usar el método de integración por partes. Sin embargo, si hacemos alguna modificación en el denominador, podremos tal vez usar
el método de integración por sustitución. Vamos a completar el cuadrado de la expresión 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 más uno del
denominador. Recuerda que tenemos que reducir a la mitad el coeficiente de 𝑥. Que es menos uno, así que la mitad de eso es menos un medio. Muy bien, tenemos 𝑥 menos un medio al cuadrado entre paréntesis. Menos un medio al cuadrado es un cuarto, así que restamos ese cuarto. Y obtenemos que nuestra expresión es 𝑥 menos un medio todo al cuadrado más tres
cuartos. Ahora ya tenemos la integral que queremos calcular.
Conocemos la integral indefinida de 𝑎 sobre 𝑎 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado. Es la inversa de la tangente de 𝑥 sobre 𝑎. Por lo tanto, para asegurarnos de que nuestra función se parece a esta, vamos a hacer
un cambio de variable. Hacemos 𝑥 menos un medio igual a 𝑢. Así, esta parte será 𝑢 al cuadrado. La derivada de 𝑥 menos un medio es uno. Así que d𝑢 sobre d𝑥 es uno, lo que significa que d𝑢 es igual a d𝑥. Por lo que sustituimos d𝑥 por d𝑢 y 𝑥 menos un medio por 𝑢. Y nos damos cuenta de que lo que queremos hallar es la integral indefinida de uno
sobre 𝑢 al cuadrado más tres cuartos.
Pero lo cierto es que esto aún no se parece a lo que buscamos. Necesitamos que el denominador tenga 𝑎 al cuadrado. Bueno, tres cuartos es lo mismo que raíz cuadrada de tres cuartos al cuadrado. Así que 𝑎 aquí es igual a la raíz cuadrada de tres cuartos. Y como el numerador de nuestra fracción es uno y no la raíz cuadrada de tres cuartos,
la integral es uno dividido por la raíz cuadrada de tres cuartos por la inversa de
la tangente de 𝑢 sobre la raíz cuadrada de tres cuartos más 𝑐. Uno dividido por la raíz cuadrada de tres cuartos es dos por raíz de tres sobre
tres. Luego volvemos a 𝑢 igual a 𝑥 menos un medio. E introducimos esto en nuestro resultado. Por último, desarrollamos el paréntesis. La integral indefinida de uno sobre 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 más uno con respecto a 𝑥
es dos por raíz de tres sobre tres por la inversa de la tangente de raíz de tres
sobre tres por dos 𝑥 menos uno más la constante de integración 𝑐.
En este vídeo hemos visto que podemos utilizar el concepto de la antiderivada para
integrar funciones que producen funciones trigonométricas inversas. La integral de uno sobre la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado es
la inversa del seno de 𝑥 sobre 𝑎. La integral de 𝑎 sobre 𝑎 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado es la inversa de la
tangente de 𝑥 sobre 𝑎. Y la integral de 𝑎 sobre 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos 𝑎 al
cuadrado es la inversa de la secante de 𝑥 sobre 𝑎. Además, hemos visto que a veces tenemos que hacer algunos cambios como realizar un
cambio de variable para resolver este tipo de problemas.
