Vídeo: Definir lugares geométricos en el plano complejo usando el módulo

En este video, vamos a aprender cómo dibujar y cómo interpretar lugares geométricos en el plano complejo expresados en términos del módulo.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo dibujar e interpretar los lugares geométricos en el plano complejo que están expresados en términos del módulo. En primer lugar, analizaremos la geometría en el plano complejo antes de considerar los lugares geométricos y sus ecuaciones. Estos incluirán lugares circulares y elípticos, y mediatrices.

Comencemos recordando algunas definiciones. Un lugar geométrico en el plano complejo es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una condición particular. También sabemos que el módulo de un número complejo es la distancia desde el origen del punto que representa ese número en el plano complejo. Para un número complejo en forma binómica, 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖, su módulo es la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. En nuestro primer ejemplo, simplemente exploraremos la geometría del plano complejo.

Un número complejo 𝑤 se halla a una distancia de cinco raíz de dos de 𝑧 uno, que es nueve sobre dos más siete sobre dos 𝑖, y a una distancia de cuatro raíz de cinco de 𝑧 dos, que es menos nueve sobre dos menos siete sobre dos 𝑖. ¿Se encuentra el punto 𝑤 en la circunferencia centrada en el origen que pasa por 𝑧 uno y 𝑧 dos?

Para responder a esta pregunta, comenzaremos considerando las propiedades de las circunferencias. Los números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos se representan en el plano complejo como se muestra. 𝑧 uno está representado por el punto cuyas coordenadas cartesianas son nueve sobre dos y siete sobre dos. Y de manera similar, 𝑧 dos tiene coordenadas cartesianas menos nueve sobre dos y menos siete sobre dos.

Observa cómo 𝑧 uno es igual a menos 𝑧 dos. Son diametralmente opuestos. Y el segmento de recta que une 𝑧 uno a 𝑧 dos es un diámetro de una circunferencia. Podemos usar resultados conocidos para deducir que esto significa que 𝑤 estará en la circunferencia si el triángulo formado por 𝑧 uno, 𝑧 dos y 𝑤 es un triángulo rectángulo.

Para comprobar si este es un triángulo rectángulo, podemos usar el teorema de Pitágoras y verificar si las longitudes de los lados dados como 𝑎, 𝑏 y 𝑐 satisfacen la fórmula 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a 𝑐 al cuadrado, en donde 𝑐 es, por supuesto, el lado más largo, la hipotenusa, en ese triángulo.

Ya sabemos que 𝑤 está a cinco raíz de dos unidades de 𝑧 uno y que está a cuatro raíz de cinco unidades de menos 𝑧 dos. Aquí necesitaremos hallar la longitud del tercer lado del triángulo. Esa es la longitud del lado que une 𝑧 uno y 𝑧 dos. La longitud de este lado será el módulo de la diferencia entre estos dos números complejos. Ese es el módulo de 𝑧 uno menos 𝑧 dos.

Para hallar la diferencia, simplemente hallamos la diferencia entres sus partes reales y sus partes imaginarias. Las partes reales, son nueve sobre dos menos menos nueve sobre dos. Y para las partes imaginarias, siete sobre dos menos menos siete sobre dos. Lo que significa que la diferencia entre 𝑧 uno y 𝑧 dos es nueve más siete 𝑖.

Recuerda, queremos hallar el módulo de la diferencia entre estos dos números. Que es la raíz cuadrada de nueve al cuadrado más siete al cuadrado, que es la raíz cuadrada de 130.

Una vez que conocemos las longitudes de estos tres lados, podemos comprobar si satisfacen o no el teorema de Pitágoras. Raíz de 130 es mayor que raíz de dos y que cuatro raíz de cinco. Así que vamos a hallar la suma de los cuadrados de las dos longitudes más cortas. Cuatro raíz de cinco al cuadrado es 50, y cinco raíz de dos al cuadrado es 80. 50 más 80 es 130, que es, por supuesto, igual al cuadrado de la raíz cuadrada de 130.

Vemos, pues, que estos tres lados satisfacen el teorema de Pitágoras y, por lo tanto, forman un triángulo rectángulo. Esto a su vez significa que el segmento que une 𝑧 uno y 𝑧 es el diámetro de una circunferencia en la cual se halla 𝑤 como es requerido.

Generalicemos esta idea. Hemos visto que la distancia entre dos puntos está dada por el módulo de su diferencia. Por lo tanto, podemos decir que, para un número complejo constante dado 𝑧 uno, el lugar geométrico de los números 𝑧 que satisfacen la ecuación módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑟 es una circunferencia centrada en 𝑧 uno de radio 𝑟. Consideremos ahora un ejemplo de una aplicación de esta definición.

Un número complejo 𝑧 satisface la ecuación módulo de 𝑧 menos dos más tres 𝑖 igual a dos. 1) Describe el lugar geométrico de 𝑧 y exprésalo mediante una ecuación cartesiana. 2) Halla el rango del argumento de 𝑧 en el intervalo menos 𝜋 a 𝜋. 3) Halla el rango del módulo de 𝑧.

Recuerda que, para un número complejo constante 𝑧 uno, el lugar geométrico de los puntos 𝑧 que satisfacen la ecuación dada es una circunferencia centrada en 𝑧 uno de radio 𝑟. Para resolver la primera parte, reescribiremos 𝑧 menos dos más tres 𝑖 factorizando menos uno. Y obtenemos 𝑧 menos dos menos tres 𝑖. Esto significa que, dado que nuestro número complejo 𝑧 satisface esta ecuación, su lugar geométrico es una circunferencia con un radio de dos, cuyo centro está en dos menos tres 𝑖.

Y hay dos maneras en que podemos asignar una ecuación cartesiana a esto. Podríamos sustituir 𝑧 por 𝑥 más 𝑦𝑖 en la ecuación dada. Alternativamente, podemos hacer uso de la ecuación cartesiana para una circunferencia centrada en 𝑎𝑏 y de radio 𝑟. Es 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado más 𝑦 menos 𝑏 todo al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado.

Siendo 𝑥 la parte real y 𝑦 la parte imaginaria, sabemos que, para nuestra circunferencia, el radio es dos, 𝑎 es igual a dos, y 𝑏 es igual a menos tres. Reemplazamos estos valores en la fórmula, y obtenemos 𝑥 menos dos todo al cuadrado más y menos tres al cuadrado igual a dos al cuadrado. La ecuación cartesiana se simplifica a 𝑥 menos dos al cuadrado más 𝑦 más tres al cuadrado igual a cuatro.

Y ahora pasamos a la segunda parte. Halla el rango del argumento de 𝑧 en el intervalo menos 𝜋 a 𝜋.

Vamos a comenzar dibujando en el plano complejo el lugar geométrico que nos han dado. Recuerda, se trata de una circunferencia cuyo centro está en dos, menos tres. Y su radio mide dos unidades. Esto significa que el eje imaginario debe ser una tangente a esta circunferencia. Es bastante claro que el mínimo valor posible para el argumento debe ser menos 𝜋 partido por dos radianes. Pero ¿qué pasa con su valor máximo?

Bien, llamemoslo 𝜃 menos 𝜋 por dos. Y ahora añadimos otra tangente a esta circunferencia. Llamaremos 𝑏 a este punto. Sabemos que los triángulos 𝑂𝐵𝐶 y 𝐴𝑂𝐶 son congruentes. Son triángulos rectángulos que comparten una hipotenusa de la misma longitud. Ambos también tienen el radio de la circunferencia como uno de sus lados. Por tanto deben ser congruentes. Esto significa que estos ángulos agudos en 𝑂 deben ser iguales. Los llamaremos 𝜃 dividido por dos.

Usando trigonometría, podemos ver que tan de 𝜃 dividido por dos debe ser igual a 𝐴𝐶 dividido por 𝐴𝑂. 𝐴𝐶 es dos unidades, y 𝐴𝑂 es tres unidades. Así que 𝜃 dividido por dos debe ser igual a arctan de dos tercios. Y, por lo tanto, podemos decir que 𝜃 es igual a dos por arctan de dos tercios. Y por tanto el valor máximo es dos arctan de dos tercios menos 𝜋 partido por dos. Y tenemos el rango del argumento.

Veamos la parte tres. Halla el rango del módulo de 𝑧.

Sabemos que el valor mínimo de 𝑧 está en este punto 𝐷. Y el valor máximo está en el punto 𝐸. Y esto se debe a que el módulo es la distancia entre el punto que representa el número complejo en el plano complejo y el origen. Y de hecho sabemos el radio de la circunferencia. Así que podemos definir el valor mínimo como la longitud de 𝑂𝐶 menos el radio y el máximo como la longitud de 𝑂𝐶 más el radio.

Hemos visto que el radio es dos. Así que el mínimo es 𝑂𝐶 menos dos, y el máximo es la longitud de 𝑂𝐶 más dos. Y podemos usar la fórmula de la distancia o la definición del módulo para hallar la longitud de 𝑂𝐶. 𝐶 está en el punto dos, menos tres. Así que la longitud de 𝑂𝐶 es la raíz cuadrada de dos al cuadrado más menos tres al cuadrado, que es raíz de 13. Y vemos que el rango del módulo de 𝑧 está entre los valores raíz de 13 menos dos y raíz de 13 más dos. También podemos aplicar este proceso a la inversa y, usando geometría de coordenadas estándar describir un lugar geométrico dado como una ecuación en términos del módulo.

Veamos un ejemplo.

La figura muestra el lugar geométrico de los números 𝑧 en el plano complejo. Escribe una ecuación para el lugar geométrico en la forma módulo de 𝑧 menos 𝑎 igual a 𝑏, en donde 𝑎 es un número complejo y 𝑏 es mayor que cero, y ambos son constantes que hay que hallar.

Recuerda que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface la ecuación módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑟 es una circunferencia centrada en 𝑧 uno de radio 𝑟. Por lo tanto, necesitamos hallar el centro y el radio de la circunferencia representada en nuestro diagrama.

Vemos que la circunferencia pasa a través de tres puntos. Estos son los puntos que representan los números complejos cero, cuatro 𝑖, y menos 10. Vemos que el ángulo en 𝑧 uno es recto. Y por tanto sabemos que la recta que une 𝑧 tres y 𝑧 dos pasa a través del centro del círculo. Es un diámetro del círculo.

Podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular esa longitud. Y, por lo tanto, podremos hallar el radio. Representando el diámetro con 𝑑, vemos que 𝑑 es igual a la raíz cuadrada de 10 al cuadrado más cuatro al cuadrado. Y es igual a dos raíz de 29. Su radio es la mitad de esto. Así que el radio de la circunferencia mide raíz cuadrada de 29 unidades.

También sabemos que el centro de la circunferencia debe estar en el punto medio del diámetro. Podemos aplicar aquí geometría cartesiana básica. O podemos hacer uso de que el punto medio de dos números complejos es la mitad de su suma. Y vemos que el centro de la circunferencia está en el punto que representa al número complejo un medio de menos 10 más cuatro 𝑖. Esto es menos cinco más dos 𝑖. Así que tenemos una circunferencia cuyo radio es raíz de 29 y cuyo centro se encuentra en menos cinco más dos 𝑖. Esto quiere decir que la ecuación de nuestra circunferencia y, por lo tanto, la ecuación que se nos pide, es módulo de 𝑧 menos menos cinco más dos 𝑖 igual a raíz de 29.

En el siguiente ejemplo, usamos el hecho de que una ecuación del tipo módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos representa la mediatriz del segmento que une los puntos 𝑧 uno y 𝑧 dos. Por ejemplo, módulo de 𝑧 igual a módulo de 𝑧 menos seis 𝑖 representa el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los puntos cero, cero y cero, seis. Veamos un ejemplo un poco más complicado.

Un número complejo 𝑧 satisface la ecuación módulo de 𝑧 más uno más 𝑖 igual a módulo de 𝑧 menos dos menos seis 𝑖. Describe el lugar geométrico de 𝑧 y da su ecuación cartesiana. Vamos a comenzar factorizando los términos dentro de cada módulo para expresarlos en la forma típica.

El módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno es igual al módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos. Esto es módulo de 𝑧 menos menos uno menos 𝑖 igual a módulo de 𝑧 menos dos más seis 𝑖. Esto significa que el lugar geométrico de 𝑧 consiste en todos los puntos equidistantes de menos uno menos 𝑖 y dos más seis 𝑖. Esto es la mediatriz del segmento que une los dos puntos en el plano complejo.

Podemos encontrar su ecuación cartesiana como lo haríamos con la ecuación cartesiana de cualquier recta, hallando primero su pendiente. La pendiente del segmento entre los puntos que representan nuestros dos números complejos es seis menos menos uno sobre dos menos menos uno, que es siete tercios. Dado que el lugar geométrico de los puntos que representan 𝑧 es la mediatriz de este segmento, la pendiente se halla usando el hecho de que el producto de los gradientes de dos rectas, que son perpendiculares, es menos uno. Por eso su pendiente es menos tres séptimos.

También sabemos que esta recta pasa por el punto medio de los puntos que representan nuestros dos números complejos. Y este punto medio es la mitad de la suma de estos dos números complejos. Es la mitad de menos uno menos 𝑖 más dos más seis 𝑖. Eso es un medio más cinco medios de 𝑖. Usando la fórmula 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno, con las coordenadas cartesianas un medio y cinco medios, obtenemos 𝑦 menos cinco medios igual a menos tres séptimos por 𝑥 menos un medio.

Y podemos reorganizar esto. Y vemos que la ecuación de nuestra recta es 𝑦 igual a menos tres séptimos de 𝑥 más 19 sobre siete. Para nuestros dos últimos ejemplos, vamos a considerar el lugar geométrico de los puntos 𝑧 que forman una circunferencia definida de una forma diferente a las de anteriores ejemplos, y ecuaciones que definen una elipse. El primer resultado que necesitamos saber es que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface la ecuación módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno igual a 𝑘 por módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos cuando 𝑘 es mayor que cero y no igual a uno, es una circunferencia. También necesitamos saber que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisfice la ecuación módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno más módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos igual a 𝑎, siendo módulo de 𝑧 uno menos 𝑧 dos menor que 𝑎, es una elipse con focos 𝑧 uno y 𝑧 dos y con eje mayor de longitud 𝑏.

Un número complejo 𝑧 satisface la ecuación módulo de 𝑧 más uno menos 13𝑖 igual a tres por el módulo de 𝑧 menos siete menos cinco 𝑖. Halla la ecuación cartesiana del lugar geométrico de 𝑧.

Sabemos que el lugar geométrico de los puntos 𝑧 que satisfacen esta ecuación es una circunferencia. Podemos hallar su centro y su radio sustituyendo la forma binómica del número complejo en esta ecuación. Hagamos, pues, 𝑧 igual a 𝑥 más 𝑦𝑖. En el lado izquierdo, obtenemos 𝑥 más 𝑦𝑖 más uno menos 13𝑖. Y el lado derecho se convierte en 𝑥 más 𝑦𝑖 menos siete menos cinco 𝑖. Podemos reunir partes reales e imaginarias.

Y seguidamente aplicamos la definición del módulo. El módulo de un número complejo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la parte real y de la parte imaginaria. En nuestro caso, eso es como se muestra. Elevamos al cuadrado los dos lados de esta ecuación. Y seguidamente desarrollamos nuestros paréntesis y agrupamos todos los términos. Podemos dividir por ocho. Y tenemos 𝑥 al cuadrado menos 16𝑥 más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑦 más 62 es igual a cero.

Podemos completar el cuadrado. Y vemos que esto se simplifica a 𝑥 menos ocho todo al cuadrado más 𝑦 menos cuatro todo al cuadrado igual a 18. Hemos obtenido la ecuación cartesiana del lugar geométrico de 𝑧. Y, efectivamente, hemos obtenido una circunferencia, como dijimos anteriormente. Ahora sabemos, además, que tiene el centro en el punto de coordenadas cartesianas ocho, cuatro. Y su radio es raíz de 18, que se simplifica a tres raíz de dos.

Un número complejo satisface módulo de 𝑧 más módulo de 𝑧 menos cinco menos tres 𝑖 igual a ocho. Describe el lugar geométrico de 𝑧.

Recuerda que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface módulo de 𝑧 menos 𝑧 uno más módulo de 𝑧 menos 𝑧 dos igual a 𝑎, siendo módulo de 𝑧 uno menos 𝑧 dos menor que 𝑎, es una elipse, con un foco en 𝑧 uno y el otro foco 𝑧 dos, y un eje mayor de longitud 𝑏. Podemos reescribir nuestra ecuación como módulo de 𝑧 menos cero más módulo de 𝑧 menos cinco más tres 𝑖 igual a ocho. Esto significa que el lugar geométrico de 𝑧 es una elipse. Tiene focos en el origen y en cinco más tres 𝑖. Y tiene un eje mayor de ocho unidades de longitud.

En esta lección, hemos visto que podemos usar nuestros conocimientos de geometría en general y de la geometría del plano complejo en particular para determinar los lugares geométricos de puntos que satisfacen ciertas ecuaciones. Hemos visto que el lugar geométrico de un punto 𝑧 que satisface esta ecuación es una circunferencia de radio 𝑟. El lugar geométrico de los puntos que satisfacen estas ecuaciones es la mediatriz del segmento entre 𝑧 uno y 𝑧 dos. También hemos visto formas alternativas de expresar la circunferencia como lugar geométrico, y una expresión para la elipse como lugar geométrico.

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