Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo resolver problemas formulando y resolviendo una ecuación cuadrática, es decir, una ecuación de segundo grado. Estas ecuaciones son las que se escriben en la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, siendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 constantes, es decir, números. Además, el valor de 𝑎 no debe ser cero, pues de ser así perderíamos el término 𝑥 al cuadrado. Y, si eso ocurriera, la ecuación sería entonces de primer grado (lineal), no de segundo grado (cuadrática). Sin embargo, no hay ningún problema en que 𝑏 o 𝑐, o ambas, tengan el valor cero.
Para sacar el máximo provecho de este vídeo debes estar familiarizado con la resolución de ecuaciones de segundo grado mediante descomposición en factores. Conviene que también conozcas los otros dos métodos para resolver una ecuación cuadrática, que son usando la fórmula cuadrática y completando el cuadrado. Pero si no es así, no te preocupes, pues estos métodos no serán necesarios para los ejemplos que veremos en este vídeo. En este vídeo nos enfocaremos, fundamentalmente, en el planteamiento de una ecuación cuadrática a partir de una descripción verbal o de un diagrama. Pero también resolveremos las ecuaciones. Para ello, conviene que repasemos el método de resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización — o sea, descomposición en factores — haciendo uso de unos ejemplos.
La suma de los cuadrados de dos números reales positivos es 542. Sabiendo que uno de ellos es 18, halla el valor del otro.
En este problema no vamos a aplicar el método de ensayo y mejora. Vamos a resolverlo planteando una ecuación. Veamos la información que nos han dado. Se nos dice que la suma de los cuadrados de dos números reales positivos es 542. Vamos a usar variables para representar estos números. Designamos, por ejemplo, un número con 𝑥 y el otro con 𝑦. Y si la suma de sus cuadrados es 542, entonces podemos expresarlo como una ecuación, 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a 542. No obstante, si seguimos leyendo el enunciado, vemos que uno de los números es el 18. Así que no necesitamos usar dos variables. En vez de eso, usamos una sola variable 𝑥, para representar el número desconocido, y luego el segundo número es 18. Así que tenemos la ecuación 𝑥 al cuadrado más 18 al cuadrado igual a 542.
Lo que acabamos de hacer aquí es formular una ecuación. Y es una ecuación cuadrática —o sea, de segundo grado— porque el exponente más alto de nuestra variable, 𝑥, es dos. Veamos pues cómo vamos a resolver esta ecuación. En primer lugar, en el lado izquierdo, calculamos 18 al cuadrado; es 324. Y queremos despejar la 𝑥 en el lado izquierdo. Así que el siguiente paso es restar 324 a ambos lados. Al hacerlo, nos queda 𝑥 al cuadrado en el lado izquierdo. Y en el lado derecho, 542 menos 324, que es 218.
Tenemos, pues, que 𝑥 al cuadrado es igual a 218. Y para calcular 𝑥, debemos hacer la operación inversa o contraria a elevar al cuadrado, que es hallar la raíz cuadrada. Así que aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. La raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado es 𝑥. Y en el lado derecho, hacemos la raíz cuadrada de 218. Pero es importante que, cuando resolvemos una ecuación hallando la raíz cuadrada, nos acordemos de considerar tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa. De esta forma tenemos que 𝑥 es igual a más o menos la raíz cuadrada de 218.
Esta es la solución correcta de la ecuación cuadrática que hemos planteado. Pero si volvemos a leer el enunciado, vemos que se nos dijo que ambos números son números reales positivos. Lo que significa que, como solución del problema, 𝑥 debe tomar solo un valor positivo. Por lo tanto, aunque menos raíz cuadrada de 218 es una solución válida para la ecuación cuadrática, no es una solución válida para este problema. Así que la única respuesta posible aquí es 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 218. Esta respuesta no puede simplificarse más, pues 218 no tiene factores cuadrados además del uno. Y debemos dar una solución exacta, por lo que dejamos la respuesta como una raíz cuadrada en vez de como un decimal redondeado. La respuesta es, entonces, que el segundo número es la raíz cuadrada de 218.
Podemos comprobar si la respuesta es correcta sustituyendo el valor de 𝑥 en la ecuación o en la información que nos ha dado el problema, y confirmando que, efectivamente, 542 es la suma de los cuadrados de los dos números.
En este problema, hemos resuelto la ecuación cuadrática que hemos planteado, reorganizando y luego hallando la raíz cuadrada. En el siguiente problema veremos un ejemplo en el que tendremos que resolver una ecuación cuadrática usando el método de factorización, o de descomposición en factores, como tal vez lo conozcas.
¿Cuál es el perímetro de un rectángulo cuya longitud es siete centímetros más que su anchura y cuya área es 78 centímetros cuadrados?
En un problema de este tipo, es conveniente dibujar nuestro propio diagrama para poder visualizar la situación. Tenemos un rectángulo, así que tiene más o menos este aspecto. No conocemos su anchura, así que usamos la letra 𝑤 para representar este valor desconocido. Se nos dice que la longitud del rectángulo es siete centímetros más que su anchura, lo que significa que podemos expresar la longitud en términos de la anchura. Si la anchura es 𝑤, entonces la longitud será 𝑤 más siete. Ya tenemos expresiones para la longitud y la anchura del rectángulo en términos de la misma letra, 𝑤. También sabemos que el área del rectángulo es 78 centímetros cuadrados, y se nos pide que calculemos su perímetro.
Para hacerlo, tenemos que hallar el valor de 𝑤. Así que vamos a usar la información que nos han dado para plantear una ecuación. El área de un rectángulo se calcula multiplicando su longitud por su anchura. Así, usando las expresiones que tenemos para estos dos valores, tenemos 𝑤 por 𝑤 más siete o 𝑤 más siete por 𝑤. Y sabemos que el área es 78 centímetros cuadrados. Planteemos una ecuación con estos datos. Obtenemos 𝑤 por 𝑤 más siete es igual a 78.
El siguiente paso es reorganizar esta ecuación, y vamos a hacerlo desarrollando el paréntesis. 𝑤 por 𝑤 es 𝑤 al cuadrado, y 𝑤 por siete es siete 𝑤. Así que tenemos que 𝑤 al cuadrado más siete 𝑤 es igual a 78. El siguiente paso es restar 78 en cada lado de la ecuación, pues queremos agrupar todos los términos en el mismo lado. Al hacerlo, obtenemos 𝑤 al cuadrado más siete 𝑤 menos 78 igual a cero. Ahora, como ves, tenemos una ecuación cuadrática en términos de 𝑤 expresada en una forma fácilmente reconocible. Y tenemos que resolver esta ecuación para calcular 𝑤. Veamos si esta ecuación puede ser factorizada, es decir, descompuesta en factores.
Como el coeficiente de 𝑤 al cuadrado, que es el número que está delante de 𝑤 al cuadrado, es uno, el primer término en cada uno de nuestros factores será solo 𝑤. Y para completar nuestros factores, buscamos dos números cuya suma es el coeficiente de 𝑤, más 7, y cuyo producto es el término constante, menos 78. Para encontrar estos números, comenzamos enumerando todos los pares de factores de 78. Son uno y 78, dos y 39, tres y 26, y seis y 13. Ahora bien, el producto tiene que ser menos 78, por lo que uno de estos números debe ser negativo y el otro debe ser positivo. Hagamos uso del último par de factores y escojamos un valor negativo para seis y uno positivo para 13. Entonces, obtenemos menos seis más 13 o 13 menos seis, que es siete. Así que la suma de este par de factores es el valor correcto.
Podemos completar estos dos paréntesis añadiendo el valor menos 6 al primero y el valor más 13 al segundo. Ahora tenemos la forma factorizada de la ecuación cuadrática. Podemos confirmar que esto es correcto desarrollando los paréntesis. El siguiente paso aquí es recordar que, si el producto de dos factores es cero, entonces, al menos uno de esos factores debe ser cero. Así que tomamos cada uno de los factores y lo igualamos a cero, por lo que obtenemos 𝑤 menos seis igual a cero o 𝑤 más 13 igual a cero. Seguidamente resolvemos las ecuaciones de primer grado resultantes.
Para resolver la primera ecuación, sumamos seis a ambos lados y obtenemos 𝑤 igual a seis. Y para resolver la segunda, restamos 13 de cada lado y obtenemos 𝑤 igual a menos 13. Así que tenemos dos soluciones para nuestra ecuación cuadrática. 𝑤 igual a seis y 𝑤 igual a menos 13. Sin embargo, aunque ambas son soluciones válidas para nuestra ecuación cuadrática, no son ambas válidas en este problema. Si observamos de nuevo nuestro rectángulo, podemos ver que 𝑤 representa su anchura. Y una anchura debe tener un valor positivo. Por lo tanto, 𝑤 no puede ser igual a menos 13 en este problema. Así que eliminamos este valor. De esta forma tenemos que el valor de 𝑤 y, por tanto, la anchura de nuestro rectángulo, es seis.
Recordemos que no se nos ha pedido que calculemos la anchura del rectángulo, sino que hallemos su perímetro. Sabemos que su anchura es seis centímetros y que su longitud, seis más siete, es 13 centímetros. El perímetro es la distancia alrededor del rectángulo. Por lo tanto, tenemos que sumar los cuatro lados, 13 más seis más 13 más seis. O también podemos usar la fórmula que dice que el perímetro es igual al doble de la suma de la longitud y la anchura. De esta forma obtenemos dos por seis más 13. En cualquier caso obtendremos el mismo valor, 38. El área de este rectángulo está en centímetros cuadrados, por lo que las unidades de su perímetro son centímetros. De este modo hemos hallado que el perímetro del rectángulo es 38 centímetros.
Para comprobar si la respuesta es correcta, multiplicamos la longitud y la anchura que hemos calculado y confirmamos que el área es 78 centímetros cuadrados.
En este ejemplo, la ecuación de segundo grado que hemos tenido que factorizar tenía un coeficiente principal, es decir, el coeficiente de 𝑤 al cuadrado, igual a uno. En el último ejemplo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante descomposición en factores en el caso en el que el coeficiente principal no es igual a uno.
Halla el número positivo que es 66 menos que el doble de su cuadrado.
Para resolver este problema vamos a tener que usar álgebra, y vamos a formular una ecuación. Introduzcamos pues una variable para representar este número positivo. Podemos llamarla como queramos; llamémosla 𝑥. Se nos dice que 𝑥 es 66 menos del doble de su cuadrado. Y el cuadrado de 𝑥 puede escribirse como 𝑥 al cuadrado. El doble de su cuadrado significa que lo multiplicamos por dos, lo que da dos 𝑥 al cuadrado. Y queremos hallar el número que es 66 menos que este valor. Así que tenemos la expresión dos 𝑥 al cuadrado menos 66. Recuerda que esto es igual al número en sí. Obtenemos, pues, la ecuación dos 𝑥 al cuadrado menos 66 igual a 𝑥. Por lo tanto, hemos formulado este problema como una ecuación cuadrática. Y ahora vamos a resolverla para hallar el valor de 𝑥.
Queremos agrupar todos los términos en el mismo lado de la ecuación. Podemos hacerlo restando 𝑥 en cada lado, y obtenemos dos 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos 66 igual a cero, que es una ecuación cuadrática en su forma más usual. Ahora queremos resolver esta ecuación cuadrática mediante factorización. Pero fíjate en que el coeficiente de 𝑥 al cuadrado, el coeficiente principal, no es uno. Así que vamos a utilizar el método de factorización por agrupación. Buscamos dos números cuya suma es el coeficiente de 𝑥, o sea, menos uno, y cuyo producto es el producto del coeficiente de 𝑥 al cuadrado y el término constante. Eso es dos por menos 66, que es menos 132.
Cuanto más familiarizado estés con las tablas de multiplicar, más rápido descubrirás estos dos números. Son menos 12 y más 11. Puede que el siguiente paso te resulte un poco extraño. Lo que vamos a hacer es tomar el término menos 𝑥 y reescribirlo usando estos dos números. Lo reescribimos como menos 12𝑥 más 11𝑥. Así que ahora tenemos nuestra ecuación cuadrática con cuatro términos, dos 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥 más 11𝑥 menos 66 igual a cero. Ahora vamos a descomponer esta ecuación cuadrática en dos partes. Y vamos a factorizar las dos mitades por separado.
Si nos fijamos en la primera mitad, dos 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥, vemos que estos dos términos tienen un factor común de dos 𝑥. Y si lo extraemos, nos quedamos con 𝑥 menos seis. Así que la primera mitad se factoriza como dos 𝑥 por 𝑥 menos seis. Si ahora observamos la segunda mitad de la ecuación cuadrática, 11𝑥 menos 66, vemos que estos dos términos tienen un factor común de 11. Y cuando extraemos el 11, nos queda 𝑥 menos seis dentro del paréntesis. Así que la segunda mitad de la ecuación se factoriza como 11 por 𝑥 menos seis.
Un punto muy importante, y esto siempre será así si una ecuación cuadrática puede resolverse mediante factorización, es que las dos mitades de nuestra expresión tienen ahora un factor común, que en este caso es 𝑥 menos seis. Por lo tanto, ahora sacamos este factor común 𝑥 menos seis. Para el primer término, tenemos que multiplicar por dos 𝑥. Y para el segundo, tenemos que multiplicar por más 11. Por lo tanto, nuestra ecuación se escribe como 𝑥 menos seis por dos 𝑥 más 11. Ahora ya tenemos nuestra ecuación en una forma totalmente factorizada. Recuerda que las dos mitades de la ecuación deben tener un factor común para que la ecuación de segundo grado pueda ser factorizada.
Si aplicamos este método y resulta que las dos mitades no tienen un factor común, entonces hemos cometido un error o tal vez la ecuación cuadrática con la que estamos operando no puede ser factorizada. Por lo que necesitaríamos usar otro método para resolverla, como mediante la fórmula cuadrática o completando el cuadrado, si los conocemos. Sea como fuere, el caso es que nuestra ecuación cuadrática sí puede ser factorizada, y tenemos su forma factorizada. Así que el siguiente paso es tomar ambos factores e igualarlos a cero.
Tenemos 𝑥 menos seis igual a cero y dos 𝑥 más 11 igual a cero. Para resolver la primera ecuación, sumamos seis a cada lado, y obtenemos 𝑥 igual a seis. Y podemos resolver la segunda ecuación en dos pasos. Primero, restamos 11 de cada lado, y obtenemos dos 𝑥 igual a menos 11. Seguidamente dividimos por dos y obtenemos 𝑥 igual a menos 11 partido por dos o menos 5.5. Ambas son soluciones válidas para nuestra ecuación cuadrática. Pero si volvemos a leer el enunciado, vemos que el número que estamos buscando debe ser positivo. Lo que significa que no puede ser igual a menos 11 partido entre dos. Así que eliminamos este valor. Nuestra solución es, por lo tanto, 𝑥 igual a seis. No obstante, comprobemos si esto es correcto.
Este número tiene que ser 66 menos del doble de su cuadrado, así que tenemos dos por seis al cuadrado menos 66. Eso es dos por 36, que es 72, menos 66, que es seis, el número en sí. Así que esto confirma que nuestra solución es correcta. Ya tenemos, pues, nuestra respuesta al problema. El número positivo que estábamos buscando es seis.
Resumamos lo que hemos aprendido en este vídeo. En primer lugar, hemos visto que las ecuaciones cuadráticas pueden utilizarse para resolver un gran abanico de problemas. Incluyendo problemas numéricos y problemas en los que aparece el área de figuras bidimensionales o el área de un sólido geométrico. Si tenemos la descripción verbal de un problema físico, conviene dibujar un diagrama si no nos han dado uno.
Además, es probable que tengamos que introducir variables —es decir, letras— para representar los valores desconocidos —es decir, las incógnitas— del problema. Y seguidamente formular la ecuación de segundo grado usando la información dada. Debemos asegurarnos de leer detenidamente el enunciado y desglosar la información. Por último, debemos intentar resolver la ecuación cuadrática mediante descomposición en factores. Pero podemos usar otros métodos también, como la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. Plantear y resolver con confianza una ecuación cuadrática es una habilidad muy importante, pues nos ayuda a resolver una gran variedad de problemas.
