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Vídeo de la lección: Tangentes y normales a la gráfica de una función Matemáticas

En este video, vamos a aprender cómo usar la derivada para hallar las ecuaciones de tangentes y normales a curvas trigonométricas y a curvas definidas en forma paramétrica o en forma implícita.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo usar la derivada para hallar las ecuaciones de tangentes y normales a curvas trigonométricas y a curvas definidas en forma paramétrica o en forma implícita. Comencemos recordando los conceptos básicos de tangente y de normal. Sabemos que, en cualquier punto de una curva, la tangente a la curva es una recta que tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. La pendiente de una curva está dada por su primera derivada, la cual se escribe d𝑦 sobre d𝑥 o 𝑓 prima de 𝑥 o de otras formas, dependiendo de cómo se especifique la ecuación de la curva. Podemos obtener la ecuación de la tangente a una curva en un punto dado sustituyendo las coordenadas de este punto, que llamaremos 𝑥 uno, 𝑦 uno, y la pendiente de la tangente, que llamaremos 𝑚, en la ecuación en forma punto y pendiente de la recta, 𝑦 menos 𝑦 uno es igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 uno.

La forma en que hallamos una expresión para la pendiente y cómo evaluamos la pendiente en el punto dado, depende de cómo está definida la curva. A lo largo de este video, vamos a ver ejemplos de cómo podemos hacer esto para gráficas trigonométricas, y para curvas definidas paramétrica e implícitamente. Si, en cambio, queremos hallar la ecuación de la normal a una curva en un punto dado, debemos recordar que la normal es una recta perpendicular —o sea, ortogonal— a la tangente en ese punto. También debemos recordar que, si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es menos uno. O, dicho de otra manera, los valores de sus pendientes son el opuesto del recíproco uno del otro.

Por lo tanto, podemos hallar la pendiente de la normal a una curva en un punto dado hallando el opuesto del recíproco de la pendiente de la tangente en ese punto. Luego procedemos de la misma manera: sustituyendo esta pendiente y las coordenadas del punto en el que estamos hallando la normal en la forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta. Comencemos con un ejemplo en el que vamos a hallar la ecuación de la normal a una curva está definida implícitamente.

Halla la ecuación de la normal a la curva tres 𝑦 al cuadrado menos nueve 𝑦𝑥 más siete 𝑥 al cuadrado igual a uno en el punto menos uno, menos uno.

La curva que nos han dado está definida implícitamente. Es una función tanto de 𝑥 como de 𝑦 y no se puede reorganizar fácilmente a una forma explícita, en la que tengamos 𝑦 como una función de 𝑥. Para hallar la ecuación de la normal a esta curva, vamos a usar la forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta. Eso es 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 uno. Conocemos las coordenadas de un punto en la normal, el punto menos uno, menos uno. Pero necesitamos calcular su pendiente. Recordemos que una normal a una curva es perpendicular a la tangente a la curva en ese punto. Primero, debemos calcular la pendiente de la tangente. Para hacer esto, vamos a necesitar hallar la función pendiente de la curva. Por lo tanto, necesitamos recordar cómo derivamos una función que está definida implícitamente.

La derivación implícita es una aplicación de la regla de la cadena. Recuerda que, si 𝑦 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función de 𝑥, entonces la regla de la cadena dice que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Así que la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 se halla tomando la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑢 y luego multiplicando esto por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥. Veamos entonces cómo podemos aplicar esto a la ecuación de nuestra curva. Haremos esto término a término, comenzando con el primer término tres 𝑦 al cuadrado. Como tres 𝑦 al cuadrado es una función de 𝑦 y podemos considerar 𝑦 una función de 𝑥, según la regla de la cadena, tenemos que la derivada con respecto a 𝑥 de tres 𝑦 al cuadrado es igual a la derivada con respecto a 𝑦 de tres 𝑦 al cuadrado multiplicado por d𝑦 sobre d𝑥.

Según la regla de la potencia para derivadas, la derivada con respecto a 𝑦 de tres 𝑦 al cuadrado es simplemente seis 𝑦. Así que la derivada con respecto a 𝑥 de tres 𝑦 al cuadrado es seis 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥. Hemos derivado implícitamente el primer término en nuestra ecuación. Derivar el tercer término es sencillo porque es una función de 𝑥 solamente. Según la regla de la potencia para derivadas, la derivada con respecto a 𝑥 de siete 𝑥 al cuadrado es 14𝑥. Y derivar el término en el lado derecho de la ecuación es sencillo porque es una constante. Y sabemos que la derivada de cualquier constante con respecto a 𝑥 es simplemente cero.

Nos queda un término por derivar, menos nueve 𝑦𝑥. Y esto es un poco más complicado ya que es un producto que incluye tanto 𝑦 como 𝑥. Necesitaremos usar la derivación implícita. Pero también necesitamos recordar la regla del producto. Esta dice que, para dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣, la derivada con respecto a 𝑥 de su producto 𝑢𝑣 es igual a 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. Por lo tanto, hacemos 𝑢 igual a menos nueve 𝑦 y 𝑣 igual a a 𝑥. Luego necesitamos hallar sus derivadas individuales con respecto a 𝑥. d𝑣 sobre d𝑥 es sencillo porque 𝑣 es una función de 𝑥 solamente. Si 𝑣 es igual a 𝑥, entonces d𝑣 sobre d𝑥 es igual a uno.

Sin embargo, para d𝑢 sobre d𝑥, como 𝑢 es una función de 𝑦, vamos a necesitar usar la derivación implícita nuevamente. Por la regla de la cadena, tenemos que la derivada con respecto a 𝑥 de menos nueve 𝑦 es igual a la derivada con respecto a 𝑦 de menos nueve 𝑦 multiplicada por d𝑦 sobre d𝑥. La derivada con respecto a 𝑦 de menos nueve 𝑦 es simplemente menos nueve. Hallamos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a menos nueve d𝑦 por d𝑥. Después sustituimos cada una de estas expresiones en la regla del producto. Tenemos que la derivada con respecto a 𝑥 de menos nueve 𝑦𝑥 es igual a 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥. Eso es menos nueve 𝑦 multiplicado por uno. Luego sumamos 𝑣 por d𝑢 en d𝑥. Eso es 𝑥 multiplicado por menos nueve d𝑦 sobre d𝑥. Y obtenemos así menos nueve 𝑦 menos nueve 𝑥 d𝑦 en d𝑥.

Así que ahora hemos derivado toda la ecuación, obteniendo seis 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 menos nueve 𝑦 menos nueve 𝑥 d𝑦 sobre d𝑥 más 14𝑥 igual a cero. Queremos evaluar la función pendiente en un punto particular. Necesitamos. Pues, reorganizar esta ecuación para despejar d𝑦 sobre d𝑥. En otras palabras, necesitamos hacer d𝑦 sobre d𝑥 el sujeto de esta ecuación. Comenzamos agrupando los términos que contienen d𝑦 sobre d𝑥 en un lado de la ecuación y los términos que no lo contienen en el otro. Tenemos seis 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 menos nueve 𝑥 d𝑦 sobre d𝑥 es igual a nueve 𝑦 menos 14𝑥. Luego podemos factorizar el lado izquierdo de la ecuación para obtener seis 𝑦 menos nueve 𝑥 multiplicado por d𝑦 sobre d𝑥 es igual a nueve 𝑦 menos 14𝑥.

Y para hallar una expresión para d𝑦 sobre d𝑥 que esté en términos de 𝑥 y 𝑦, dividimos ambos lados de la ecuación por seis 𝑦 menos nueve 𝑥. Así que tenemos d𝑦 sobre d𝑥 es igual a nueve 𝑦 menos 14𝑥 sobre seis 𝑦 menos nueve 𝑥. Tenemos una expresión para la función de pendiente de la curva. Pero necesitamos hallar la pendiente en un punto específico, el punto menos uno, menos uno. Por lo tanto, necesitamos sustituir tanto 𝑥 como 𝑦 por el valor menos uno. Tenemos menos nueve más 14 en el numerador y menos seis más nueve en el denominador, lo que se simplifica a la fracción cinco sobre tres.

Debemos recordar ahora, sin embargo, que esta es la pendiente de la tangente a la curva en el punto menos uno, menos uno, pero que estamos buscando la ecuación de la normal. Pero sabemos que la pendiente de la normal es el opuesto del recíproco de la pendiente de la tangente. Por lo que la pendiente de la normal es igual a menos tres quintos. Se trata simplemente de invertir la fracción y cambiar el signo.

Y como conocemos las coordenadas de un punto en la normal y la pendiente de la normal, podemos hallar su ecuación usando la forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta. Tenemos 𝑦 menos menos uno es igual a menos tres quintos 𝑥 menos menos uno. Por supuesto, eso es solo 𝑦 más uno es igual a menos tres quintos 𝑥 más uno. Podemos multiplicar por cinco y desarrollar los paréntesis en el lado derecho para obtener cinco 𝑦 más cinco igual a menos tres 𝑥 menos tres. Y finalmente, agrupamos todos los términos en el lado izquierdo de la ecuación. Usando la derivación implícita, hemos hallado que la ecuación de la normal a la curva en el punto menos uno, menos uno es cinco 𝑦 más tres 𝑥 más ocho igual a cero.

Consideremos ahora un ejemplo en el que hemos de hallar la ecuación de la tangente a una curva que está definida paramétricamente.

Halla la ecuación de la tangente a la curva 𝑥 igual a 𝑡 al cubo más uno, 𝑦 igual a 𝑡 a la cuarta más 𝑡 en el punto correspondiente al valor 𝑡 igual a menos uno.

La ecuación de esta curva está dada en forma paramétrica. 𝑥 y 𝑦 están dadas como funciones de una tercera variable 𝑡. Podríamos escribir 𝑥 es igual a alguna función 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 es igual a otra función 𝑔 de 𝑡, si así lo deseamos. Para hallar la ecuación de la tangente, podemos usar la forma punto y pendiente de la ecuación de una recta. Así que necesitamos saber dos cosas: las coordenadas de un punto de la tangente y la pendiente de la tangente. Comencemos por hallar las coordenadas del punto en el que estamos hallando la tangente. Nos dicen que este punto corresponde al valor 𝑡 igual a menos uno. Así que podemos hallar las coordenadas de este punto haciendo 𝑡 igual a menos uno en las ecuaciones paramétricas de 𝑥 y 𝑦.

Cuando 𝑡 es igual a menos uno, 𝑥 es igual a menos uno al cubo más uno, que es menos uno más uno, que es cero. Y 𝑦 es igual a menos uno a la cuarta más menos uno. Eso es uno menos uno, que también es igual a cero. Así que ahora sabemos que la tangente que estamos buscando es la tangente en el origen, el punto cero, cero.

A continuación, necesitamos hallar la pendiente de la tangente en este punto, lo cual podemos hacer usando derivación paramétrica. Recordemos que, si 𝑥 y 𝑦 son funciones de un parámetro 𝑡, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑡 partido por d𝑥 sobre d𝑡. Necesitamos hallar las derivadas individuales de 𝑥 y 𝑦 con respecto a 𝑡, lo cual podemos hacer usando las reglas de la derivación. d𝑥 sobre d𝑡 será igual a tres 𝑡 al cuadrado, y d𝑦 por d𝑡 es igual a cuatro 𝑡 al cubo más uno. Sustituyendo estas expresiones en nuestra fórmula para d𝑦 sobre d𝑥, obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cuatro 𝑡 al cubo más uno sobre tres 𝑡 al cuadrado. Esto está, por supuesto, expresado en términos del parámetro 𝑡.

Para hallar la pendiente en el punto donde 𝑡 es igual a menos uno, sustituimos 𝑡 igual a menos uno en nuestra expresión para d𝑦 sobre d𝑥. Esto nos da menos cuatro más uno sobre tres multiplicado por uno. Eso es menos tres sobre tres, que es igual a menos uno. Así que hemos hallado que la pendiente de esta tangente es menos uno. Ahora sabemos que esta tangente pasa por el origen y tiene una pendiente de menos uno. Podemos pasar por el proceso formal de sustituir estos valores en la forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta si lo deseamos. O tal vez seamos capaces de recordar la ecuación de esta recta. Es 𝑦 igual a menos 𝑥.

En nuestro último ejemplo, vamos a hallar la ecuación de la normal a una curva cuya definición incluye funciones trigonométricas básicas y funciones trigonométricas recíprocas.

Halla la ecuación de la normal a la curva 𝑦 igual a ocho cos 𝑥 menos tres sec 𝑥 en 𝑥 igual a 𝜋 partido por tres.

Para hallar la ecuación de la normal a cualquier curva, necesitamos conocer su pendiente en ese punto y las coordenadas de un punto que se encuentra en la normal. Nos piden la normal en el punto donde 𝑥 es igual a 𝜋 partido por tres. Podemos hallar el valor de 𝑦 en este punto sustituyendo 𝑥 igual a 𝜋 por tres en la ecuación de la curva. cos de 𝜋 tercios es un medio, por lo tanto, sec de 𝜋 tercios es dos. Tenemos ocho multiplicado por un medio menos tres multiplicado por dos. Eso es cuatro menos seis, que es igual a menos dos. Por lo tanto, las coordenadas del punto en el que estamos hallando la normal son 𝜋 partido por tres, menos dos.

A continuación, vamos a calcular la pendiente de la normal. Recuerda que la normal en cualquier punto de una curva es perpendicular —o sea, ortogonal— a la tangente en ese mismo punto. Y, por lo tanto, los valores de sus pendientes son el opuesto del recíproco uno del otro. La pendiente de la tangente es la misma que la pendiente de la curva. Y podemos hallar la pendiente de la curva usando derivadas. Aquí necesitamos utilizar dos reglas para derivar funciones trigonométricas. Estas reglas solo sirven cuando el ángulo 𝑥 está expresado en radianes. En primer lugar, la derivada con respecto a 𝑥 de cos 𝑥 es menos sen 𝑥. Y en segundo lugar, la derivada con respecto a 𝑥 de sec 𝑥 es sec 𝑥 tan 𝑥. Conviene estar familiarizados con las derivadas de las tres funciones trigonométricas sen, cos y tan, así como con sus recíprocos csc, sec y cot.

Aplicando estos resultados, hallamos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a ocho multiplicado por menos sen 𝑥 menos tres multiplicado por sec 𝑥 tan 𝑥. Tenemos, pues, la función de pendiente general de la curva. Necesitamos evaluar esto en el punto de abscisa 𝑥 igual a 𝜋 partido por tres. Tenemos menos ocho sen 𝜋 partido por tres menos tres sec 𝜋 partido por tres tan 𝜋 partido por tres. Evaluando en una calculadora o recordando estos resultados de memoria, tenemos menos ocho multiplicado por raíz de tres sobre dos menos tres multiplicado por dos multiplicado por raíz de tres. Eso es menos cuatro raíz de tres menos seis raíz de tres, lo que se simplifica a menos 10 raíz de tres.

Sin embargo, recuerda que esta es la pendiente de la tangente en el punto donde 𝑥 es igual a 𝜋 partido por tres. La pendiente de la normal es menos el recíproco de este valor. Podemos cancelar los signos menos y multiplicar tanto el numerador como el denominador por la raíz de tres para racionalizar el denominador. Y hallamos que la pendiente de la normal es raíz de tres sobre 30.

Finalmente, podemos calcular la ecuación de la normal sustituyendo las coordenadas del punto y la pendiente que encontramos en la ecuación de una recta en la forma de punto y pendiente. Tenemos 𝑦 menos menos dos igual a raíz de tres sobre 30 multiplicado por 𝑥 menos 𝜋 por tres. Simplificando en el lado izquierdo y luego desarrollando los paréntesis en el lado derecho, tenemos 𝑦 más dos es igual a raíz de tres 𝑥 sobre 30 menos raíz de tres 𝜋 sobre 90. Finalmente, agrupamos todos los términos en el mismo lado de la ecuación. Y tenemos que la ecuación de la normal a la curva en el punto de abscisa 𝑥 igual a 𝜋 partido por tres es 𝑦 menos raíz de tres 𝑥 sobre 30 más raíz de tres 𝜋 sobre 90 más dos es igual a cero.

Resumamos ahora los puntos principales de este video. Comenzamos recordando los conceptos básicos de las tangentes y las normales. La tangente a una curva en cualquier punto es una recta que tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. La normal es una recta perpendicular a la tangente, de modo que el producto de sus pendientes es menos uno, puesto que sus pendientes son el opuesto del recíproco entre sí. Podemos hallar la función pendiente de una curva usando derivación. Y el método que usemos dependerá de cómo esté definida la curva. Para una curva que ha sido definida implícitamente, usamos derivación implícita, que es una aplicación de la regla de la cadena. Si 𝑦 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función de 𝑥, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥.

Para una curva definida paramétricamente en términos de un tercer parámetro 𝑡, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑡 partido por d𝑥 sobre d𝑡. También necesitamos recordar las derivadas de funciones trigonométricas donde el argumento está dado en radianes. La derivada con respecto a 𝑥 de sen 𝑥 es cos 𝑥. La derivada con respecto a 𝑥 de cos 𝑥 es menos sen 𝑥. Y la derivada con respecto a 𝑥 de tan 𝑥 es sec al cuadrado 𝑥. Y, finalmente, también debemos recordar las derivadas de las tres funciones trigonométricas recíprocas. Estos resultados y técnicas nos permiten hallar las ecuaciones de tangentes y normales a las gráficas de funciones más avanzadas.

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