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Vídeo de la lección: Área delimitada por curvas en coordenadas polares Matemáticas • Educación superior

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el área de una región delimitada por una o más curvas expresadas en coordenadas polares.

17:42

Transcripción del vídeo

Área delimitada por curvas en coordenadas polares.

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el área de una región delimitada por una o más curvas en coordenadas polares. Para ello vamos a practicar con una serie de ejemplos en los que aprenderemos cómo hallar integrales para calcular áreas de este tipo. Consideremos ahora esta curva polar. La vamos a llamar 𝑟 o 𝑓 de 𝜃. Supongamos que se nos ha pedido que hallemos el área delimitada por esta curva, entre 𝜃 uno y 𝜃 dos. Normalmente, cuando queremos calcular un área en coordenadas cartesianas, el área a la que nos referimos es el área que se encuentra entre la curva 𝑟, el eje horizontal de las 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 igual a 𝜃 uno, e igual a 𝜃 dos. Es esta área de aquí.

Sin embargo, aquí no estamos usando coordenadas cartesianas (rectangulares). Estamos usando coordenadas polares. Y cuando queremos hallar el área de la región delimitada por 𝜃 uno y 𝜃 dos, nos estamos refiriendo al área delimitada por las rectas 𝜃 igual a 𝜃 uno, 𝜃 igual a 𝜃 dos y por la curva 𝑟 igual a 𝑓 de 𝜃. Es esta área que está coloreada en azul. Y como podemos ver no es igual al área que habríamos hallado usando coordenadas cartesianas, la cual está en color amarillo. Así que nos hace falta una nueva fórmula para hallar este tipo de áreas. Y esta fórmula existe y dice que el área es igual a la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 al cuadrado d𝜃. Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula.

Calcula el área de la región encerrada por la curva en coordenadas polares 𝑟 igual a dos coseno de dos 𝜃, entre 𝜃 igual a 𝜋 partido por dos y 𝜃 igual a tres 𝜋 partido por dos.

Como acabamos de ver, tenemos una fórmula para calcular el área delimitada por curvas dadas en coordenadas polares. Esta fórmula dice que el área es igual a la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 al cuadrado d𝜃. En esta cuestión se nos ha dado 𝑟, que es igual a dos coseno de dos 𝜃. Y se nos pide que calculemos el área entre 𝜃 igual a 𝜋 partido entre dos y 𝜃 igual a tres 𝜋 partido entre dos. Como tres 𝜋 sobre dos es mayor que 𝜋 sobre dos, concluimos que 𝜋 sobre dos debe ser igual a 𝜃 uno. Y tres 𝜋 sobre dos debe ser igual a 𝜃 dos. Así que vamos a sustituir estos valores de 𝜃 uno, 𝜃 dos y 𝑟 en la fórmula del área.

De esta forma hallamos que el área es igual a la integral desde 𝜋 sobre dos hasta tres 𝜋 sobre dos de un medio de dos coseno de dos 𝜃 al cuadrado d𝜃. Vamos a comenzar desarrollando el término que está al cuadrado. Obtenemos la integral desde 𝜋 sobre dos hasta tres 𝜋 sobre dos de un medio por cuatro coseno al cuadrado de dos 𝜃 d𝜃. Cancelamos el término un medio con uno de los doses del cuatro, y obtenemos esto. No obstante, no podemos integrar directamente un término de coseno al cuadrado por sí solo como este. Pero hay una forma de deshacernos del cuadrado. Para ello vamos a aplicar la fórmula del coseno del ángulo doble. Esta fórmula dice que coseno de dos 𝜃 es igual a dos coseno al cuadrado de 𝜃 menos uno. Reorganizamos esto para hacer que coseno al cuadrado de 𝜃 sea el sujeto, y obtenemos que coseno al cuadrado de 𝜃 es igual a coseno de dos 𝜃 más uno, todo partido por dos.

Ya estamos casi listos para sustituir esta fórmula. Pero si te fijas, verás que en el integrando tenemos coseno al cuadrado de dos 𝜃. Y en nuestra fórmula tenemos coseno al cuadrado de 𝜃. No te preocupes, podemos solucionar esto rápidamente multiplicando cada letra griega 𝜃 en la fórmula por dos. De esta forma obtenemos que coseno al cuadrado de dos 𝜃 es igual a coseno de cuatro 𝜃 más uno todo partido entre dos. Sustituimos esto de nuevo en nuestra integral y obtenemos la integral desde 𝜋 sobre dos hasta tres 𝜋 sobre dos de dos por coseno de cuatro 𝜃 más uno todo partido por dos d𝜃. Ahora cancelamos el factor de dos con el dos del denominador. Muy bien, ya podemos integrar nuestra función.

El primer término, que es coseno de cuatro 𝜃, es una función dentro de otra función. La función que está dentro es cuatro 𝜃. Así que comenzamos derivando cuatro 𝜃 con respecto a 𝜃 y obtenemos cuatro. Como cuatro es una constante, podemos integrar esta función. Pero ojo, no debemos olvidarnos de dividir por este cuatro. Así que empezamos por uno partido por cuatro. Seguidamente integramos el coseno. De este modo, para el primer término obtenemos uno sobre cuatro por seno de cuatro 𝜃. Y el segundo término es simplemente uno. Si integramos uno, obtenemos 𝜃. Acuérdate de que estamos integrando entre los límites de 𝜋 sobre dos y tres 𝜋 sobre dos. Así que estos son los límites que tenemos que sustituir.

Sustituimos tres 𝜋 sobre dos y obtenemos un cuarto por seno de seis 𝜋 más tres 𝜋 sobre dos. Seguidamente reemplazamos 𝜋 sobre dos, teniendo cuidado de no olvidarnos de restar esto. Pues 𝜋 sobre dos es nuestro límite inferior. Por lo tanto, tenemos menos un cuarto por seno de dos 𝜋 más 𝜋 sobre dos. Sabemos que seno de dos 𝜋 es igual a cero. Y también sabemos que el seno es una función periódica con una periodicidad de dos 𝜋. Y como seis 𝜋 es un múltiplo de dos 𝜋, seno de seis 𝜋 también será igual a cero. Así que los dos términos que nos quedan son tres 𝜋 sobre dos menos 𝜋 sobre dos.

Y ya hemos llegado a la solución. Que es que el área de la región delimitada por la curva polar 𝑟 igual a dos coseno de dos 𝜃 entre 𝜃 igual a 𝜋 sobre dos y 𝜃 igual a tres 𝜋 sobre dos es igual a 𝜋.

Es posible que en algunos problemas no nos den los valores de 𝜃 uno y 𝜃 dos, los ángulos extremos entre los que necesitamos calcular el área. En ocasiones, la región cuya área debemos hallar estará señalada en un gráfico. Veamos a qué nos referimos en el siguiente ejemplo.

Calcula el área de la región encerrada por el bucle interno de la curva polar 𝑟 igual a uno más dos seno de 𝜃.

Vamos a comenzar trazando un boceto de lo que podría ser la gráfica de esta curva. Podemos hacerlo con una calculadora gráfica, con un programa de representación gráfica o marcando algunos puntos en la curva. Nuestra curva tiene más o menos este aspecto. Como puedes ver, el bucle interior de la curva es este pequeño bucle que se encuentra en la parte inferior, aquí. Así que esta región de color naranja es el área que queremos calcular. Por suerte para nosotros, tenemos una fórmula para calcular el área de una región encerrada por curvas dadas en coordenadas polares. Esta fórmula dice que el área es igual a la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 al cuadrado d𝜃. En el problema nos han dado el valor de 𝑟. Que es igual a uno más dos seno de 𝜃. Ahora solo tenemos que hallar los valores de 𝜃 uno y 𝜃 dos.

Los valores de 𝜃 uno y 𝜃 dos ocurren en los puntos extremos de su bucle interior cerrado. Como esto es un bucle, esto ocurrirá donde la curva se corte a sí misma. Por lo tanto, esto pasa en este punto azul de aquí. En el boceto de la gráfica de nuestra curva vemos que esto ocurre cuando 𝑟 es igual a cero, pues este punto está en el origen. Así que podemos hallar los valores de 𝜃 uno y 𝜃 dos haciendo 𝑟 igual a cero. Cuando 𝑟 es igual a cero, uno más dos por seno de 𝜃 es igual a cero. Reorganizamos esto y obtenemos que seno de 𝜃 es igual a menos un medio.

Tenemos que hallar soluciones dentro del rango, y 𝜃 se encuentra entre cero y dos 𝜋. Vamos a usar la gráfica de seno 𝜃 para ayudarnos a hallar las soluciones. Trazamos la recta de menos uno. La calculadora nos da la solución de menos 𝜋 sobre seis. Pero lo que estamos buscando son soluciones entre cero y dos 𝜋. Como seno es periódico en dos 𝜋, podemos ver, a partir de nuestra gráfica, que una de las soluciones es dos 𝜋 menos 𝜋 sobre seis, que es 11𝜋 sobre seis. La otra solución es 𝜋 sobre seis más 𝜋, que es siete 𝜋 sobre seis.

Muy bien, ya conocemos los valores de 𝜃 uno y 𝜃 dos. Tenemos que 𝜃 uno es igual a siete 𝜋 sobre seis y que 𝜃 dos es igual a 11𝜋 sobre seis. Ya podemos aplicar nuestra fórmula para calcular el área. Y obtenemos que el área es igual a la integral desde siete 𝜋 sobre seis hasta 11𝜋 sobre seis de un medio por uno más dos seno de 𝜃 al cuadrado d𝜃. Desarrollamos el cuadrado y multiplicamos por un medio. De esta forma obtenemos la integral desde siete 𝜋 sobre seis hasta 11𝜋 sobre seis de un medio más dos por seno de 𝜃 más dos por seno al cuadrado de 𝜃 d𝜃.

Sabemos cómo integrar cada uno de estos términos aparte del término seno al cuadrado. Pero podemos reescribir el término de seno al cuadrado usando la fórmula del coseno del ángulo doble. Tenemos que coseno de dos 𝜃 es igual a uno menos dos seno al cuadrado 𝜃. Reorganizamos la expresión para hacer de seno al cuadrado de 𝜃 el sujeto. Y obtenemos que seno al cuadrado de 𝜃 es igual a uno menos coseno de dos 𝜃, todo partido por dos. Sustituimos esto en nuestra integral. Podemos cancelar el factor de dos con el dos del denominador. Y obtenemos así la integral desde siete 𝜋 sobre seis hasta 11𝜋 sobre seis de un medio más dos seno de 𝜃 más uno menos coseno de dos 𝜃 d𝜃. Y agrupamos el uno y el un medio. Por lo que nuestra integral termina teniendo este aspecto. Y ya podemos hallarla.

Integramos el primer término, tres medios, y obtenemos tres 𝜃 sobre dos. Si integramos el segundo término, dos seno de 𝜃, obtenemos menos dos coseno de 𝜃. Y para el último término, menos coseno de dos 𝜃, obtenemos menos un medio por seno de dos 𝜃. Acuérdate de que esto está entre los límites de siete 𝜋 sobre seis y 11𝜋 sobre seis. Muy bien, ahora comenzamos sustituyendo 11𝜋 sobre seis, y obtenemos 11𝜋 sobre cuatro menos dos coseno de 11𝜋 sobre seis menos un medio por seno de 11𝜋 sobre tres. Seguidamente reemplazamos siete 𝜋 sobre seis. Cuidado, no te olvides de restar esto, pues siete 𝜋 sobre seis es el límite inferior. Y obtenemos menos siete 𝜋 sobre cuatro menos dos coseno de siete 𝜋 sobre seis menos un medio por seno de siete 𝜋 sobre tres.

Ahora hacemos uso del hecho de que coseno de 11𝜋 sobre seis es igual a raíz de tres partido por dos. Seno de 11𝜋 sobre tres es igual a menos raíz de tres partido por dos. Coseno de siete 𝜋 sobre seis es igual a menos raíz de tres sobre dos. Y seno de siete 𝜋 sobre tres es igual a raíz de tres sobre dos. Ahora ya podemos multiplicar todos los términos. Y obtenemos 11𝜋 sobre cuatro menos siete 𝜋 sobre cuatro menos raíz de tres más raíz de tres partido por cuatro menos raíz de tres más raíz de tres partido por cuatro. Agrupamos estos términos y obtenemos la solución. Que es que el área de la región encerrada por el bucle interior de 𝑟 igual a uno más dos por seno de 𝜃 es igual a 𝜋 menos tres raíz de tres partido por dos.

Seguidamente vamos a ver cómo calcular el área delimitada por dos curvas dadas en coordenadas polares. Consideremos la siguiente situación.

Supongamos que tenemos dos curvas polares 𝑟 uno y 𝑟 dos, y nos han pedido que hallemos la región delimitada por 𝑟 uno y 𝑟 dos entre 𝜃 uno y 𝜃 dos. Así que es esta región sombreada de aquí.

Podemos hallar una fórmula para esta área aplicando la fórmula que ya conocemos para calcular el área de la región delimitada por curvas dadas en coordenadas polares. Sabemos que podemos hallar la región delimitada por 𝑟 dos, 𝜃 uno y 𝜃 dos, que es esta región de aquí. Y es igual a la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 dos al cuadrado d𝜃. También sabemos cómo hallar el área delimitada por 𝑟 uno, 𝜃 uno y 𝜃 dos, que es esta área de aquí. Es igual a la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 uno al cuadrado d𝜃. Así que esta zona amarilla, cuya área queremos calcular, debe ser igual al área delimitada por 𝑟 uno entre 𝜃 uno y 𝜃 dos menos el área delimitada por 𝑟 dos entre 𝜃 uno y 𝜃 dos. Entonces, esta es la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 uno al cuadrado d𝜃 menos la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 dos al cuadrado d𝜃.

Usando las propiedades de la integral podemos combinar estas integrales, pues tienen los mismos límites, y obtenemos la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 uno al cuadrado menos un medio por 𝑟 dos al cuadrado d𝜃. Podemos factorizar un medio para formar nuestra fórmula final. Que es que el área entre las dos curvas 𝑟 uno y 𝑟 dos entre 𝜃 uno y 𝜃 dos es igual a la integral entre 𝜃 uno y 𝜃 dos de un medio por 𝑟 uno al cuadrado menos 𝑟 dos al cuadrado d𝜃. Ojo, fíjate en que esto solo funciona cuando 𝑟 uno es mayor o igual que 𝑟 dos para todos los ángulos 𝜃 entre 𝜃 uno y 𝜃 dos.

Ahora que tenemos esta nueva fórmula, veamos un ejemplo de cómo funciona.

Calcula el área de la región que se encuentra dentro de la curva polar 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃 pero fuera de la curva polar 𝑟 igual a dos.

Para hallar las regiones que están fuera de 𝑟 igual a dos pero dentro de 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃 debemos hallar primero los puntos de intersección de las dos curvas. Así que vamos a comenzar haciendo esto. Tenemos que resolver 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃 y 𝑟 igual a dos al mismo tiempo. Reemplazamos 𝑟 igual a dos en la primera ecuación. Y obtenemos que cuatro es igual a ocho coseno de dos 𝜃. De esta forma nos queda que coseno de dos 𝜃 es igual a un medio. Ahora bien, nos interesan las soluciones para las que 𝜃 está entre cero y dos 𝜋. Así que estas serán las soluciones para las que dos 𝜃 está entre cero y cuatro 𝜋. Las soluciones que se encuentran dentro de este rango son dos 𝜃 igual a 𝜋 sobre tres, cinco 𝜋 sobre tres, siete 𝜋 sobre tres o 11𝜋 sobre tres. De esta forma hemos hallado que nuestros puntos de intersección son 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis, cinco 𝜋 sobre seis, siete 𝜋 sobre seis y 11𝜋 sobre seis.

Dibujemos ahora la gráfica de la curva 𝑟 igual a dos. Como ves, es una circunferencia con un radio de dos. Seguidamente marcamos los puntos donde se intersecan las dos curvas. El primer punto está en 𝜋 sobre tres. El segundo está en cinco 𝜋 sobre tres. El tercero está en siete 𝜋 sobre tres. Y el cuarto punto de intersección está en 11𝜋 sobre tres. Ahora vamos a tratar de trazar la gráfica de la curva de 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃. Vamos a hacerlo reescribiendo primero la curva, pues 𝑟 es igual a la raíz cuadrada de ocho coseno de dos 𝜃. Y ahora hallamos algunos puntos en la curva sustituyendo algunos valores de 𝜃.

Tenemos que en 𝜃 igual a cero coseno de cero es igual a uno. Así que 𝑟 es igual a la raíz cuadrada de ocho, que es lo mismo que dos raíz de dos. En 𝜃 igual a 𝜋 sobre dos tenemos que coseno de dos 𝜃 es igual a coseno de 𝜋 y que coseno de 𝜋 es igual a cero. Por lo tanto, en 𝜃 igual a 𝜋 sobre dos, 𝑟 es igual a cero. Continuemos: en 𝜃 igual a 𝜋, tenemos que 𝑟 es igual a dos raíz de dos. Y en 𝜃 igual a tres 𝜋 sobre dos, 𝑟 es igual a cero. Vamos a añadir estos puntos en nuestra gráfica. Ya hemos marcado siete puntos en el gráfico. Por lo que ya tenemos una idea de cómo sería la gráfica. Como ves, tiene forma de ocho acostado.

Esta gráfica nos es muy útil para hallar las regiones cuyas áreas queremos calcular. Son las regiones que están fuera de la curva 𝑟 igual a dos pero dentro de la curva 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃. Lo cierto es que son dos las regiones que nos interesan, que son estas dos de aquí. Tenemos una fórmula para calcular el área de la región delimitada por dos curvas en coordenadas polares. Y esta fórmula dice que el área es igual a la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 uno al cuadrado menos 𝑟 dos al cuadrado d𝜃. Y en las regiones que nos interesan, 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃 es mayor o igual que 𝑟 igual a dos. Así que 𝑟 uno al cuadrado es igual a ocho coseno de dos 𝜃 y 𝑟 dos es igual a dos.

Comencemos considerando la región que se encuentra a la izquierda del diagrama. Es igual a la integral desde cinco 𝜋 sobre seis hasta siete 𝜋 sobre seis de un medio de ocho coseno de dos 𝜃 menos cuatro d𝜃. Ahora consideremos el área de la región que está a la derecha del diagrama. Esta región se encuentra entre los ángulos de 11𝜋 sobre seis y 𝜋 sobre seis. No obstante, si integramos entre 11𝜋 sobre seis y 𝜋 sobre seis, estaríamos pasando de un ángulo de dos 𝜋 a un ángulo de cero. Lo que ocurre si cruzamos el eje horizontal. Y evidentemente no podemos hacer esto. Así que, en su lugar, vamos a cambiar el ángulo de 11𝜋 sobre seis por menos 𝜋 sobre seis. Pues en nuestro gráfico menos 𝜋 sobre seis es igual a 11𝜋 sobre seis.

Hemos obtenido que el área de la derecha es igual a la integral desde menos 𝜋 sobre seis hasta 𝜋 sobre seis de un medio de ocho coseno de dos 𝜃 menos cuatro d𝜃. Vamos a simplificar ambas integrales. Bien, ya estamos listos para integrar. Tenemos que la integral de cuatro coseno de dos 𝜃 menos dos es dos seno de dos 𝜃 menos dos 𝜃. Ahora sustituimos los límites superior e inferior. Vamos a usar el hecho de que seno de siete 𝜋 sobre tres y seno de 𝜋 sobre tres son ambos raíz de tres sobre dos. Y que seno de cinco 𝜋 sobre tres y seno de menos 𝜋 sobre tres son ambos menos raíz de tres sobre dos. Ahora vamos a desarrollar todo esto. Para terminar, solo nos queda simplificar. De esta forma obtenemos que el área de la región que se encuentra dentro de 𝑟 al cuadrado igual a ocho coseno de dos 𝜃 pero fuera de 𝑟 igual a dos es cuatro raíz de tres menos cuatro 𝜋 sobre tres.

En este vídeo hemos visto una variedad de ejemplos y métodos que podemos aplicar para calcular el área delimitada por curvas dadas en coordenadas polares. Veamos algunos puntos claves del vídeo.

Puntos claves

El área encerrada por la curva polar 𝑟 igual a 𝑓 de 𝜃, 𝜃 uno, y 𝜃 dos viene dada por la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio por 𝑟 al cuadrado d𝜃. Y el área delimitada por la curva polar 𝑟 uno igual a 𝑓 de 𝜃 y el área delimitada por la curva polar 𝑟 dos igual a 𝑔 de 𝜃, 𝜃 uno, y 𝜃 dos. Donde 𝑟 uno es mayor o igual que 𝑟 dos para 𝜃 entre 𝜃 uno y 𝜃 dos. Está dada por la integral desde 𝜃 uno hasta 𝜃 dos de un medio de 𝑟 uno al cuadrado menos 𝑟 dos al cuadrado d𝜃.

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