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Vídeo de la lección: Las desigualdades de Pitágoras Matemáticas • Octavo grado

En este video, vamos a aprender cómo determinar si un ángulo en un triángulo es agudo, recto u obtuso usando el teorema de las desigualdades de Pitágoras.

17:15

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo clasificar un triángulo como acutángulo, rectángulo u obtusángulo usando el teorema de las desigualdades de Pitágoras. Pero antes de comenzar a discutir las desigualdades de Pitágoras, recordemos el teorema de Pitágoras y su inverso.

El teorema de Pitágoras dice que, si el triángulo 𝐴𝐵𝐶 tiene un ángulo recto en 𝐵, entonces el cuadrado de la longitud del lado 𝐴𝐶 es igual a 𝐴𝐵 al cuadrado más 𝐵𝐶 al cuadrado. En otras palabras, el cuadrado del lado más largo, que es el lado opuesto al ángulo recto y se llama hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, que se llaman catetos.

El inverso del teorema de Pitágoras, por otro lado, nos dice que si el cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo. Más concretamente, el ángulo opuesto al lado más largo es un ángulo recto. Si conocemos las longitudes de los lados de un triángulo, podemos usar este resultado para probar si un triángulo es o no un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, supongamos que sabemos que las longitudes de los lados de un triángulo son seis, ocho y 10 centímetros. Sabemos que 10 al cuadrado es igual a 100, ocho al cuadrado es 64 y seis al cuadrado es 36. Y como 64 más 36 es igual a 100, según el teorema de Pitágoras, el ángulo opuesto al lado más largo debe ser un ángulo recto y el triángulo es un triángulo rectángulo.

De manera similar, supongamos que tenemos un triángulo con longitudes de lado dos, tres y cuatro, y como cuatro al cuadrado es 16, dos al cuadrado es cuatro y tres al cuadrado es nueve, hallamos que dos al cuadrado más tres al cuadrado es igual a 13, lo que no es igual a 16. Por lo tanto, el triángulo con estas longitudes de lado no es un triángulo rectángulo.

Lo que vamos a hacer aquí es desarrollar estas ideas para incluir los triángulos no rectángulos, y para ello vamos a recordar primero las definiciones de triángulos obtusángulos y de triángulos acutángulos. Recuerda que un triángulo obtusángulo tiene un ángulo interno obtuso. O sea, tiene un ángulo interno mayor de 90 grados. Y en un triángulo acutángulo, todos los ángulos internos son agudos, es decir, menores de 90 grados.

Podemos determinar si un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo extendiendo el teorema de Pitágoras al teorema de las desigualdades de Pitágoras. El cual nos dice que, para un triángulo 𝐴𝐵𝐶 con su lado más largo opuesto a 𝐵, si el cuadrado del lado más largo 𝐴𝐶 es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es obtusángulo. Además, si el cuadrado del lado más largo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es un triángulo acutángulo. Y, por supuesto, entre estos dos casos, tenemos el caso del teorema de Pitágoras, que dice que, si el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el ángulo 𝐵 es de 90 grados. Y el triángulo es un triángulo rectángulo.

Para ver por qué funciona el teorema de la desigualdad, considera dos lados de longitud fija 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 conectados por una bisagra en 𝐵. Mantenemos 𝐴 y 𝐵 fijos pero giramos el punto 𝐶 para construir diferentes triángulos. Podemos rotar estos lados de longitud fija y obtener diferentes longitudes para el otro lado del triángulo. Y estamos interesados en lo que sucede con las longitudes de los lados 𝐴𝐶 uno, 𝐴𝐶 dos y 𝐴𝐶 tres. Si giramos el lado para hacer el ángulo en la bisagra 𝐵 un ángulo recto, obtenemos un triángulo rectángulo. Y sabemos que 𝐴𝐶 dos al cuadrado es igual a 𝐴𝐵 al cuadrado más 𝐵𝐶 dos al cuadrado. Y ese es el teorema de Pitágoras.

Aumentar la medida del ángulo 𝐵 hará que la longitud del lado 𝐴𝐶 sea más larga, como en el primer diagrama. Y disminuir la medida del ángulo 𝐵 hará que 𝐴𝐶 sea más corto, como en el tercer diagrama. Por lo tanto, si el ángulo 𝐵 es obtuso, el cuadrado de longitud 𝐴𝐶 es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Y si el ángulo 𝐵 es agudo, el cuadrado de 𝐴𝐶 es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Y básicamente, hemos demostrado el teorema de las desigualdades de Pitágoras.

Veamos ahora algunos ejemplos de cómo podemos aplicar este teorema de las desigualdades para determinar el tipo de ángulo en un triángulo si conocemos las longitudes de sus lados.

En el triángulo 𝑋𝑌𝑍, 𝑌𝑍 al cuadrado es mayor que 𝑋𝑍 al cuadrado menos 𝑋𝑌 al cuadrado. ¿Qué tipo de ángulo es 𝑌?

Para determinar de qué tipo es el ángulo 𝑌 del triángulo 𝑋𝑌𝑍, podemos aplicar el teorema de las desigualdades de Pitágoras. Este nos dice que, si 𝑋𝑌𝑍 es un triángulo con su lado más largo opuesto a 𝑌, y el cuadrado del lado opuesto a 𝑌 es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el ángulo 𝑌 es obtuso. Alternativamente, si el cuadrado del lado opuesto al ángulo 𝑌 es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces 𝑌 es agudo. Y, por supuesto, recordamos el teorema de Pitágoras, o en realidad su inverso, que dice que, si el cuadrado del lado opuesto a 𝑌 es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, 𝑌 es un ángulo recto.

Nos dicen que la desigualdad 𝑌𝑍 al cuadrado es mayor que 𝑋𝑍 al cuadrado menos 𝑋𝑌 al cuadrado. Y si sumamos 𝑋𝑌 al cuadrado a ambos lados para eliminar el término negativo, hallamos que 𝑌𝑍 al cuadrado más 𝑋𝑌 al cuadrado es mayor que 𝑋𝑍 al cuadrado. Así que, a la derecha, hemos aislado el lado 𝑋𝑍, que está opuesto al ángulo en 𝑌. Reescribiendo nuestra desigualdad para que podamos compararla con la desigualdad pitagórica, tenemos que 𝑋𝑍 al cuadrado es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Esto corresponde a la segunda desigualdad. Así que 𝑌 es un ángulo agudo.

Para determinar de qué tipo es un triángulo a partir de las longitudes de sus lados, podríamos verificar todos los ángulos usando el teorema de las desigualdades de Pitágoras. Pero realmente no necesitamos hacer esto si recordamos la propiedad del triángulo de que el ángulo con la medida más grande en un triángulo siempre está opuesto al lado más largo. En nuestro siguiente ejemplo, vamos a usar esta propiedad para hallar el ángulo más grande en un triángulo a partir de las longitudes de sus lados y seguidamente vamos a aplicar el teorema de las desigualdades de Pitágoras para hallar el tipo de triángulo que es.

El triángulo 𝐴𝐵𝐶 tiene lados de longitud 𝐴𝐵 igual a siete centímetros, 𝐵𝐶 igual a nueve centímetros y 𝐴𝐶 igual a 10 centímetros. Determina el ángulo con la medida más grande en el triángulo 𝐴𝐵𝐶. Y determina el tipo de triángulo 𝐴𝐵𝐶 en términos de sus ángulos.

Para responder a la primera parte, recordemos que, en un triángulo, el ángulo con la medida más grande siempre está opuesto al lado más largo. Por lo tanto, como el lado más largo de nuestro triángulo mide 10 centímetros, el ángulo opuesto a este, que es el ángulo 𝐵, debe tener la medida más grande.

Para la segunda parte de la cuestión, para determinar el tipo de triángulo que tenemos en términos de sus ángulos, podemos aplicar el teorema de las desigualdades de Pitágoras, que nos dice tres cosas. Primero, que, si el cuadrado de la longitud del lado más largo en un triángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto al lado más largo es un ángulo obtuso. Segundo, que, si el cuadrado del lado más largo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto es agudo. Y tercero, si el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto es un ángulo recto. Esta tercera parte es, por supuesto, el inverso del teorema de Pitágoras.

Aplicando esto a nuestro triángulo, donde el lado más largo mide 10 centímetros, tenemos que 𝐴𝐶 al cuadrado es 10 al cuadrado, que es igual a 100. La suma de los cuadrados de los otros dos lados 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 es siete al cuadrado más nueve al cuadrado. Eso es 49 más 81, que es igual a 130. Vemos entonces que el cuadrado del lado más largo, que es 100, es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, que es 130. Así que, según el teorema de las desigualdades de Pitágoras, el ángulo 𝐵 es un ángulo agudo. Por lo tanto, tenemos que 𝐵 es el ángulo con la medida más grande. Y como 𝐵 es un ángulo agudo, el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo acutángulo.

Veamos ahora un ejemplo en el que aplicamos el teorema de las desigualdades de Pitágoras junto con otros resultados geométricos para determinar el tipo de triángulo.

Determina el tipo de triángulo 𝐵𝐶𝐷 en términos de sus ángulos.

Para hallar el tipo de triángulo 𝐵𝐶𝐷, vamos a comenzar recordando que, si conocemos las longitudes de los lados de un triángulo, podemos usar el teorema de las desigualdades de Pitágoras para determinar su tipo. Este teorema nos dice que, si el cuadrado del lado más largo, 𝐴𝐶, es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto al lado más largo es obtuso. Si es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el ángulo es agudo. Y si es igual a la suma de cuadrados, entonces el ángulo es un ángulo recto.

Sin embargo, no podemos aplicar este teorema, ya que no conocemos las longitudes de los lados 𝐵𝐷 y 𝐶𝐷. Y para hallarlos, primero necesitamos saber qué tipo de triángulo es 𝐴𝐵𝐶. Así que vamos a usar las longitudes de sus lados para resolver esto. Tenemos 135 al cuadrado, que es igual a 18 225, que también es igual a 81 al cuadrado más 108 al cuadrado. Y esto significa que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo rectángulo con ángulo recto en 𝐵, ya que 𝐵 es opuesto a la hipotenusa.

Como el lado 𝐵𝐷 es un segmento desde el vértice 𝐵 que, como podemos ver, biseca el lado opuesto, y 𝐵 es un ángulo recto, 𝐵𝐷 es una mediana del triángulo 𝐴𝐵𝐶. Recordando que la longitud de una mediana en el ángulo recto de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, vemos que 𝐵𝐷 es la mitad de 135. Eso es 67.5 centímetros.

Teniendo en cuenta que 𝐶𝐷 y 𝐷𝐴 son iguales, deben tener también la mitad de la longitud de la hipotenusa. Y podemos usar el teorema de las desigualdades de Pitágoras para determinar el tipo del ángulo más grande en el triángulo 𝐵𝐶𝐷. Para empezar, sin embargo, podemos notar que el ángulo 𝐴𝐶𝐵 es un ángulo en un triángulo rectángulo, por lo que es agudo. Además, el ángulo 𝐶𝐵𝐷 es más pequeño que el ángulo recto 𝐴𝐵𝐶, por lo que 𝐶𝐵𝐷 también es agudo. O alternativamente, notamos que, dado que el triángulo 𝐶𝐷𝐵 es isósceles, los ángulos 𝐶 y 𝐵 son iguales y, por lo tanto, deben ser agudos.

Finalmente, para el ángulo 𝐶𝐷𝐵, comparamos el cuadrado de la longitud del lado opuesto, que es el lado más largo 𝐶𝐵, con la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Tenemos 81 al cuadrado es igual a 6561. Y 67.5 al cuadrado más 67.5 al cuadrado es igual a 9112.5. Y 𝐶𝐵 al cuadrado, que es el cuadrado del lado más largo, es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Según el teorema de las desigualdades de Pitágoras, el ángulo 𝐶𝐷𝐵 debe ser un ángulo agudo. Por lo tanto, dado que el ángulo con la medida más grande en el triángulo 𝐵𝐶𝐷 es un ángulo agudo, 𝐵𝐶𝐷 es un triángulo acutángulo.

Veamos otro ejemplo de cómo podemos aplicar el teorema de las desigualdades de Pitágoras para hallar el tipo de triángulo, esta vez en un paralelogramo.

𝐴𝐵𝐶𝐷 es un paralelogramo. Si 𝐴𝐶 es igual a 13 centímetros, 𝐴𝐷 es igual a 13 centímetros y 𝐷𝐶 es igual a cinco centímetros, ¿qué tipo de triángulo es 𝐴𝐷𝐶?

Vemos que el triángulo 𝐴𝐷𝐶 es un triángulo isósceles. Y recordando que el ángulo en un triángulo con la medida más grande es el opuesto al lado más largo, en el triángulo 𝐴𝐷𝐶 los ángulos en 𝐶 y 𝐷, que son iguales, tendrán la medida más grande. Eligiendo uno de los ángulos en 𝐶 y 𝐷, podemos usar el teorema de las desigualdades de Pitágoras para confirmar que estos ángulos son agudos.

Tomando el ángulo en 𝐷 para trabajar, este teorema nos dice tres cosas. Primero, que, si el cuadrado del lado más largo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo opuesto al lado más largo es un ángulo obtuso. En segundo lugar, si el cuadrado del lado más largo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el ángulo es agudo. Y tercero, si el cuadrado del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, entonces el ángulo opuesto es un ángulo recto.

En nuestro caso, tenemos 𝐴𝐶 al cuadrado, que es 13 al cuadrado, es igual a 169 y 𝐴𝐷 al cuadrado más 𝐷𝐶 al cuadrado es igual a 13 al cuadrado más cinco al cuadrado. Y eso es igual a 194. Por lo tanto, 𝐴𝐶 al cuadrado es menor que 𝐴𝐷 al cuadrado más 𝐷𝐶 al cuadrado. Así que el ángulo 𝐶𝐷𝐴 es un ángulo agudo. El ángulo 𝐴𝐶𝐷 es el mismo, por lo que también es agudo. Y dado que estos ángulos tienen la medida más grande en el triángulo 𝐴𝐷𝐶, el ángulo 𝐶𝐴𝐷 debe ser más pequeño que ellos. Por lo tanto, el tercer ángulo, el ángulo 𝐶𝐴𝐷, también es agudo. Como los tres ángulos son agudos y, en particular, el ángulo con la medida más grande es agudo, el triángulo 𝐴𝐷𝐶 es un triángulo acutángulo.

En nuestro último ejemplo, vamos a usar las desigualdades de Pitágoras para clasificar un triángulo dentro de un rectángulo.

Clasifica el triángulo 𝐸𝐹𝐶 sabiendo que la longitud del lado 𝐵𝐹 es igual a raíz de tres centímetros y la longitud del lado 𝐴𝐸 es igual a raíz de seis centímetros y donde 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo.

Para determinar el tipo de triángulo 𝐸𝐹𝐶, podemos usar el teorema de las desigualdades de Pitágoras. El cual nos dice que dependiendo de si el cuadrado del lado más largo es mayor, menor o igual que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el ángulo opuesto al lado más largo es obtuso, agudo o recto, respectivamente, y esto determina el tipo del triángulo.

En nuestro caso, aún no conocemos las longitudes de los lados de nuestro triángulo 𝐸𝐹𝐶. Pero sabemos que está inscrito en un rectángulo y que las esquinas de un rectángulo son ángulos rectos. Así que podemos usar el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos para hallar las longitudes de nuestros tres lados faltantes. Si comenzamos con el triángulo 𝐹𝐴𝐸, como 𝐴𝐹 es igual a 𝐹𝐵, esa es la raíz de tres, podemos hallar la longitud del lado 𝐸𝐹. 𝐸𝐹 al cuadrado es igual a raíz de seis al cuadrado más raíz de tres al cuadrado, que es nueve. Y sacando la raíz cuadrada positiva en ambos lados —positiva ya que estamos buscando una longitud— obtenemos una longitud para el lado 𝐸𝐹 de tres centímetros.

Si consideramos la longitud del lado 𝐸𝐶, sabemos que 𝐷𝐸 es igual a 𝐸𝐴, que es raíz de seis centímetros, y que 𝐷𝐶 es igual a dos raíz de tres, ya que tiene la misma longitud que el lado 𝐴𝐵. Así que 𝐶𝐸 al cuadrado es igual a 𝐸𝐷 al cuadrado más 𝐷𝐶 al cuadrado. Eso es raíz de seis al cuadrado más dos raíz de tres al cuadrado, que es 18. Y sacando la raíz cuadrada positiva obtenemos 𝐶𝐸 igual a tres raíz de dos centímetros.

Usando el mismo método para el lado 𝐶𝐹, tenemos 𝐶𝐹 al cuadrado igual a 𝐶𝐵 al cuadrado más 𝐵𝐹 al cuadrado. 𝐶𝐹 al cuadrado es, por lo tanto, 27. Así que 𝐶𝐹 es igual a tres raíz de tres. Así que ya tenemos las longitudes de los tres lados del triángulo 𝐸𝐹𝐶. Como tres raíz de tres es mayor que tres raíz de dos, que es mayor que tres, vemos que nuestro lado más largo es 𝐶𝐹.

Y recordando que el ángulo más grande en un triángulo siempre es el opuesto al lado más largo, podemos aplicar el teorema de las desigualdades de Pitágoras para determinar el tipo de ángulo opuesto al lado 𝐶𝐹. Ese es el ángulo 𝐶𝐸𝐹. Tenemos que 𝐶𝐹 al cuadrado es igual a tres raíz de tres al cuadrado, y eso es 27. A continuación, tenemos la suma de los cuadrados de los otros dos lados, 𝐸𝐹 al cuadrado más 𝐶𝐸 al cuadrado, que es igual a tres al cuadrado más tres raíz de dos al cuadrado. Y eso es nueve más 18, que también es igual a 27. Por lo tanto, el cuadrado del lado más largo en el triángulo 𝐸𝐹𝐶 es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Y así, según la tercera parte del teorema de las desigualdades de Pitágoras, el ángulo 𝐶𝐸𝐹 es un ángulo recto.

Como el ángulo 𝐶𝐸𝐹 es un ángulo recto y los ángulos de un triángulo suman 180 grados, los otros dos ángulos, 𝐸𝐶𝐹 y 𝐸𝐹𝐶, deben ser ambos ángulos agudos. Por lo tanto, como el ángulo más grande del triángulo 𝐸𝐹𝐶 es un ángulo recto, el triángulo 𝐸𝐹𝐶 es un triángulo rectángulo.

Completemos este video resumiendo algunos de los puntos clave que hemos visto.

Primero, si el ángulo mayor de un triángulo es agudo, entonces el triángulo es llamado triángulo acutángulo, y, por supuesto, todos sus ángulos son agudos. Segundo, si el ángulo mayor de un triángulo es obtuso, entonces el triángulo es llamado triángulo obtusángulo. Y tercero, si el ángulo mayor de un triángulo es recto, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Sabemos que el ángulo más grande en cualquier triángulo está opuesto al lado más largo del triángulo, lo que nos lleva al teorema de las desigualdades de Pitágoras, que dice que si el ángulo en 𝐵 es el ángulo con la medida más grande, y si el cuadrado del lado más largo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el ángulo 𝐵 es obtuso y el triángulo es un triángulo obtusángulo. Si el cuadrado del lado más largo es más pequeño que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el ángulo con la medida más grande es agudo y el triángulo es un triángulo acutángulo. Y finalmente, si el cuadrado del lado más largo y la suma de los cuadrados de los otros dos lados son iguales, el ángulo opuesto es un ángulo recto y el triángulo es un triángulo rectángulo.

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