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Vídeo de la lección: Ecuación de una recta: forma explícita Matemáticas • Octavo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la ecuación de una recta en forma explícita si conocemos su pendiente, su ordenada 𝑦 en el origen, algunos de su puntos o su gráfica.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la ecuación de una recta en forma explícita si conocemos su pendiente, su ordenada 𝑦 en el origen, algunos de su puntos o su gráfica. Antes de comenzar es conveniente recordar las distintas formas en las que puede estar expresada la ecuación de una recta. La primera es la forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. Las letras 𝑚 y 𝑐 representan propiedades particulares de la recta. 𝑚 representa la pendiente de la recta, lo que significa que, por cada unidad que nos desplazamos hacia la derecha, la recta se desplaza este número de unidades hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si el valor de 𝑚 es positivo o negativo.

𝑐 representa la ordenada 𝑦 en el origen de la recta, que es el valor en el que la recta corta el eje de las 𝑦. La segunda forma en la que puede estar expresada la ecuación de una recta es la forma de punto y pendiente, 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 𝑥 menos 𝑥 uno. 𝑚 representa la pendiente de la recta, como ya hemos visto. 𝑥 uno, 𝑦 uno representa las coordenadas de cualquier punto de la recta. En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la ecuación de una recta conocidas su pendiente y su ordenada 𝑦 en el origen. Y para ello vamos a usar la forma explícita.

Determina, en forma explícita, la ecuación de la recta que tiene una pendiente de ocho y una ordenada 𝑦 en el origen de menos cuatro.

El problema nos dice la forma en la que debemos expresar la ecuación, en forma explícita, que es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. Así que, para resolver este problema, lo que tenemos que hacer es determinar los valores de 𝑚 y de 𝑐. Si te fijas, nos dan los valores de 𝑚 y de 𝑐 explícitamente en el enunciado de la pregunta. Se nos dice que esta recta tiene una pendiente de ocho; esto significa que el valor de 𝑚 es ocho. También se nos dice que la ordenada 𝑦 en el origen de la recta es menos cuatro; lo que significa que el valor de 𝑐 es menos cuatro. Por lo tanto, lo único que tenemos que hacer para resolver esta cuestión es sustituir los valores de ocho y menos cuatro en la forma general de la ecuación explícita de una recta. Y obtenemos que la ecuación de la recta es 𝑦 igual a ocho 𝑥 menos cuatro.

Halla las coordenadas del punto donde 𝑦 igual a cuatro 𝑥 más 12 corta el eje de las 𝑦.

Como ves, en este problema se nos da la ecuación de una recta en forma explícita. Y se nos pide hallar las coordenadas del punto donde corta el eje de las 𝑦. Para contestar la pregunta necesitamos saber cómo es la forma explícita y qué representan las diferentes partes de la ecuación. Recuerda que la ecuación explícita de una recta es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐, donde 𝑐 representa ordenada 𝑦 en el origen de la recta, que es lo que estamos buscando aquí. La ordenada 𝑦 en el origen es la ordenada del punto donde la recta corta el eje de las 𝑦. Así que podemos ver que, al comparar la forma general y la recta específica que tenemos, el valor de 𝑐 aquí es 12.

Pero el problema no nos pide solo el valor de 𝑐; nos pide hallar las dos coordenadas de este punto. Recordemos, por tanto, que la ordenada 𝑦 en el origen es un punto en el eje de las 𝑦. Y sabemos la coordenada 𝑦 de este punto: es 12. Para calcular la coordenada 𝑥, hemos de recordar que en todo punto del eje de las 𝑦 la coordenada 𝑥 es cero. Puede que veas esto más claramente si te fijas bien en este gráfico. Así que, las coordenadas de este punto son cero, 12. Y esa es nuestra respuesta final a esta cuestión.

Escribe la ecuación representada por la gráfica que se muestra. Da la respuesta en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏.

Tenemos una recta representada gráficamente. Y se nos pide que expresemos su ecuación en la forma explícita, lo que significa que tenemos que averiguar cuánto valen estas dos incógnitas. Si nos fijamos en el diagrama, podemos ver que la ordenada 𝑦 en el origen es menos cuatro, lo que significa que el valor de 𝑏, que es la letra que se usa aquí para representar la ordenada 𝑦 en el origen, debe ser menos cuatro. Así que ya podemos escribir parte de la ecuación de esta recta; 𝑦 es igual a 𝑚𝑥 menos cuatro. Ahora tenemos que hallar el valor de 𝑚, que es la pendiente de la recta. Y para hacerlo, necesitamos las coordenadas de dos puntos que se encuentran en la recta.

Ya hemos identificado un punto, el punto con coordenadas cero, menos cuatro. Observando el gráfico, también podemos ver que hay otro punto aquí que conviene usar también. Este punto se encuentra en el eje de las 𝑥 y tiene coordenadas seis, cero. Así que vamos a usar estos dos puntos para calcular la pendiente de la recta. La pendiente de la recta puede calcularse como el cambio en 𝑦 dividido por el cambio en 𝑥. Y podemos escribir esto como 𝑦 dos menos 𝑦 uno partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno, si designamos los dos puntos como 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Vamos a fijarnos en el diagrama para calcular el cambio en 𝑦 y el cambio en 𝑥.

Antes de nada, hemos de saber que el cambio en 𝑦 es la longitud vertical en este triángulo. Y podemos ver que va de una coordenada 𝑦 de menos cuatro a una coordenada 𝑦 de cero. Por lo tanto, el cambio en 𝑦 es más cuatro. Consideremos ahora el cambio en 𝑥, que es el cambio horizontal. Podemos ver en el diagrama, que va de un valor de cero a un valor de seis, por lo que el cambio en 𝑥 es más seis. Por lo tanto, la pendiente de esta recta es cuatro sextos. Pero podemos simplificar esta fracción, de modo que obtenemos dos tercios. Para terminar, solo tenemos que sustituir el valor de 𝑚, la pendiente de la recta, en la ecuación. Así que la ecuación de la recta representada por esta gráfica es 𝑦 igual a dos tercios 𝑥 menos cuatro.

Halla la ecuación de la recta cuya abscisa 𝑥 en el origen es tres y cuya ordenada 𝑦 en el origen es siete, y calcula el área del triángulo que forma esta recta con los dos ejes de coordenadas.

Como puedes ver, este problema tiene dos partes. Primero se nos pide que hallemos la ecuación de una recta y luego se nos pide que calculemos el área de este triángulo. Aquí sería útil dibujar un diagrama para visualizar la situación. Tenemos un par de ejes de coordenadas. Y se nos dice que la abscisa 𝑥 en el origen de esta recta es tres, lo que significa que la recta corta el eje de las 𝑥 en tres. También se nos dice que la recta tiene ordenada 𝑦 en el origen igual a siete, por lo que corta el eje de las 𝑦 en siete. Al conectar estos dos puntos, obtenemos la recta cuya ecuación hemos de hallar, y podemos ver el triángulo cuya área se nos ha pedido que calculemos. Es este triángulo de aquí.

Comencemos resolviendo la primera parte del problema, que consiste en hallar la ecuación de esta recta. Para ello vamos a usar la forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. Vamos a hallar uno de estos dos valores directamente. Recordemos que 𝑐 representa la ordenada 𝑦 en el origen de la recta. Y el problema nos dice que es siete. Así que la ecuación de la recta es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más siete. Ahora tenemos que calcular la pendiente de la recta. Y para hacerlo, necesitamos las coordenadas de dos puntos en la recta. Vamos a usar las coordenadas de estos puntos, el punto de intersección con el eje de las 𝑥 y el punto de intersección con el eje de las 𝑦.

Como ya hemos dicho, la pendiente de la recta se calcula dividiendo el cambio en 𝑦 por el cambio en 𝑥. Así que, considerando nuestro diagrama y usando estos dos puntos, vamos a hallar el cambio en 𝑦. Como puedes ver, según nos desplazamos de izquierda a derecha en el diagrama, la coordenada 𝑦 cambia de siete a cero, lo que es un cambio de menos siete. Es muy importante que escribamos el cambio en 𝑦 como menos siete, no como siete. La pendiente de la recta va hacia abajo de izquierda a derecha y, por lo tanto, es negativa. Veamos ahora cómo calcular el cambio en 𝑥. Podemos ver que, a medida que nos movemos de izquierda a derecha en el diagrama, la coordenada 𝑥 cambia de cero a tres, por lo que el cambio en 𝑥 es más tres.

Ahora vamos a sustituir el cambio en 𝑦 y el cambio en 𝑥 en nuestra fórmula de la pendiente de esta recta. De forma que obtenemos que la pendiente de la recta es igual a menos siete tercios. Por último, para completar la primera parte del problema y hallar la ecuación de la recta, hemos de sustituir este valor de 𝑚 en la ecuación. Así, tenemos que la ecuación de la recta es 𝑦 igual a menos siete tercios 𝑥 más siete. Ahora bien, a veces se nos puede pedir que demos la respuesta en una forma distinta, por ejemplo, en una forma que no incluya fracciones. De ser este el caso tendríamos que multiplicar la ecuación por tres, pero como no se nos ha pedido esto, vamos a dejar la respuesta así. Muy bien, ya hemos completado la primera parte del problema.

En la segunda parte se nos pide calcular el área del triángulo formado por esta recta y los dos ejes de coordenadas. Si nos fijamos en el diagrama podemos ver que se trata de un triángulo rectángulo porque los ejes 𝑥 e 𝑦 hacen un ángulo recto. Para calcular el área de un triángulo rectángulo, tenemos simplemente que multiplicar la base del triángulo por su altura y luego dividir por dos. De esta forma, observando el diagrama podemos ver que la base de este triángulo es tres unidades. La altura del triángulo es siete unidades. Ahora, nos referimos a esto como menos siete cuando calculamos la pendiente de la recta porque la dirección es importante. Pues cuando lo que queremos es la longitud de esa altura para calcular un área, entonces tomaremos un valor de más siete. Así que nuestro cálculo para el área es tres por siete entre dos. Y esto nos da una respuesta de 10.5 unidades cuadradas para el área de este triángulo.

Resumiendo, cuando conocemos la pendiente y la ordenada 𝑦 en el origen de una recta, podemos escribir su ecuación en forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐 porque los valores pueden sustituirse directamente en esta forma. Puede que tengamos que calcular la pendiente de la recta si conocemos dos puntos en la recta, dividiendo para ello el cambio en 𝑦 por el cambio en 𝑥. También podríamos expresar la ecuación de una recta en forma de punto y pendiente, pero esto es complicar innecesariamente las cosas, pues si la información que se nos da es la pendiente y la ordenada 𝑦 en el origen, lo más sencillo es usar la forma explícita.

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