Vídeo: Simplificar expresiones algebraicas combinando términos semejantes

Vamos a aprender a identificar términos semejantes a través de una serie de ejemplos en los que tenemos que combinar términos semejantes para simplificar expresiones algebraicas tales como 2 + 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑥 + 5𝑦 + 4𝑥 − 3𝑦 + 7 o 5𝑥 + 7𝑥² − 2𝑥 − 3𝑥².

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a ver cómo simplificar expresiones algebraicas combinando términos semejantes. Vamos a ver expresiones con números y letras y combinaciones de letras, y vamos a pensar en qué consecuencias puede tener el paréntesis en algunas de estas expresiones.

Podemos simplificar expresiones algebraicas combinando o agrupando términos semejantes. Por ejemplo, todos los números que están solos, todas las 𝑥s, todas las 𝑦s, y así sucesivamente.

Simplifica dos más tres 𝑥 más dos 𝑦 menos 𝑥 más cinco 𝑦 más cuatro 𝑥 menos tres 𝑦 más siete. Si nos fijamos solo en los términos puramente numéricos primero, vemos que tenemos un dos y un más siete. Luego, si nos fijamos en los términos con 𝑥, tenemos más tres 𝑥, menos 𝑥 y más cuatro 𝑥. Y ahora solo nos quedan los términos con 𝑦, más dos 𝑦, más cinco 𝑦, menos tres 𝑦. A veces es útil usar un código de colores o un sistema de distintos símbolos para hacer un seguimiento de los términos semejantes que se han hallado y usado hasta el momento y de los que no.

Si nos ocupamos primero de los términos puramente numéricos, decimos que dos más siete es igual a nueve. Ahora tenemos los términos con 𝑥. Tenemos tres 𝑥 menos 𝑥, que es dos 𝑥, y si sumamos cuatro 𝑥 obtenemos seis 𝑥, así que esto es más seis 𝑥. Luego, los términos con 𝑦, tenemos dos 𝑦 más cinco 𝑦, que es siete 𝑦, restamos tres 𝑦, y obtenemos más cuatro 𝑦. Lo habitual es poner los términos con letras al principio y los términos puramente numéricos al final de la expresión. Por tanto, decimos que la expresión es seis 𝑥 más cuatro 𝑦 más nueve.

Sin embargo, a veces nos encontramos con términos con productos más complejos, como 𝑥𝑦 o 𝑦 al cubo. Y tenemos que ser capaces de identificar también los términos semejantes en estas expresiones.

Por ejemplo, simplifica tres 𝑥 más cuatro 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥𝑦 más siete 𝑦 al cuadrado menos dos 𝑥 más cinco 𝑦𝑥 menos 𝑦 al cubo menos dos 𝑥 al cuadrado.

En esta expresión tenemos dos términos, tres 𝑥 y menos dos 𝑥, que son números multiplicados por 𝑥. Así que vamos a poner esos primero. A continuación, si buscamos los términos con 𝑥 al cuadrado, tenemos cuatro 𝑥 al cuadrado y menos dos 𝑥 al cuadrado. Ahora busquemos los términos con 𝑥𝑦. Bueno, tenemos menos dos 𝑥𝑦. Pero también tenemos más cinco 𝑦𝑥. Y, como la multiplicación es conmutativa, esto significa que 𝑦𝑥 es lo mismo que 𝑥𝑦. Así que vamos a escribir cinco 𝑦𝑥 como cinco 𝑥𝑦.

A continuación están los términos con 𝑦 al cuadrado. Bueno, solo tenemos uno de este tipo, siete 𝑦 al cuadrado. Y ya nos hemos ocupado de todos los otros términos salvo del término 𝑦 al cubo. Así que solo nos queda menos 𝑦 al cubo. Los términos semejantes son términos que tienen la misma letra, o tienen la misma letra elevada al mismo exponente, o la misma combinación de letras multiplicadas, 𝑥𝑦, 𝑦𝑥. Y tres 𝑥 menos dos 𝑥 es uno 𝑥, o sencillamente 𝑥. Cuatro 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 al cuadrado es dos 𝑥 al cuadrado.

Si ahora empezamos con menos dos 𝑥𝑦 y sumamos cinco 𝑥𝑦, el resultado es más tres 𝑥𝑦. Luego tenemos más siete 𝑦 al cuadrado y menos 𝑦 al cubo. Ninguno de estos son términos semejantes, así que esta es nuestra respuesta. Así que 𝑥 se considera una letra distinta a 𝑥 al cuadrado. Y también es una letra distinta a 𝑥𝑦 y a 𝑦 al cuadrado y a 𝑦 al cubo, etcétera.

Veamos una representación visual de esto para entender por qué hemos definido la expresión «términos semejantes» de este modo. Imaginemos que tenemos unos rectángulos de uno por 𝑥 y unos rectángulos de uno por 𝑦. Por lo tanto, un rectángulo de uno por 𝑥, uno multiplicado por 𝑥, tiene un área de 𝑥. Así que vamos a llamar a estos 𝑥. Y uno por 𝑦, uno multiplicado por 𝑦, tiene un área de 𝑦. Así que estos son los rectángulos 𝑦.

Así que tenemos tres rectángulos 𝑥 y dos rectángulos 𝑦. Podemos escribirlos como tres 𝑥 más dos 𝑦. Ahora bien, los rectángulos 𝑥 tienen un tamaño distinto a los rectángulos 𝑦. Así que no podemos combinarlos. Tan solo podemos afirmar que tenemos tres rectángulos del tipo 𝑥 y dos rectángulos del tipo 𝑦.

Ahora vamos a añadir un rectángulo con dimensiones 𝑥 por 𝑦. El área de esto sería 𝑥 por 𝑦, así que lo llamamos 𝑥𝑦. Ahora tenemos tres de los rectángulos 𝑥, dos de los rectángulos 𝑦 y uno de los rectángulos 𝑥𝑦. Así que tenemos que escribirlo de esta manera. No podemos simplificar más. Es tan solo una afirmación de los distintos tipos de rectángulo, 𝑥, 𝑦, y 𝑥𝑦. Y eso nos dice cuántos de cada tipo tenemos.

Ahora hemos añadido tres rectángulos con dimensiones 𝑦 por 𝑦, es decir, rectángulos 𝑦 al cuadrado, y un rectángulo 𝑥 por 𝑥, y eso es un rectángulo 𝑥 al cuadrado. Así que ahora tenemos tres 𝑥 más dos 𝑦 más 𝑥𝑦 más un 𝑥 al cuadrado y tres rectángulos 𝑦 al cuadrado. Por lo tanto, con suerte, podemos ver que 𝑥 es muy distinto a 𝑥 al cuadrado. Y 𝑦 no es lo mismo que 𝑦 al cuadrado. Y 𝑥𝑦 también es otra cosa. Es por ello que tenemos que expresarlos de forma separada en nuestra expresión algebraica de aquí abajo.

Echemos un vistazo ahora a algunas expresiones con paréntesis.

Por ejemplo, simplifica cinco por 𝑥 más dos más siete por 𝑥 más dos. Y eso significa que tenemos cinco grupos de 𝑥 más dos. Imaginemos un rectángulo con un tamaño de 𝑥 más dos. Y tenemos siete grupos de 𝑥 más dos. Así que tenemos cinco rectángulos de 𝑥 más dos, y siete rectángulos más de este tipo 𝑥 más dos. Así que 𝑥 más dos entre paréntesis son términos semejantes. Y cinco de algo más siete de algo es 12 de algo. Así que tenemos 12 grupos de 𝑥 más dos.

Ahora podemos usar la propiedad distributiva de la multiplicación para decir que esto es 12 por 𝑥 más 12 por dos. Y podemos escribir esto de forma algebraica como 12𝑥, la forma breve de decir 12 por 𝑥. Y 12 por dos es 24, así que tenemos 12𝑥 más 24.

Sin embargo, podríamos haber aplicado antes la propiedad distributiva en este problema. Así que eso sería cinco por 𝑥, cinco por dos, siete por 𝑥 y siete por dos. Por lo tanto, tendríamos cinco 𝑥 más 10 más siete 𝑥 más 14, lo que significa que ya podemos combinar los términos semejantes. Cinco 𝑥 y siete 𝑥 son términos semejantes. Y luego los números que están solos, 10 más 24, y esto nos da 12𝑥 más 24. Así que obtenemos la misma respuesta.

Esto es posible porque teníamos este término semejante aquí, 𝑥 más dos. Esto significa que solo teníamos que distribuir una sola vez, en lugar de tener que distribuir dos veces. Así que este método de aquí requiere un poco más de cálculo. Nos hemos ahorrado algo de trabajo, en primer lugar, detectando este término de aquí que está entre paréntesis.

Ahora bien, algunas expresiones tienen paréntesis que, analizados con cuidado, pueden quitarse.

Por ejemplo, simplifica cinco más, abre paréntesis, 11𝑥 más 12, cierra paréntesis. Como esta expresión usa la suma en dos lugares, y la suma es asociativa, obtenemos el mismo resultado si sumamos el resultado de 11𝑥 más 12 a cinco que si sumamos 12 al resultado de cinco más 11𝑥. Los paréntesis nos dicen que hagamos el cálculo de cierta manera. Pero no habría ninguna diferencia si lo hiciéramos de otra forma. Son redundantes. Así que podemos eliminarlos.

Ahora tenemos dos términos numéricos semejantes. Y cinco más 12 es 17. Así que nuestra respuesta es 17 más 11𝑥, o, como es usual escribirlo, con el término que tiene la letra al principio, 11𝑥 más 17.

Una última cosa antes de terminar. Hemos operado con términos positivos y negativos como tres 𝑥, menos cinco 𝑦, menos 12𝑦 al cuadrado, y así sucesivamente. Pero también podemos operar con términos con fracciones del mismo modo. Por ejemplo, un medio de 𝑥 más otro medio de 𝑥, bueno dos medios de lo mismo es un entero. Así que un medio de 𝑥 más un medio de 𝑥 es un 𝑥, o sea, 𝑥, como lo escribiríamos normalmente.

Entonces, por ejemplo, si tenemos que simplificar menos un tercio de 𝑥 más dos tercios de 𝑥 más un cuarto más dos tercios de 𝑥 más un medio, podemos identificar los términos semejantes. Agrupamos todos los términos con 𝑥. Y agrupamos los términos numéricos también. Así que tenemos menos un tercio de 𝑥 más dos tercios de 𝑥 más otros dos tercios de 𝑥 más un cuarto más un medio.

Vamos a pensar en los términos con 𝑥. Empezamos por menos un tercio de 𝑥. Y sumamos dos tercios de 𝑥. Así que un tercio, dos tercios de 𝑥 nos trae aquí. Y luego sumamos otros dos tercios de 𝑥. Así que vamos a tener uno, dos tercios de 𝑥, lo que nos lleva aquí, a uno. Eso es uno 𝑥, o simplemente 𝑥. Y luego tenemos un cuarto más un medio. Bueno, un medio es dos cuartos. Así que tenemos un cuarto más dos cuartos, que es tres cuartos. Vemos, pues, que se aplican las mismas reglas. Incluso si tenemos fracciones, aún podemos combinar o agrupar términos semejantes en expresiones algebraicas para simplificarlas.

Por último, con la intención de resumir lo que hemos aprendido, vamos a simplificar algunas otras expresiones algebraicas combinando o agrupando términos semejantes. Por ejemplo, tres 𝑥 menos 12𝑦 más siete 𝑥 más dos 𝑦. Consideramos semejantes a los términos con 𝑥 y a los términos con 𝑦. Y tres 𝑥 más siete 𝑥 es 10𝑥, mientras que menos 12𝑦 más dos 𝑦 es menos 10𝑦.

Pero recordemos que los términos que tienen distintos exponentes o bases no son términos semejantes. Por ejemplo, en cinco 𝑥 más siete 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 menos tres 𝑥 al cuadrado, cinco 𝑥 y menos dos 𝑥 son términos semejantes, y siete 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 al cuadrado son términos semejantes. Por lo tanto, al combinarlos, obtenemos que cinco 𝑥 menos dos 𝑥 es tres 𝑥. Y siete 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 al cuadrado es cuatro 𝑥 al cuadrado. Es como si 𝑥 al cuadrado fuera una letra distinta a 𝑥. Vamos a pensar en esos rectángulos de distintos tamaños que hemos visto antes cuando hemos mostrado una representación visual de esto. Estamos juntando todos los rectángulos de tamaño 𝑥 y todos los rectángulos de tamaño 𝑥 al cuadrado.

Y, por último, a veces hay paréntesis enteros que contienen términos semejantes. Por ejemplo, tres por 𝑥 menos dos más cinco por 𝑥 menos dos menos dos por 𝑥 menos dos. Todos estos términos son múltiplos de 𝑥 menos dos. Así que tenemos tres de ellos y otros cinco de ellos. Pero estamos quitando dos de ellos, lo que nos deja con seis 𝑥 menos dos. Esto significa que podemos aplicar la propiedad distributiva una vez al final del problema para obtener seis 𝑥 menos 12. Esto es mucho mejor que multiplicar tres pares de paréntesis antes en el problema y, por tanto, tener que juntar grupos y grupos de términos. Por lo tanto, a veces darnos cuenta de esto puede ahorrarnos mucho trabajo.

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