Vídeo: Cuadriláteros cíclicos

En este vídeo vamos a aplicar las propiedades de los cuadriláteros cíclicos para hallar las medidas de los ángulos que faltan y para determinar si un cuadrilátero es cíclico o no.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aplicar las propiedades de los cuadriláteros cíclicos para hallar las amplitudes de los ángulos que faltan y determinar si un cuadrilátero es cíclico o no.

En primer lugar, vamos a definir lo que es un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero inscrito, que es casi, pero no exactamente, lo mismo. Como su nombre indica, un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero que puede estar inscrito en una circunferencia, es decir, es un cuadrilátero cuyos vértices pueden estar todos situados en una misma circunferencia. En nuestro diagrama, los vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶, y 𝐷 se encuentran todos en la misma circunferencia. Los cuatro ángulos de un cuadrilátero cualquiera suman 360 grados. Esto quiere decir que el ángulo 𝐴 más el ángulo 𝐵 más el ángulo 𝐶 más el ángulo 𝐷 es igual a 360 grados.

En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180 grados. En nuestro diagrama, el ángulo 𝐴 más el ángulo 𝐶 es igual a 180 grados, y el ángulo 𝐵 más el ángulo 𝐷 es también igual a 180 grados. Y, por supuesto, los ángulos de un cuadrilátero cíclico hacen un total de 180 más 180 grados, o sea, 360 grados.

Ahora vamos a ver algunos problemas en los que hay que determinar si un cuadrilátero es cíclico o no.

¿Es 𝐴𝐵𝐶𝐷 un cuadrilátero cíclico?

En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180 grados. Como los ángulos 𝐴 y 𝐶 son opuestos, esto implicaría que el ángulo 𝐴 y el ángulo 𝐶 habrían de hacer un total de 180 grados. Pero 79 grados más 62 grados son 141 grados. Por lo tanto, el ángulo 𝐴 más el ángulo 𝐶 no es igual a 180 grados. Así que concluimos que la respuesta es no, 𝐴𝐵𝐶𝐷 no es un cuadrilátero cíclico, pues la suma de los ángulos 𝐴 y 𝐶 no es 180 grados.

Veamos ahora una cuestión parecida.

¿Es 𝐴𝐵𝐶𝐷 un cuadrilátero cíclico?

Sabemos que los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman 180 grados. En esta cuestión vamos a considerar los ángulos opuestos 𝐵 y 𝐷. Si estos dos ángulos suman 180 grados, entonces los ángulos 𝐴 y 𝐶 también deben sumar 180 grados, pues la suma de los cuatro ángulos dentro de un cuadrilátero es 360 grados.

Antes de comenzar con la cuestión es útil recordar que los tres ángulos de un triángulo suman 180 grados. Esto significa que el ángulo 𝐵 más 48 grados más 29 grados debe ser igual a 180 grados. 48 más 29 es igual a 77. Si restamos 77 grados de ambos lados de la ecuación, obtenemos que el ángulo 𝐵 mide 103 grados. Volvamos ahora a la definición de cuadrilátero cíclico. Sabemos que el ángulo 𝐵 es igual a 103 grados y que el ángulo 𝐷 es igual a 77 grados. Estos dos ángulos suman 180 grados.

Como ya hemos dicho, si el ángulo 𝐵 más el ángulo 𝐷 suman 180 grados, entonces el ángulo 𝐴 más el ángulo 𝐶 también deben sumar 180 grados. Esto se debe a que los cuatro ángulos internos del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 deben sumar 360 grados. Así que concluimos que, en efecto, 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrilátero cíclico.

En los problemas siguientes vamos a calcular la amplitud de ángulos faltantes en un cuadrilátero cíclico.

Calcula la amplitud del ángulo 𝐵𝐶𝐷.

El ángulo 𝐵𝐶𝐷 es el que se muestra en el dibujo. Los cuatro vértices del cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 están situados en la misma circunferencia. Nuestro cuadrilátero está inscrito en la circunferencia y es, por lo tanto, cíclico. Sabemos que los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman 180 grados. Esto significa que la suma del ángulo 𝐴 y del ángulo 𝐶 es 180 grados. Esto también se cumple para los ángulos 𝐵 y 𝐷.

Sabemos que el ángulo 𝐴 es igual a 78 grados. Restamos 78 grados en ambos lados de la ecuación y obtenemos que el ángulo 𝐶 es igual a 180 grados menos 78 grados. Esto es igual a 102 grados. La amplitud del ángulo 𝐵𝐶𝐷 en el cuadrilátero es 102 grados.

Veamos ahora un problema un poco más difícil.

Sabiendo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un cuadrilátero cíclico, calcula la amplitud del ángulo 𝐵𝐴𝐶.

El ángulo 𝐵𝐴𝐶 que se muestra en el dibujo está denotado por 𝑥. Las marcas en los segmentos 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶 indican que estos dos lados tienen la misma longitud. Esto quiere decir que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles. Un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales. En este caso, el ángulo 𝐵𝐴𝐶 es igual al ángulo 𝐵𝐶𝐴. Los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman 180 grados. Denotamos el ángulo 𝐴𝐵𝐶 con la letra 𝑦, y deducimos que este ángulo más el ángulo 𝐴𝐷𝐶 deben sumar 180 grados. 𝑦 más 61 grados es igual a 180 grados. Restamos 61 grados en ambos lados de la ecuación y obtenemos que 𝑦 es igual a 119 grados.

Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Esto significa que 𝑥 más 𝑥 más 119 grados es igual a 180 grados. Simplificamos el miembro izquierdo de la ecuación y obtenemos dos 𝑥 más 119 grados. Ahora restamos 119 grados en ambos lados de la ecuación y obtenemos dos 𝑥 igual a 61 grados. Por último, dividimos ambos lados de la ecuación por dos y obtenemos que 𝑥 es igual a 30.5 grados. Así que concluimos que la amplitud del ángulo 𝐵𝐴𝐶 es 30.5 grados.

En el siguiente problema vamos a considerar un cuadrilátero cíclico en el que hay dos incógnitas que debemos calcular.

Sabiendo que la amplitud del ángulo 𝐵𝐴𝐷 es 𝑥 más 34 grados, halla los valores de 𝑥 y de 𝑦.

El enunciado nos dice que la amplitud del ángulo 𝐵𝐴𝐷 es 𝑥 más 34 grados. En el dibujo vemos que el triángulo 𝐵𝐴𝐸 es isósceles, pues las longitudes de 𝐵𝐴 y 𝐵𝐸 son iguales. Esto significa que el ángulo 𝐵𝐴𝐸 es igual al ángulo 𝐵𝐸𝐴, que mide 51 grados. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Esto quiere decir que el ángulo 𝐴𝐵𝐸 más 51 grados más 51 grados es igual a 180 grados. 51 más 51 es 102. Y si restamos esto de 180 obtenemos que el ángulo 𝐴𝐵𝐸 mide 78 grados.

También sabemos que los ángulos en una recta suman 180 grados. Esto significa que podemos calcular el ángulo 𝐴𝐵𝐶 del cuadrilátero cíclico restando 78 grados de 180 grados. El ángulo 𝐴𝐵𝐶 mide 102 grados. El cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 está inscrito en una circunferencia, y es, por lo tanto, un cuadrilátero cíclico. Como ya hemos visto, los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman 180 grados. Esto significa que 𝑥 más 102 es igual a 180, y que 𝑦 más 𝑥 más 34 es también igual a 180.

Como acabamos de decir, si nos fijamos en los ángulos en los vértices 𝐵 y 𝐷, tenemos la ecuación 𝑥 más 102 grados igual a 180 grados. Restamos 102 de ambos lados de la ecuación y obtenemos que 𝑥 es igual a 78 grados. Los ángulos en los vértices 𝐴 y 𝐶 también sumarán 180 grados. 78 más 34 es igual a 112. Restamos 112 grados en ambos lados de la ecuación y obtenemos que 𝑦 es igual a 68 grados. Los valores de 𝑥 y de 𝑦 son 78 grados y 68 grados, respectivamente. Podemos comprobar que esto es cierto sumando los cuatro ángulos del cuadrilátero, cuya suma debe ser igual a 360 grados.

Repasemos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Un cuadrilátero es cíclico si puede ser inscrito en una circunferencia, es decir, si sus cuatro vértices pueden ser posicionados en la misma circunferencia. Los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman 180 grados. Esta propiedad básica de la circunferencia suele aparecer a menudo en los exámenes. Esta propiedad puede ser aplicada junto con otras propiedades bien conocidas de los ángulos, como las que hemos usado en este vídeo. Estas propiedades se refieren, por ejemplo, a los ángulos en un triángulo o a los ángulos en una recta. En ambos casos, los ángulos suman 180 grados. Esta propiedad se puede ver en el diagrama, donde el ángulo 𝐴 más el ángulo 𝐶 es igual a 180 grados y el ángulo 𝐵 más el ángulo 𝐷 también es igual a 180 grados. La suma de los cuatro ángulos en un cuadrilátero cualquiera es 360 grados.

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