Vídeo de la lección: Aplicaciones de las derivadas al movimiento rectilíneo Matemáticas • Educación superior

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender a aplicar varios métodos que hacen uso de las derivadas en problemas de movimiento rectilíneo. Vamos a empezar repasando los métodos para derivar funciones polinómicas en 𝑥, y la regla de la cadena, antes de pasar a las aplicaciones de la derivada al movimiento rectilíneo. Luego veremos una serie de ejemplos en los que se aplican estas técnicas y veremos en qué casos debemos aplicar cálculo y en cuáles no.

Las técnicas de cálculo que vamos a utilizar en este vídeo son las siguientes. Vamos a aplicar que la derivada de una potencia de 𝑥, digamos 𝑎𝑥 elevado a 𝑛, siendo 𝑎 y 𝑛 constantes, es 𝑛 por 𝑎𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Por ejemplo, la derivada de cuatro por 𝑥 elevado a siete es siete por cuatro 𝑥 elevado a siete menos uno, que es seis. Y eso es, obviamente, 28𝑥 elevado a seis. También vamos a aplicar la regla de la cadena, que nos permite diferenciar una función de otra función. Esta regla dice que, si 𝑦 es una función en 𝑢 y 𝑢 es una función en 𝑥, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥.

Entonces, ¿cómo se aplica el cálculo al movimiento, en particular al movimiento rectilíneo? Este último es el movimiento a lo largo de una línea recta. Vamos a repasar las definiciones de desplazamiento, velocidad y aceleración. El desplazamiento es el vector que describe la posición de un objeto respecto de un punto de partida. La velocidad es la tasa de variación del desplazamiento del objeto con respecto al tiempo. Y la aceleración es la tasa de variación de la velocidad del objeto con respecto al tiempo. Esto quiere decir que, si definimos 𝑠 como una función que da el desplazamiento en un tiempo 𝑡, entonces la velocidad debe ser la derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡. Eso es 𝑠 prima de 𝑡.

Del mismo modo, podemos decir que, si 𝑣 es una función que da la velocidad en un tiempo 𝑡, entonces la aceleración es la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑡. Es 𝑣 prima de 𝑡. Puesto que hemos definido 𝑣 como 𝑠 prima de 𝑡, podemos decir que la aceleración es también la segunda derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡. Eso es 𝑠 doble prima de 𝑡. Y como la integración es el proceso opuesto, o el inverso, a la derivación, podemos dibujar un pequeño diagrama de flujo para mostrar la relación que hay entre el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Es conveniente recordar que la distancia recorrida y la rapidez son cantidades escalares, algunas veces llamadas espacio recorrido y velocidad, respectivamente. Vamos ahora a echar un vistazo a varios ejemplos que ilustran estas ideas.

Una partícula se mueve en línea recta de modo que su desplazamiento 𝑠 metros tras 𝑡 segundos viene dado por 𝑠 igual a cuatro 𝑡 al cubo menos 55𝑡 al cuadrado más 208𝑡. a) Calcula la velocidad de la partícula cuando 𝑡 es igual a ocho segundos. Y b) Determina el intervalo de tiempo en el que la velocidad de la partícula es decreciente.

Recordemos que la velocidad es la tasa de variación del desplazamiento de un objeto. Podemos, por lo tanto, decir que 𝑣 es igual a la derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡, eso es d𝑠 partido por d𝑡. Por lo tanto, para calcular la velocidad de la partícula en este problema, vamos a tener que derivar 𝑠 con respecto a 𝑡. Recordamos que la derivada de una potencia de 𝑥, digamos 𝑎𝑥 elevado a 𝑛, siendo 𝑎 y 𝑛 constantes, es 𝑛𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. También nos acordamos de que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de cada uno de los términos de la suma.

Por lo tanto, derivamos cada término con respecto a 𝑡. La derivada de cuatro 𝑡 al cubo es tres por cuatro 𝑡 al cuadrado, que es 12𝑡 al cuadrado. La derivada de menos 55𝑡 al cuadrado es dos por menos 55𝑡 elevado a uno. Eso es menos 110𝑡. Y la derivada de 208𝑡 es 208. Por lo tanto, la velocidad a los 𝑡 segundos viene dada por 12𝑡 al cuadrado menos 110𝑡 más 208. Podemos calcular la velocidad a los ocho segundos sustituyendo ocho en esta función. De este modo obtenemos 12 por ocho al cuadrado menos 110 por ocho más 208, que es 96. Y como el desplazamiento se mide en metros y el tiempo se mide en segundos, la velocidad es 96 metros por segundo.

¿Qué hay de la parte b)? Para que una función sea decreciente, su derivada debe ser menor que cero. La derivada de 𝑣 con respecto a 𝑡 es 24𝑡 menos 110. Nuestra tarea aquí es averiguar en qué punto la función 24𝑡 menos 110 es menor que cero. Bueno, ¿cómo lo hacemos? ¿Cómo resolvemos esta inecuación lineal? Podemos resolver esta inecuación del mismo modo que una ecuación lineal. Sumamos 110 a ambos lados para ver que 24𝑡 es menor que 110. Y dividimos entre 24. Así podemos ver que 𝑡 es menor que 110 sobre 24, que se simplifica a 55 partido por 12. El intervalo de tiempo en el que la velocidad de esta partícula es decreciente es 𝑡 menor que 55 sobre 12 segundos.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo debemos cambiar nuestros métodos cuando operamos con la velocidad media.

Una partícula se mueve en línea recta de modo que su posición 𝑟 metros relativa al origen a los 𝑡 segundos está dada por 𝑟 igual a 𝑡 al cuadrado más tres 𝑡 más siete. Calcula la velocidad media de la partícula entre 𝑡 igual a dos segundos y 𝑡 igual a cuatro segundos.

Observa que en este ejemplo se nos da la posición de la partícula con respecto al origen y se nos pide que calculemos su velocidad media. La velocidad media se define como el desplazamiento total dividido por el tiempo total. Por lo tanto, en vez de derivar esta vez, vamos sencillamente a aplicar esta definición. El desplazamiento es el cambio total en la posición de la partícula entre 𝑡 igual a dos segundos y 𝑡 igual a cuatro segundos. Por lo tanto, sustituimos 𝑡 igual a dos y 𝑡 igual a cuatro en la fórmula de la posición del objeto y calculamos la diferencia entre estos para hallar el desplazamiento total entre dos y cuatro segundos.

La posición a los cuatro segundos es cuatro al cuadrado más tres por cuatro más siete, que es 35. Y a los dos segundos es dos al cuadrado más tres por dos más siete, que es 17. Por lo tanto, entre los dos segundos y los cuatro segundos, el desplazamiento de la partícula es 18 metros. El tiempo empleado es sencillamente la diferencia entre cuatro segundos y dos segundos, que es dos segundos. Y, por lo tanto, la velocidad media de la partícula es 18 partido por dos, que es nueve metros por segundo.

Este ejemplo demuestra que no siempre se necesita del cálculo para resolver problemas de velocidad media de una función de posición, pero que sí necesitamos usar el cálculo cuando operamos con problemas de velocidad instantánea.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo nos puede ayudar el cálculo a resolver problemas de movimiento rectilíneo.

Una partícula se mueve en línea recta de modo que su desplazamiento 𝑠 en metros está dado como una función de tiempo 𝑡 en segundos por 𝑠 igual a cinco 𝑡 al cubo menos 84𝑡 al cuadrado más 33𝑡, siendo 𝑡 mayor o igual que cero. Calcula el módulo de la aceleración de la partícula cuando la velocidad es cero.

Aquí tenemos una función para el desplazamiento de una partícula a los 𝑡 segundos. Recordamos que, con nuestra función para 𝑠 en términos de 𝑡, podemos hallar 𝑣 derivando esto con respecto a 𝑡. Y, además, 𝑎, la aceleración, puede hallarse derivando otra vez. Eso es d𝑣 sobre d𝑡, o, también, la segunda derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡. Por lo tanto, necesitamos hallar la segunda derivada de la función 𝑠. Podemos hallar la primera derivada diferenciando cada término. Eso es tres por cinco 𝑡 al cuadrado menos dos por 84𝑡 más 33. Esto nos da 15𝑡 al cuadrado menos 168𝑡 más 33.

Luego, derivamos de nuevo para hallar una expresión para la aceleración. Eso es dos por 15𝑡 menos 168, que se simplifica a 30𝑡 menos 168. Ahora ya tenemos expresiones para la velocidad y la aceleración a los 𝑡 segundos. ¿Ahora qué hacemos? Queremos hallar el módulo de la aceleración cuando la velocidad es cero. Vamos a plantear nuestra ecuación para la velocidad igualando a cero y vamos a despejar 𝑡. Podemos resolver esto factorizando. Y al hacerlo vemos que cinco 𝑡 menos uno por tres 𝑡 menos 33 es igual a cero. Para que esta afirmación sea verdadera, o bien cinco 𝑡 menos uno debe ser igual a cero o bien tres 𝑡 menos 33 debe ser igual a cero. Y si resolvemos cada uno de estos términos para 𝑡, veremos que 𝑡 es igual a un quinto o que 𝑡 es igual a 11. Y la velocidad es igual a cero en estos instantes.

Veamos lo que ocurre cuando sustituimos estos valores de 𝑡 en la ecuación para la aceleración. Cuando 𝑡 es igual a un quinto, la aceleración es igual a 30 por un quinto menos 168, que es menos 162. Cuando 𝑡 es igual a 11, la aceleración es 30 por 11 menos 168, que, esta vez, es 162. Recordemos que se nos ha pedido que calculemos el módulo de la aceleración; eso es el tamaño. Por lo tanto, aquí el signo menos no viene al caso. Podemos decir, entonces, que el módulo de la aceleración cuando 𝑣 es igual a cero es 162 metros por segundo al cuadrado.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo la derivada puede ayudarnos a hallar el tipo del movimiento de una partícula.

Una partícula se mueve en línea recta de modo que, a los 𝑡 segundos, su desplazamiento desde un punto fijo en la recta viene dado por 𝑠 igual a 𝑡 al cubo menos 𝑡 al cuadrado menos tres metros, y 𝑡 es mayor o igual que cero. Determina si la partícula está acelerando o desacelerando cuando 𝑡 es igual a dos segundos.

Aquí tenemos una función para el desplazamiento de una partícula a los 𝑡 segundos. Para hallar una ecuación para la aceleración, vamos a tener que hallar la segunda derivada de esta función. Comenzamos hallando la primera derivada d𝑠 entre d𝑡 que representa la velocidad a los 𝑡 segundos. La derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡 es tres 𝑡 al cuadrado menos dos 𝑡. Derivamos de nuevo para calcular la aceleración. Y vemos que la aceleración a los 𝑡 segundos es seis 𝑡 menos dos. Queremos hallar el tipo de aceleración en 𝑡 igual a dos segundos. En otras palabras, ¿está acelerando o desacelerando? Vamos a sustituir 𝑡 igual a dos en la ecuación de la aceleración. Eso es seis por dos menos dos, que es 10.

Sin embargo, esto no es suficiente para determinar si la partícula está acelerando o desacelerando, pues no sabemos en qué sentido se está moviendo. Así que vamos a calcular la velocidad en 𝑡 igual a dos segundos. Eso es tres por dos al cuadrado menos dos por dos, que es ocho. Como tanto la velocidad como la aceleración son positivas en 𝑡 igual a dos segundos, sabemos que actúan en el mismo sentido. Por lo tanto, la partícula está acelerando cuando 𝑡 es igual a dos.

En el último ejemplo vamos a ver cómo puede ayudarnos la regla de la cadena a resolver problemas de movimiento rectilíneo.

Una partícula se mueve a lo largo del eje de las 𝑥. Cuando su desplazamiento desde el origen es 𝑠 metros, su velocidad está dada por 𝑣 igual a cuatro sobre tres más 𝑠 metros por segundo. Calcula la aceleración de la partícula cuando 𝑠 es igual a tres metros.

Aquí tenemos una función para la velocidad en términos de 𝑠. Se nos pide que calculemos la aceleración. Ahora bien, la aceleración se define como la variación en la velocidad con respecto al tiempo o como la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑡. No podemos derivar fácilmente 𝑣 con respecto a 𝑡 a menos que demos un paso más. Vamos a usar derivación implícita. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑡. A la izquierda, obtenemos d𝑣 entre d𝑡. Y a la derecha obtenemos d entre d𝑡 de cuatro partido por tres más 𝑠.

Para hacer esto más fácil, vamos a cambiar esto por cuatro por tres más 𝑠 elevado a menos uno. Y luego la derivada de esta expresión con respecto a 𝑡 es igual a su derivada con respecto a 𝑠 por d𝑠 entre d𝑡. Luego usamos la regla de la potencia en el desarrollo de la regla de la cadena. Y vemos que la derivada de cuatro por tres más 𝑠 elevado a menos uno con respecto a 𝑠 es menos cuatro por tres más 𝑠 elevado a menos dos. De este modo vemos que d𝑣 entre d𝑡 es igual a menos cuatro por tres más 𝑠 elevado a menos dos por d𝑠 sobre d𝑡. Podemos escribir tres más 𝑠 elevado a menos dos como uno partido por tres más 𝑠 al cuadrado. Pero también sabemos que d𝑠 entre d𝑡 es 𝑣. Así que podemos ver que tenemos una expresión para la aceleración en términos de 𝑣 y 𝑠.

Tenemos que calcular esto cuando 𝑠 es igual a tres. Vamos a empezar calculando 𝑣 cuando 𝑠 es igual a tres. Cuando 𝑠 es igual a tres, 𝑣 es igual a cuatro partido por tres más tres, que se simplifica a dos tercios. Y cuando 𝑠 es igual a tres, la aceleración es menos cuatro partido por tres más tres, todo al cuadrado, por dos tercios, que es igual a menos dos sobre 27 metros por segundo al cuadrado.

Este ejemplo muestra un resultado poco utilizado, pero muy útil, de todas formas. Cuando se nos da una función para 𝑣 en términos de 𝑠 podemos decir que la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑡 es igual a la derivada de 𝑣 con respecto a 𝑠 por d𝑠 entre d𝑡.

En este vídeo hemos visto que podemos usar cálculo para derivar ecuaciones que pueden utilizarse para describir el movimiento de un objeto en términos de sus tres variables cinemáticas 𝑠, 𝑣 y 𝑡. Hemos aprendido que, teniendo la ecuación para el desplazamiento 𝑠 en términos de 𝑡, su velocidad es d𝑠 entre d𝑡, su aceleración es d𝑣 entre d𝑡, y también puede expresarse como la segunda derivada de 𝑠 con respecto a 𝑡. También hemos visto que podemos hallar una expresión para la aceleración dada una función 𝑣 en términos de 𝑠 usando la regla de la cadena, de modo que d𝑣 entre d𝑡 es igual a d𝑣 entre d𝑠 por d𝑠 entre d𝑡.