Vídeo: La regla de la cadena

En este video, vamos a aprender cómo hallar las derivadas de funciones compuestas usando la regla de la cadena.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo derivar funciones compuestas aplicando la regla de la cadena. Vamos a aplicar esto a funciones simples inicialmente. Y después, vamos a considerar funciones más complejas como las funciones trigonométricas y las recíprocas.

Primero recordemos qué son las funciones compuestas. Son esencialmente funciones de una función. Supongamos que tenemos dos funciones, 𝑓 de 𝑥 igual a dos 𝑥 más cinco y 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. Las funciones compuestas 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 son las que obtenemos si componemos estas dos funciones en cualquier orden. Aplicamos una y luego aplicamos la otra.

𝑓 de 𝑔 de 𝑥 significa que hemos aplicado 𝑔 primero, dando 𝑥 al cubo. Y después, tomamos esto como el argumento de nuestra función 𝑓, lo que nos da dos 𝑥 al cubo más cinco. Sin embargo, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 es la función compuesta que obtenemos si aplicamos 𝑓 primero, para obtener dos 𝑥 más cinco, y después tomamos esto como nuestro argumento para la función 𝑔, lo que nos da dos 𝑥 más cinco todo al cubo. Y, si desarrollamos los paréntesis y simplificamos, esto nos da ocho 𝑥 al cubo más 60𝑥 al cuadrado más 150𝑥 más 125.

Sabemos cómo componer funciones. ¿Pero qué hay de hallar sus derivadas? Bueno, en este caso, si nos piden que hallemos las derivadas de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 o de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, no sería tan malo. Y ello porque primero podríamos componer las funciones, manipularlas algebraicamente y luego derivar el polinomio resultante.

Pero supongamos, sin embargo, que la potencia de 𝑥 en la función 𝑔 de 𝑥 hubiera sido 10 o 20 en lugar de solo tres, sería extremadamente lento y tedioso desarrollar todos estos paréntesis para obtener el polinomio. Por lo tanto, sería mucho más útil para nosotros disponer de una regla que nos permitiera derivar directamente una función compuesta. Y, de hecho, la hay. Se llama regla de la cadena.

Ilustraremos la regla de la cadena hallando primero la derivada de la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Hemos definido las funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥 de forma que son igual a dos 𝑥 más cinco y 𝑥 al cubo, respectivamente. Y vimos que la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 era dos 𝑥 más cinco todo al cubo, que es igual a ocho 𝑥 al cubo más 60𝑥 al cuadrado más 150𝑥 más 125. Tratemos ahora de hallar la derivada de esta función.

Para hacerlo, debemos recordar la regla de la potencia, que nos dice que la derivada con respecto a 𝑥 de 𝑎, que es una constante, multiplicada por 𝑥 elevado a 𝑛 es 𝑎𝑛𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Y recordamos también que para hallar la derivada de una suma o diferencia, podemos simplemente derivar cada término por separado y luego sumarlos.

Derivar 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 nos da la derivada 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 prima, la cual es 24𝑥 al cuadrado más 120𝑥 más 150. Recuerda que la derivada de una constante es cero. Así que cuando derivamos más 125 es solo cero. Veamos si podemos manipular esta derivada para identificar alguna relación con las derivadas de 𝑓 y 𝑔 por separado.

Primero hallamos un factor común de seis para obtener seis multiplicado por cuatro 𝑥 al cuadrado más 20𝑥 más 25. Y aquí nos podemos dar cuenta de que cuatro 𝑥 al cuadrado más 20𝑥 más 25 es, de hecho, un cuadrado perfecto. Es igual a dos 𝑥 más cinco todo al cuadrado. Y dos 𝑥 más cinco es nuestra expresión para 𝑓 de 𝑥, esto es, pues, igual a 𝑓 de 𝑥 al cuadrado. Pero ¿qué sucede con el seis? Bien, seis es igual a dos por tres. Así que podemos escribir esta derivada como dos por tres por 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado. Pero ¿cómo nos ayuda esto?

Bien, para ver esto, necesitamos hallar las derivadas de 𝑓 y 𝑔. Aplicando la regla de la potencia, vemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a dos y 𝑔 prima de 𝑥 es igual a tres 𝑥 al cuadrado. Por tanto, dos en la derivada de la función compuesta es lo mismo que 𝑓 prima de 𝑥. Tres por 𝑓 de 𝑥 todo al cuadrado es de hecho la derivada de 𝑔 evaluada en 𝑓 de 𝑥. 𝑔 prima de 𝑥 es tres 𝑥 al cuadrado. Así que, 𝑔 prima de 𝑓 de 𝑥 es tres 𝑓 de 𝑥 al cuadrado.

¿Qué hemos hallado? En este ejemplo, hemos hallado que la derivada de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 es igual a la derivada de 𝑓 — o sea, la derivada de la función interna — multiplicada por la derivada de 𝑔 — es decir, la derivada de la función externa — con la función interna aún dentro. Esto es una ilustración de la regla de la cadena. No es una demostración, pero una demostración está más allá del alcance de este video.

Por tanto, la regla de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 prima de 𝑥 multiplicado por 𝑔 prima de 𝑓 de 𝑥. Podemos también expresar la regla de la cadena usando la notación de Leibniz. Si 𝑦 es igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, e igualamos 𝑢 a 𝑓 de 𝑥, de forma que 𝑦 se convierte en 𝑔 de 𝑢, una función de 𝑢, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥.

Esto puede parecer un poco complicado, pero en realidad es un proceso sencillo, como vamos a ver en nuestros ejemplos. La notación de Leibniz es muy útil porque hace que la regla de la cadena parezca un poco más intuitiva. Recuerda que las derivadas tienen todo que ver con pequeños cambios en 𝑥. Hagamos que Δ𝑢 represente un pequeño cambio en 𝑢 como resultado de un cambio en 𝑥.

Para hallar la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥, consideremos el cociente de las diferencias, Δ𝑦 sobre Δ𝑥. Vemos que multiplicando tanto el numerador como el denominador por Δ𝑢, que debe ser diferente a cero, y reorganizando después los términos, obtenemos Δ𝑦 sobre Δ𝑢 multiplicado por Δ𝑢 sobre Δ𝑥. Como Δ𝑥 tiende a cero, también lo harán Δ𝑢 y Δ𝑦, de modo que d𝑦 sobre d𝑥 será igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Esto es la regla de la cadena. La regla de la cadena nos permite derivar una amplia clase de funciones complejas. Veamos algunos ejemplos.

Halla la derivada de la función 𝑦 igual a cinco 𝑥 al cuadrado menos seis elevado a seis.

Vemos que este es un ejemplo de una función compuesta. Siendo la primera función cinco 𝑥 al cuadrado menos seis y la segunda 𝑥 elevado a seis. Tomamos cinco 𝑥 al cuadrado menos seis como la entrada de nuestra segunda función, obteniendo cinco 𝑥 al cuadrado menos seis todo elevado a seis. Como esta es una función compuesta, podemos aplicar la regla de la cadena.

La regla de la cadena nos dice que, si 𝑦 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función de 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Por tanto, necesitamos decidir cómo vamos a definir la función 𝑢. Bien, tomamos 𝑢 como nuestra primera función. Es la parte dentro del paréntesis, 𝑢 es igual a cinco 𝑥 al cuadrado menos seis. 𝑦, por lo tanto, se convierte en una función de 𝑢. 𝑦 es igual a 𝑢 a la sexta, y 𝑢 es una función de 𝑥.

Ahora necesitamos hallar tanto d𝑦 sobre d𝑢 como d𝑢 sobre d𝑥, lo cual podemos hacer aplicando la regla de la potencia. En el caso de d𝑦 sobre d𝑢, necesitamos considerar todas las 𝑥 en la regla de la potencia como que están en 𝑢. Obtenemos pues que d𝑦 sobre d𝑢 es igual a seis 𝑢 elevado a cinco, y que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a 10𝑥. Escribimos la regla de la cadena y hacemos las sustituciones relevantes, y hallamos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a seis 𝑢 elevado a cinco multiplicado por 10𝑥.

Aquí tenemos un punto importante. La derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 debe estar en términos de 𝑥, y, en este momento, todavía tenemos la variable 𝑢. Así que debemos asegurarnos de revertir nuestra sustitución. 𝑢 es igual a cinco 𝑥 al cuadrado menos seis, y tenemos seis multiplicado por cinco 𝑥 al cuadrado menos seis elevado a cinco multiplicado por 10𝑥. Simplificamos, y obtenemos que la primera derivada de la función 𝑦 igual a cinco 𝑥 al cuadrado menos seis elevado a seis es 60𝑥 multiplicado por cinco 𝑥 al cuadrado menos seis elevado a cinco.

Esto ilustra la utilidad de la regla de la cadena, la cual proporciona un método sencillo para hallar la derivada de un paréntesis elevado a una potencia. Si expresamos la derivada como 10𝑥 multiplicado por seis multiplicado por cinco 𝑥 al cuadrado menos seis elevado a cinco, vemos que lo que tenemos es la derivada del paréntesis, o la derivada de lo que está dentro de los paréntesis, eso es 10𝑥, multiplicado por el exponente original, seis, multiplicado por ese paréntesis elevado al exponente original menos uno.

Esto nos lleva a la extensión por la regla de la cadena de la regla de la potencia. La cual nos dice que si tenemos una función 𝑓 de 𝑥 elevada a una potencia, la derivada es igual a 𝑓 prima de 𝑥 — es decir, la derivada de lo que está dentro de los paréntesis — multiplicado por 𝑛 y luego multiplicado por 𝑓 de 𝑥 con el exponente reducido en uno, 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Esto es particularmente útil si tenemos potencias relativamente altas. Veamos cómo podemos aplicar esta regla a otro ejemplo.

Determina la derivada de 𝑦 igual a menos dos 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 más cuatro elevado a 55.

Aquí es donde vemos la importancia de la regla de la cadena. Cuando tenemos un exponente tan alto como 55, ciertamente no queremos desarrollar todos los paréntesis. En vez de eso, vamos a utilizar la extensión por la regla de la cadena de la regla de la potencia, que nos dice que la derivada de 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 es 𝑓 prima de 𝑥 multiplicado por 𝑛 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno.

𝑓 de 𝑥 es la función dentro del paréntesis, menos dos 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 más cuatro. Podemos aplicar la regla de la potencia para derivar 𝑓 de 𝑥, obteniendo menos cuatro 𝑥 menos tres. Y sabemos qué es d𝑦 sobre d𝑥. Es igual a 𝑓 prima de 𝑥, que es menos cuatro 𝑥 menos tres, multiplicado por 𝑛, que es 55, multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno, que es menos dos 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 más cuatro elevado a 54.

No es necesario desarrollar los paréntesis. Hemos hallado que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 55 multiplicado por menos cuatro 𝑥 menos tres multiplicado por menos dos 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 más cuatro elevado a 54. Y lo hemos hecho aplicando la extensión por la regla de la cadena de la regla de la potencia.

También podemos aplicar la regla de la cadena más de una vez dentro del mismo problema. Veamos un ejemplo.

Halla la derivada de la función 𝑦 igual a raíz cuadrada de ocho 𝑥 menos seno de nueve 𝑥 elevado a ocho.

Aquí tenemos 𝑦 igual a la raíz cuadrada de otra función, por lo que tenemos una función compuesta. Por lo tanto, vamos a aplicar la regla de la cadena. Vamos a definir 𝑢 como la función dentro de la raíz cuadrada, 𝑢 es igual a ocho 𝑥 menos sen elevado a ocho de nueve 𝑥. 𝑦 es igual a la raíz cuadrada de 𝑢, que podemos expresar usando notación de índice como 𝑢 elevado a un medio.

La regla de la cadena nos dice que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 por d𝑢 multiplicado por d𝑢 por d𝑥. Así que, necesitamos hallar cada una de estas derivadas. d𝑦 sobre d𝑢 es relativamente sencillo. Usando la regla de la potencia, obtenemos un medio 𝑢 elevado a menos un medio. Para d𝑢 sobre d𝑥, la derivada de ocho 𝑥 es simplemente ocho. Pero ¿qué pasa con la derivada de sen de nueve 𝑥 elevado a ocho?

De hecho, necesitamos aplicar la regla de la cadena nuevamente. Definimos 𝑔 de forma que sea igual a esta función. Y podemos cambiar un poco la notación para escribirla como sen de nueve 𝑥 elevado a ocho. Es una notación equivalente, pero un poco más útil para hallar la derivada.

Recordamos la extensión por la regla de la cadena de la regla de potencia, la cual dice que si tenemos una función 𝑓 de 𝑥 elevada a una potencia 𝑛, entonces su derivada es 𝑓 prima de 𝑥 multiplicada por 𝑛 multiplicada por 𝑓 de 𝑥 a la potencia de 𝑛 menos uno. Aquí tenemos una función, sen de nueve 𝑥 elevado a ocho, por lo que podemos aplicar la extensión por la regla de la cadena de la regla de la potencia. Necesitamos recordar una regla más, que es que la derivada con respecto a 𝑥 de sen 𝑎𝑥 es 𝑎 cos 𝑎𝑥.

Comenzamos. La derivada de la parte dentro del paréntesis es nueve cos nueve 𝑥. Después, multiplicamos por el exponente ocho. Y luego, tenemos la función dentro de los paréntesis escrita nuevamente, pero con el exponente reducido en uno. Simplificando, obtenemos 72 cos nueve 𝑥 sen elevado a siete de nueve 𝑥. Así que, habiendo hallado d𝑦 sobre d𝑢 y d𝑢 sobre d𝑥, podemos sustituirlo en la regla de la cadena.

Tenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a un medio 𝑢 elevado a menos un medio multiplicado por ocho menos 72 cos nueve 𝑥 sen elevado a siete de nueve 𝑥. Y ahora debemos expresar 𝑢 en términos de 𝑥. Y sabemos que 𝑢 es igual a ocho 𝑥 menos sen elevado a ocho de nueve 𝑥. También vamos a simplificar las fracciones. Dividiendo por el denominador dos, nos quedan coeficientes cuatro y 36 en el numerador.

Y recordamos también que 𝑢 elevado a menos un medio es igual a uno sobre la raíz de 𝑢. Así que nuestra derivada d𝑦 sobre d𝑥 se simplifica a cuatro menos 36 cos de nueve 𝑥 sen elevado a siete de nueve 𝑥 todo sobre la raíz cuadrada de ocho 𝑥 menos sen elevado a ocho de nueve 𝑥.

Hemos visto en esta cuestión que podemos aplicar la regla de la cadena más de una vez dentro del mismo problema. De hecho, podemos aplicarla tantas veces como sea necesario.

Repasemos algunos de los puntos clave que hemos visto en este video. La regla de la cadena es útil para derivar funciones compuestas, es decir, funciones de otras funciones. Si 𝑦 es igual a la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑓 prima de 𝑥 — es decir, la derivada de la función interna — multiplicada por 𝑔 prima de 𝑓 de 𝑥. Esa es la derivada de la función externa con la función interna aún dentro.

También hemos visto que si hacemos la sustitución 𝑢 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 se convierte en una función de 𝑢. Y la regla de la cadena se puede expresar como d𝑦 sobre d𝑥 igual a d𝑦 sobre d𝑢 multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥. Hallamos la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑢 y multiplicamos por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥. Debemos asegurarnos de deshacer nuestra sustitución al final, de modo que d𝑦 sobre d𝑥 esté solo en términos de 𝑥.

También hemos visto la extensión por la regla de la cadena de la regla de potencia, que nos dice que la derivada de una función 𝑓 de 𝑥 elevada a 𝑛 es 𝑓 prima de 𝑥 multiplicado por 𝑛 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Finalmente, vimos que podemos aplicar la regla de la cadena tantas veces como queramos dentro de un problema particular. La regla de la cadena es una herramienta realmente útil. Y nos permite derivar fácilmente una clase realmente amplia de funciones.

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