Vídeo: Calcular límites usando técnicas algebraicas

Calcular límites usando técnicas algebraicas

17:47

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Calcular límites usando técnicas algebraicas

En este video, vamos a aprender como usar técnicas tales como la descomposición en factores para calcular el límite de una función. Primero vamos a repasar la definición de límite, que, para una función 𝑓 de 𝑥 definida en valores próximos a 𝑥 igual a 𝑎, existe si, cuando 𝑥 tiende a 𝑎, 𝑓 de 𝑥 tiende a un valor 𝐿. Llamamos a este valor 𝐿, el límite. Y aquí, hemos escrito la notación estándar para el límite.

Si 𝑓 de 𝑥 es una función racional con 𝑎 en su dominio, ocurre que el límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, es igual a 𝑓 de 𝑎. Como estamos sustituyendo el valor de 𝑎 en nuestra función, este procedimiento a menudo se llama método de sustitución directa. Algo a lo que debemos prestar atención aquí, es que, aún si 𝑎 no está en el dominio de nuestra función 𝑓, a veces es posible hallar el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎. Esto se debe a que el límite está determinado por los valores de 𝑥 próximos a 𝑎 pero no iguales a 𝑎. Y en un momento veremos cómo esto entra en juego.

En este video, vamos a enfocarnos en funciones que toman la forma de 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥 donde 𝑃 y 𝑄 son funciones polinómicas. En los casos que vamos a analizar, cuando 𝑥 es igual a 𝑎, 𝑃 de 𝑎 sobre 𝑄 de 𝑎 se transforma en la forma indeterminada cero sobre cero. Es decir, si tratamos de hallar el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de nuestra función 𝑓 de 𝑥 sustituyendo directamente 𝑥 igual a 𝑎 en la función, nuestra sustitución falla, y tenemos que aplicar otro método.

Decimos, pues, que, en nuestro cociente, tanto 𝑃 de 𝑎 como 𝑄 de 𝑎 son iguales a cero. Pero, si recordamos el teorema del factor, podemos deducir que 𝑃 de 𝑥 y 𝑄 de 𝑥 tendrán ambos un factor común de 𝑥 menos 𝑎. Dada esta información, podemos escribir la función 𝑃 mayúscula de 𝑥 como un producto de 𝑥 menos 𝑎 por alguna otra función, a la que llamaremos 𝑝 minúscula de 𝑥. Y, por supuesto, podemos aplicar la misma lógica a 𝑄 de 𝑥.

Esto nos permite escribir nuestro cociente original como 𝑥 menos 𝑎 por 𝑝 minúscula de 𝑥 dividido por 𝑥 menos 𝑎 por 𝑞 minúscula de 𝑥. En esta forma, vemos que el factor común 𝑥 menos 𝑎 puede cancelarse en las partes superior e inferior de nuestro cociente. Y nos quedamos con 𝑝 minúscula de 𝑥 sobre 𝑞 minúscula de 𝑥. Definamos este nuevo cociente como 𝑔 de 𝑥.

Pero ¿qué falta hace un nuevo nombre cuando 𝑓 de 𝑥 es claramente igual a 𝑔 de 𝑥? La respuesta es que al cancelar el factor común 𝑥 menos 𝑎, hemos cambiado el dominio de nuestra función 𝑓 de 𝑥. Por lo tanto, ocurre que 𝑓 de 𝑥 es casi lo mismo que 𝑔 de 𝑥, pero no es igual en el punto donde 𝑥 es igual a 𝑎. Lo interesante aquí es que 𝑔 de 𝑥 está definida en 𝑥 igual a 𝑎, mientras que 𝑓 de 𝑥 no lo está.

Esto nos permite pasar a la siguiente regla general. El límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, es igual al límite cuando 𝑥 tiende a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥 si 𝑓 y 𝑔 son iguales en todos los puntos de un intervalo, excepto en el punto en el que 𝑥 es igual a 𝑎. Nuevamente, es bueno entender que esto es así porque el límite está influenciado por valores de 𝑥 que están cerca de 𝑎 pero que no son iguales a 𝑎. Finalmente, dado que 𝑔 es una función racional con 𝑎 en su dominio, podemos simplemente hallar el límite por sustitución directa, que se 𝑔 calcula simplimente haciendo 𝑥 igual a 𝑎. Pero esto es mucha información, mejor veamos un ejemplo para ilustrar este procedimiento.

Halla el límite cuando 𝑥 tiende a menos ocho de 𝑥 al cuadrado más 13𝑥 más 40 dividido por 𝑥 al cubo más nueve 𝑥 al cuadrado menos 12𝑥 menos 160.

Aquí, vemos que estamos tratando de hallar el límite de una función racional, que llamaremos 𝑓 de 𝑥. Para este tipo de función, si menos ocho está en el dominio de 𝑓, el límite, cuando 𝑥 se acerca a menos ocho, será simplemente el valor de 𝑓 en menos ocho. Lo primero que podemos hacer es intentar la sustitución directa de menos ocho en nuestra función.

Hemos realizado la sustitución. Y continuando con nuestros cálculos, hallamos que nuestra respuesta resulta en cero sobre cero. Y esta es una forma indeterminada, lo que significa que no podemos evaluar el límite usando sustitución directa. Podemos concluir que menos ocho no está en el dominio de nuestra función 𝑓. Así que necesitaremos usar un enfoque diferente. Y podemos hacer esto haciendo uso de que nuestra función 𝑓 de 𝑥 es de la forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, en donde 𝑃 y 𝑄 son funciones polinómicas.

Mirando nuestra sustitución directa fallida, podemos ver que 𝑃 de menos ocho y 𝑄 de menos ocho son iguales a cero. Partiendo de esta información, podemos usar el teorema del factor para concluir que 𝑥 más ocho es un factor de 𝑃 de 𝑥 y 𝑄 de 𝑥. Como no tuvimos éxito con nuestra sustitución directa, intentemos ahora factorizar las partes superior e inferior de nuestro cociente, dado que ambos tienen un factor común de 𝑥 más ocho.

En el numerador, factorizar una ecuación cuadrática es una tarea que ya nos resulta familiar. Así que, con un poco de inspección, vemos que 𝑥 al cuadrado más 13𝑥 más 40 factoriza a 𝑥 más ocho y 𝑥 más cinco. Pero en el denominador, normalmente, factorizar un polinomio cúbico es una tarea mucho más difícil. Sin embargo, dado que sabemos que uno de los factores es 𝑥 más ocho, podemos usar técnicas como la división polinómica o la comparación de coeficientes para hallar el otro factor.

En este video, vamos a comparar coeficientes. Y comenzamos reconociendo que nuestro otro factor tendrá la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐. Para hallar 𝑎, notamos que tenemos 𝑥 multiplicado por 𝑎𝑥 al cuadrado. Y esto es igual a 𝑥 al cubo. Por lo tanto, deducimos que 𝑎 es igual a uno. Y después vemos que nuestro segundo factor comienza con el término 𝑥 cuadrado.

A continuación, para hallar 𝑐, tenemos que ocho multiplicado por 𝑐 es igual a menos 160. Y calculamos que 𝑐 es igual a menos 20. Finalmente, para hallar 𝑏, nos fijamos en el término de nueve 𝑥 al cuadrado. Siguiendo los coeficientes anteriores que tenemos, notamos que primero tenemos un ocho multiplicado por 𝑥 al cuadrado. Esto nos da ocho 𝑥 al cuadrado. También tenemos 𝑥 multiplicado por 𝑏𝑥 y esto nos da 𝑏𝑥 al cuadrado. La suma de estos dos términos es nueve 𝑥 al cuadrado. Y deducimos que 𝑏 es igual a uno.

Ahora el denominador de nuestro cociente está completamente factorizado. Y nuestro factor que falta es 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos 20. Siguiendo la factorización, podemos cancelar el factor común de 𝑥 más ocho de las partes superior e inferior de nuestro cociente. Y nos quedamos con 𝑥 más cinco sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos 20.

Aquí, debemos recordar que cancelando el factor común de 𝑥 más ocho, hemos cambiado el dominio de nuestra función original 𝑓 de 𝑥. Podemos decir que 𝑓 de 𝑥 es igual al lado derecho de nuestra ecuación, al que llamaremos 𝑔 de 𝑥, en todos los valores donde 𝑥 no es igual a menos ocho. Concluimos que el límite, cuando 𝑥 tiende a menos ocho de 𝑓 de 𝑥, es igual al límite cuando 𝑥 tiende a menos 𝑥 de 𝑔 de 𝑥. Fundamentalmente, esto se debe a que el límite se refiere a valores donde 𝑥 está cerca de menos ocho, pero no es igual a menos ocho.

Un punto importante es que 𝑔 de 𝑥 está definida en 𝑥 igual a menos ocho. Así que podemos hallar el límite por sustitución directa. Hemos realizado la sustitución en 𝑔 de menos ocho. Y si continuamos con nuestros cálculos, vemos que obtenemos menos tres sobre 36. Esta fracción puede ser simplificada como menos uno sobre 12. Con esto hemos respondido la pregunta. Y hemos hallado nuestro límite.

Estos ejemplos demuestran que cuando nuestras funciones 𝑃 de 𝑥 y 𝑄 de 𝑥 toman el valor cero, podemos usar el teorema del factor para ayudarnos con las factorizaciones complicadas como las de polinomios cúbicos. Vamos a ver ahora otra técnica que puede ayudarnos a evitar factorizaciones complicadas enfocándonos en expresiones de la forma 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛, o sea, en la diferencia de dos potencias de 𝑛.

Como sustituyendo 𝑥 por 𝑎 en esta ecuación nos da cero, nuestro amigo, el teorema del factor, nuevamente, nos dice que las expresiones de esta forma toman el valor cero. Y, por lo tanto, todas ellas tendrán un factor 𝑥 menos 𝑎. Usando esta regla general, vemos que nuestro segundo factor tomará la forma de un polinomio con 𝑛 términos teniendo potencias decrecientes de 𝑥 y potencias crecientes de 𝑎 hasta el exponente de 𝑛 menos uno. A continuación, se muestran algunos ejemplos de esto.

Esta regla general puede ser utilizada para derivar una formula muy útil de la siguiente manera. Considera el caso de una diferencia de dos potencias con expoente 𝑛, 𝑥 elevado a 𝑛 menos 𝑎 elevado a 𝑛, dividida por la diferencia de dos potencias con exponente 𝑚, 𝑥 elevado a 𝑚 menos 𝑎 elevado a 𝑚. Podemos usar esta regla general para expresar las mitades superior e inferior de nuestro cociente como un producto de dos factores. En ambos casos, uno de estos factores es 𝑥 menos 𝑎.

Podemos cancelar este factor común de 𝑥 menos 𝑎 en las mitades superior e inferior de nuestro cociente. Al cancelar el factor común, debemos recordar que los lados derecho e izquierdo de nuestras ecuaciones son iguales siempre y cuando el valor de 𝑥 no sea igual a 𝑎. Ya que el límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎, se refiere a los valores de 𝑥 cercanos a 𝑎 pero no iguales a 𝑎, podemos decir que el límite del lado izquierdo es igual al límite del lado derecho.

Considerando el numerador de nuestro cociente por un momento, usamos el siguiente truco de sustitución directa, donde 𝑥 toma el valor de 𝑎. Con esta sustituciónobtenemos una suma de 𝑛 términos, y estos términos son todos iguales a 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno. Y esto es simplemente igual a 𝑛 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos uno. Aunque estamos usando el numerador como ejemplo, la misma lógica se aplica al denominador de nuestro cociente y nos da 𝑚 por 𝑎 elevado a 𝑚 menos uno.

Ahora efectuamos algunas simplificaciones de las potencias de 𝑎. Y hallamos que nuestro límite, cuando 𝑥 tiende a 𝑎, es igual a 𝑛 sobre 𝑚 multiplicado por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚. Este es un resultado realmente útil para las funciones de esta forma, ya que particularmente cuando las potencias 𝑛 o 𝑚 son grandes, podemos evitar largas factorizaciones al hallar el límite. Veamos ahora un ejemplo de cómo se puede usar esta técnica.

Halla el límite cuando 𝑥 tiende a dos de ocho 𝑥 al cubo menos 64 dividido por 𝑥 al cuadrado menos cuatro.

Aquí, tenemos una función, a la que llamaremos 𝑓 de 𝑥. Sabiendo que es una función racional, Lo primero que podemos intentar es una sustitución directa de 𝑥 igual a dos en nuestra función. Aquí, hemos realizado la sustitución. Y cuando evaluamos nuestra respuesta, obtenemos la forma indeterminada de cero sobre cero. Así que, en lugar de eso, vamos a optar por un método diferente basado en la factorización.

Para usar este método, observamos que nuestra función 𝑓 de 𝑥 está en la forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, donde tanto 𝑃 como 𝑄 son funciones polinómicas. Analizando el numerador de nuestro cociente, notamos que ambos términos tienen un factor de ocho. Por tanto, podemos factorizar nuestro numerador como ocho por 𝑥 al cubo menos ocho. Y dado que este ocho es una constante, podemos llevarlo fuera del límite de la siguiente manera. Si en lugar de esto hallamos el límite cuando 𝑥 tiende a dos de 𝑥 al cubo menos ocho dividido por 𝑥 al cuadrado menos cuatro y multiplicamos su totalidad por nuestra constante ocho, obtendremos la misma respuesta.

Para continuar, notamos que el ocho en el numerador y el cuatro en el denominador pueden ser expresados como potencias de dos, que son dos al cubo y dos al cuadrado, respectivamente. Una vez hecho esto, vemos que nuestro límite toma la siguiente forma. La mitad superior de nuestro cociente es igual a la diferencia de dos términos elevados a 𝑛, con 𝑛 igual a tres, y la mitad inferior de nuestro cociente siendo la diferencia de dos términos elevados a 𝑚, siendo 𝑚 igual a dos.

Dada esta forma, podemos usar la siguiente regla general, la cual nos dice que el límite será igual a 𝑛 sobre 𝑚 por 𝑎 elevado a 𝑛 menos 𝑚. En este punto, podemos observar que tanto la mitad superior como la inferior de nuestro cociente tienen un factor común de 𝑥 menos dos. Podríamos cancelar este factor común y proceder refactorizando. Sin embargo, esta regla general nos permite pasar directamente a nuestro límite.

En casos donde 𝑛 o 𝑚 son grandes, este método nos ayuda a evitar una factorización complicada o que podría requerir mucho tiempo. Al sustituir los valores en nuestra regla general, donde 𝑎 es dos, 𝑛 es tres y 𝑚 también es dos, nuestro límite es tres sobre dos multiplicado por dos elevado a tres menos dos. Tampoco debemos olvidar multiplicar todo esto por el ocho que sacamos de nuestro límite.

Tres menos dos es uno. Así que podemos simplificar cancelando el dos y el uno sobre dos. Hallamos que nuestra respuesta es igual a ocho por tres, que es 24. Y hemos hallado que el límite, cuando 𝑥 tiende a dos de nuestra función 𝑓 de 𝑥, es igual a 24. Y hemos respondido nuestra pregunta.

La regla general que hemos usado en este video nos da un atajo que puede ser usado cuando nuestra función 𝑓 de 𝑥 puede ser expresada en esta forma. Aunque las potencias en nuestra pregunta son relativamente bajas, debemos insistir en que, cuando 𝑛 y 𝑚 son suficientemente grandes, te podrás ahorrar mucho tiempo. Cabe señalar que algunas de las técnicas que hemos mostrado en este video también se pueden usar para límites de funciones que incluyen radicales. Específicamente, cuando 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, donde 𝑃 o 𝑄 incluyen un término radical, como la raíz cuadrada de 𝑥.

Aunque no se clasifican como funciones racionales, algunas de nuestras herramientas seguirán funcionando. Consideremos ahora como ejemplo el límite cuando 𝑥 tiende a ocho de la raíz cúbica de 𝑥 menos dos dividido por 𝑥 menos ocho. Si intentásemos un enfoque de sustitución directa, nuevamente obtendríamos cero sobre cero.

Sin embargo, podemos intentar factorizar, y si tomamos específicamente como factor la raíz cúbica de 𝑥 menos dos de nuestro denominador, obtenemos algo familiar. Podemos cancelar el factor común en las mitades superior e inferior del cociente y después sustituir directamente 𝑥 es igual a ocho en la expresión restante para finalmente hallar una respuesta de uno sobre 12. Aunque aquí hemos mostrado un ejemplo donde nuestras técnicas funcionan, en algunos casos necesitaremos un método diferente basado en la multiplicación por un conjugado. Vamos a ilustrar esta técnica usando un ejemplo.

Determina el límite cuando 𝑥 tiende a ocho de 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 dividido por la raíz cuadrada de 𝑥 más uno menos tres.

Aquí, vemos que estamos tomando el límite de una función 𝑓 de 𝑥, que toma la forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Cuando intentamos un enfoque de sustitución directa para resolver esto, nuestra expresión ae transforma en la forma indeterminada de cero sobre cero. Así que, de nuevo, debemos usar un enfoque diferente. Lo primero que podemos notar es que nuestro numerador se puede factorizar como 𝑥 por 𝑥 menos ocho. Basándonos en nuestro conocimiento del teorema del factor, debíamos haber esperado este factor de 𝑥 menos ocho dado que la función 𝑃 evaluada donde 𝑥 es igual a ocho nos dio un cero.

Desafortunadamente, el denominador de nuestro cociente es menos fácil de factorizar. Pero podemos entender cómo proceder si lo consideramos como un binomio de la forma 𝑎 menos 𝑏, donde 𝑎 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 menos uno y 𝑏 es igual a tres. El conjugado de cualquier binomio se encuentra cambiando el signo entre los dos términos. El conjugado de nuestro binomio sería entonces 𝑎 más 𝑏. Y en este caso, esa es la raíz cuadrada de 𝑥 más uno más tres.

Multiplicar un binomio por su conjugado es un procedimiento muy útil porque nos deja con la diferencia de dos cuadrados. Dado que nuestro denominador contiene una raíz cuadrada, podemos utilizar esta relación para simplificar nuestra función. Ahora, multiplicar por el conjugado sobre sí mismo es lo mismo que multiplicar por uno. No obstante, la mitad inferior de nuestro cociente se simplifica a una diferencia de dos cuadrados.

Y con algo de trabajo, vemos que nuestro denominador se convierte en 𝑥 menos ocho. Después de esto, podemos cancelar el factor común de 𝑥 menos ocho en la mitad superior y en la mitad inferior del cociente. Y en el lado derecho de nuestra ecuación, nos queda 𝑥 multiplicado por la raíz cuadrada de 𝑥 más uno más tres.

Ahora, dado que nuestra función original 𝑓 de 𝑥 es igual al lado derecho de nuestra ecuación en todos los puntos donde 𝑥 no es igual a ocho, podemos decir que el límite cuando 𝑥 tiende a ocho de nuestra función original 𝑓 de 𝑥, es igual al límite cuando 𝑥 tiende a ocho de nuestra nueva función, que llamaremos 𝑔 de 𝑥. Esto se debe a que el límite es influido por valores de 𝑥 que son arbitrariamente cercanos a ocho pero no iguales a ocho.

Ahora podemos probar a realizar una sustitución directa de 𝑥 es igual a ocho en nuestra función 𝑔 para encontrar el límite. Así que efectuamos la sustitución y luego evaluamos nuestra respuesta y ello nos deja con un valor de 48. Y este es, de hecho, el límite que queríamos hallar.

Ahora vale la pena recordar aquí que, originalmente, no pudimos hallar nuestro límite utilizando sustitución directa porque obtuvimos una forma indeterminada de cero sobre cero. En cambio, después de factorizar y usar nuestro método de multiplicar por el conjugado y¡ cancelar un factor común, fue posible usar la sustitución directa. Por lo tanto, deberíamos estar atentos a utilizar este método para preguntas de esta forma cuando observemos un radical en nuestro cociente.

Veamos ahora algunos puntos clave para resumir. Cuando queremos hallar el límite de una función racional 𝑓 de 𝑥, la cual es de la forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥, y tratamos de hallarlo por sustitución directa, puede resultar una forma indeterminada de cero sobre cero. En estos casos, si la función 𝑓 de 𝑥 es casi igual a 𝑔 de 𝑥. Es decir, si 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑔 de 𝑥 en todos los valores de 𝑥 aparte de donde 𝑥 es igual a 𝑎. Se deduce que el límite, cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, es igual al límite cuando 𝑥 se acerca a 𝑎 de 𝑔 de 𝑥.

Suponiendo que 𝑎 está en el dominio de nuestra nueva función 𝑔, es decir, que 𝑔 de 𝑥 está definida donde 𝑥 es igual a 𝑎, podemos hallar nuestro límite mediante sustitución directa, es decir, hallar el valor de 𝑔 en 𝑎. Podemos encontrar dicha función 𝑔 de 𝑥 a través de varios métodos, tales como factorización o multiplicación por el conjugado del numerador o del denominador.

Los métodos que hemos usado en este video implican cancelar un factor común de 𝑥 menos 𝑎 entre las partes superior e inferior de nuestro cociente. Como el límite está determinado por valores de 𝑎 cercanos pero no iguales a 𝑎, no importa que cancelando el factor común hayamos cambiado el dominio de nuestra función original 𝑓 de 𝑥. Finalmente, cuando nuestra función toma ciertas formas, hay algunos atajos muy útiles que podemos usar para hallar el límite directamente, evitando tediosas factorizaciones.

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