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Vídeo de la lección: El seno Matemáticas • Undécimo grado

En este video vamos a aprender cómo usar la inversa de la razón seno para calcular ángulos en un triángulo rectángulo. Esto requiere a veces el uso del teorema de Pitágoras para calcular primero la longitud de un lado cuando los lados conocidos no sirven para usar el seno.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver cómo calcular ángulos y lados en un triángulo rectángulo haciendo uso del seno.

Antes que nada, hagamos un pequeño repaso de qué es la razón seno. Aquí tenemos un diagrama de un triángulo rectángulo en el que hemos etiquetado uno de los ángulos agudos como 𝜃. Y luego, hemos etiquetado los tres lados en relación con este ángulo 𝜃. Así que, tenemos el cateto opuesto, el cateto contiguo o cateto adyacente y la hipotenusa. Y la razón seno, recuerda, es el cociente del cateto opuesto y la hipotenusa en este triángulo. O sea, su definición es que, para un ángulo especificado 𝜃, el sen de 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa.

Esta forma de la razón seno es muy útil si queremos calcular las longitudes del cateto opuesto o de la hipotenusa. Pero este video trata sobre el cálculo de ángulos. Y para hacer eso, necesitamos otra forma de expresar esta relación. Y para esto nos hace falta lo que llamamos la función inversa del seno o función seno inverso. La función inversa del seno básicamente funciona así. Dice, que, si conocemos el valor de esa razón, tenemos que trabajar hacia atrás para hallar el ángulo 𝜃 que da lugar a esa razón seno.

Por lo tanto, se representa usando esta notación aquí, seno y luego un superíndice menos uno, que significa seno inverso o inversa del seno. Y así, decimos que 𝜃 es igual al seno inverso del valor obtenido al dividir el cateto opuesto por la hipotenusa. Si miras en tu calculadora, a menudo verás que justo encima de este botón del seno, ahí está este seno inverso. Eso dependerá de tu calculadora. Pero generalmente está justo encima del botón, y debes presionar SHIFT para llegar a él. Ahora, vamos a ver cómo podemos usar esta función seno inverso para calcular el tamaño de un ángulo.

Aquí está nuestra primera cuestión.

Tenemos un triángulo rectángulo en el que se nos dan las longitudes de dos lados. Y nos piden que calculemos el ángulo 𝜃 al grado más cercano.

Así que, como con cualquier problema de trigonometría, nuestro primer paso es nombrar los tres lados del triángulo en relación con este ángulo 𝜃. Aquí tenemos el cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa. Mirando este triángulo, podemos ver que es necesitamos la razón del seno porque nos han dado las longitudes del cateto opuesto y de la hipotenusa. Esto es O y H, que es la parte SOH de SOHCAHTOA. En este video, todas las cuestiones requieren hacer uso del seno porque de eso se trata específicamente. Pero en general, si no supieras cuál de las razones usar, así es como lo harías: determinando qué razón usa los lados cuyas longitudes conoces.

Y, por supuesto, recordamos la definición de seno, que es que el seno del ángulo 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Y escribimos esta razón para este triángulo en particular. Tenemos ese sen de 𝜃, que es una incógnita, es igual a nueve sobre 16. Así que conocemos el valor de la razón. Y debemos operar hacia atrás para hallar el ángulo que tiene este valor de la razón seno. Y es precisamente para esto para lo que sirve la función seno inverso de la que hablábamos antes.

Y esto nos dice que este ángulo 𝜃 es igual a sen inverso de nueve sobre 16. Y necesitamos usar una calculadora para calcular esto. Y recuerda, es probable que necesites pulsar la tecla SHIFT para acceder a la función seno inverso. Pero eso dependerá de tu calculadora. Y cuando escribimos esto, obtenemos un valor de 34.22886 para 𝜃. La cuestión nos pide 𝜃 al grado más cercano. Por lo tanto, necesitamos redondear este valor. Y redondeando, hallamos que 𝜃 es igual a 34 grados.

En resumen, en esta cuestión, nos dimos cuenta de que necesitábamos usar la razón seno porque teníamos el cateto opuesto y la hipotenusa. Así que escribimos la razón seno con los datos que nos dan en la cuestión. Y seguidamente, hemos usado la función seno inverso para calcular este ángulo 𝜃.

En la segunda cuestión, nos dan un diagrama de un triángulo rectángulo. Y esta vez nos preguntan cuál es el valor de sen 𝜃. Por lo tanto, solo nos piden que escribamos esta razón, no que calculemos el valor del ángulo.

Como primer paso, etiquetamos los tres lados en relación con este ángulo 𝜃. Y como nos preguntan sobre la razón seno, también escribimos su fórmula. Para responder esta pregunta, lo que necesitamos hacer es simplemente escribir el valor de esta razón seno, el cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Pero mirando el diagrama, notamos que en realidad no nos han dado la longitud del opuesto. Nos han dado la longitud de los otros dos lados, el cateto contiguo y la hipotenusa.

Pero podemos calcular la longitud del opuesto. Es un triángulo rectángulo. Y nos han dado las longitudes de dos de los lados. Por lo tanto, necesitamos acordarnos de un teorema bien conocido. Se trata, por supuesto, del teorema de Pitágoras. Bien, el teorema de Pitágoras, a menudo lo verás escrito como 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado igual a 𝑐 al cuadrado. Pero lo que esto significa es que, si tenemos un triángulo rectángulo, si tomamos los dos lados más cortos, los elevamos al cuadrado y los sumamos, obtenemos el mismo resultado que si elevamos la hipotenusa al cuadrado. Por lo tanto, lo que esto nos permite hacer es calcular la longitud de un lado, si conocemos las longitudes de los otros dos lados.

Vamos, pues, a usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del cateto opuesto. Vamos a asignarle una letra diferente para evitar confusiones entre O y cero, mejor nos referiremos a este lado como 𝑦. Después, escribimos el teorema de Pitágoras para este triángulo. Tenemos que siete al cuadrado más 𝑦 al cuadrado es igual a 25 al cuadrado. Y lo que tenemos es una ecuación que podemos resolver para calcular el valor de 𝑦.

El primer paso es reemplazar siete al cuadrado y 25 al cuadrado con sus valores. Obtenemos que 49 más 𝑦 al cuadrado es igual a 625. El siguiente paso es restar 49 de ambos lados de esta ecuación. Y haciendo esto obtenemos que 𝑦 al cuadrado es igual a 576. A continuación, para calcular el valor de 𝑦, necesitamos hallar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Hallamos que 𝑦 es igual a la raíz cuadrada de 576. Y eso es igual a 24.

Como vemos, usar el teorema de Pitágoras nos ha permitido calcular la longitud de este tercer lado del triángulo, el cateto opuesto. Y con esto, tenemos toda la información necesaria para terminar la cuestión. La cuestión nos pide que escribamos el valor de la razón seno, que es cateto opuesto dividido por hipotenusa. Y mirando el triángulo, vemos que es 24 dividido por 25. Podríamos dejar la respuesta así en forma fraccionaria. O en este caso, podríamos expresarlo como un número decimal, que es 0.96. Y cualquiera de estos dos formatos es perfectamente aceptable aquí.

Ahora, solo un recordatorio: esta cuestión no nos pide que calculemos el valor del ángulo. Simplemente nos pide el valor de sen 𝜃. Por lo tanto, podemos terminar aquí. Si nos pidieran el valor de 𝜃, tendríamos que usar la función inversa del seno en este punto.

Nuestra siguiente cuestión es un problema.

Nos dice que una rampa mide cuatro metros de largo y 30 centímetros de alto. Para que la rampa sea segura para los usuarios de sillas de ruedas, el ángulo de inclinación debe ser menor de cinco grados. Y nos piden determinar si la rampa es segura.

Y no nos han dado un diagrama. Y cuando no nos dan un diagrama, siempre es recomendable comenzar dibujando nuestro diagrama. Vamos a hacer un diagrama con el piso, que es horizontal, la línea vertical desde el piso al punto adonde llega la rampa, , y luego la rampa en sí. Y, bien, aquí está nuestro diagrama de esa rampa.

Ahora, necesitamos poner la información de la cuestión. Nos dicen que mide cuatro metros de largo. Por lo tanto, esta medida aquí para la longitud de la rampa es de cuatro metros. Y nos dicen que mide 30 centímetros de altura. Ahora, debemos tener cuidado porque esas unidades son diferentes. Así que lo convertiré a metros. Y, por lo tanto, esta longitud es de 0.3 metros.

Y en la cuestión nos preguntan sobre el ángulo de inclinación. Ese es el ángulo entre la rampa y el piso. Es este ángulo de aquí. Entonces, podemos ver que tenemos un triángulo rectángulo. Y, por lo tanto, este es un problema que se puede resolver usando trigonometría. Al igual que con todas las cuestiones anteriores, comenzaremos nombrando cada uno de los tres lados del triángulo en relación con ese ángulo 𝜃. Y podemos ver que nos dan las longitudes del cateto opuesto y la hipotenusa. Lo que nos indica que debemos usar la razón seno.

Escribimos la fórmula de la razón seno usando la información en la cuestión. Y eso nos da sen 𝜃 igual a 0.3 dividido por cuatro. Ahora necesito calcular el valor de 𝜃, este ángulo. Así que, vamos a usar la función seno inverso. Y lo que esto nos dice es que 𝜃 es igual al seno inverso de esta razón, 0.3 sobre cuatro, como está escrito en la pantalla. Ahora, podemos usar una calculadora para hallar este ángulo 𝜃 usando esa función de seno inverso. Y hallamos que este ángulo 𝜃 es igual a 4.301 etcétera.

Concretamente, nos preguntaron: ¿es segura la rampa? Y nos dijeron que será segura si el ángulo de inclinación es menor de cinco grados. Entonces, como nuestro valor de 𝜃 es 4.3, que es menor que cinco, nuestra respuesta a la pregunta es sí, esta rampa es segura. Por lo tanto, para cualquier cuestión de este tipo, es conveniente dibujar siempre un diagrama primero. Y una vez que tenemos un diagrama, la cuestión se vuelve muy parecida a otras cuestiones que hemos visto. Nombramos los lados, escribimos la fórmula de la razón del seno y luego usamos la función seno inverso para calcular el ángulo que buscamos.

Bien, nuestra última cuestión nos pide calcular la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶, dando nuestra respuesta al segundo más cercano.

Primero que nada, el ángulo 𝐴𝐵𝐶, que es el ángulo que rodeamos cuando nos movemos de 𝐴 a 𝐵 a 𝐶, es este ángulo de aquí. La cuestión nos pide nuestra respuesta al segundo más cercano. Por lo tanto, tendremos que recordar cómo convertir una medida en grados a una medida en grados, minutos y segundos más adelante.

Como este es un problema de trigonometría, comenzamos de la manera habitual. Nombramos los tres lados de este triángulo en relación con este ángulo 𝜃. Tenemos sus nombres aquí. Y esto confirma que es la razón de seno lo que voy a necesitar en esta cuestión porque nos han dado las longitudes del cateto opuesto y la hipotenusa. Así que, como en todas las cuestiones anteriores, ahora vamos a escribir la fórmula de la razón seno, sustituyendo la información que conocemos. Entonces, tendremos que sen del ángulo 𝜃 es igual a cinco sobre 18.

Queremos calcular este ángulo 𝜃, así que necesitamos usar la función seno inverso. Y, por lo tanto, 𝜃 es igual al seno inverso de este cociente, cinco sobre 18. Y podemos calcular esto usando una calculadora. Y obtenemos que 𝜃 es igual a 16.1276 etcétera. Pero esta respuesta está en grados, y la cuestión nos pide la respuesta al segundo más cercano. Por lo tanto, necesito recordar cómo convertir una respuesta de grados a grados, minutos y segundos.

Primero tenemos 16 grados completos. Y luego, nos sobra este número decimal, 0.12762 etcétera, que debemos convertir a minutos y segundos. Recuerda, un grado son sesenta minutos. Entonces, para convertir esto en minutos completos hay, primero, que multiplicar por 60. Al hacer esto, nos da 7.6572 etcétera. Lo que nos dice que hay siete minutos completos.

Y ahora nos sobra este número decimal de 0.65721. Y, finalmente, necesitamos convertir esta parte en segundos. Tenemos 0.657 minutos. Y hay sesenta segundos en un minuto. Así que multiplicamos esto por 60 para calcular cuántos segundos representa. Y haciendo esto obtenemos 39.432. Así que tenemos 39 segundos, al segundo más cercano. Juntando toda esta información, tenemos 16 grados, siete minutos, 39 segundos. Y, por lo tanto, esta es nuestra respuesta para la medida del ángulo 𝐴𝐵𝐶 al segundo más cercano.

En resumen, hemos recordado que la razón seno se calcula dividiendo el cateto opuesto por la hipotenusa. Hemos visto cómo la función inversa del seno se puede usar para calcular el valor de un ángulo. Y luego, hemos aplicado todo esto para responder algunas cuestiones.

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