Vídeo: El volumen de las pirámides

En este video, vamos a aprender cómo hallar el volumen de pirámides triangulares y cuadrangulares, y cómo resolver problemas en contextos de la vida real.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar el volumen de pirámides triangulares y de pirámides cuadrangulares, y cómo resolver problemas en contextos de la vida real.

Podemos comenzar recordando qué es una pirámide. Una pirámide es un cuerpo geométrico cuya base es un polígono, por ejemplo, un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etcétera. Y todos los otros lados son triángulos con un vértice común, que es el ápice o vértice de la pirámide.

Recordemos que existen dos tipos especiales de pirámides. El primer tipo es la pirámide recta, que es una pirámide cuyo ápice se halla en la recta perpendicular a la base que pasa por su centroide. El segundo tipo es una pirámide regular, la cual es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. En este tipo de pirámide, todos los lados de la base son iguales y todas las aristas laterales de la pirámide son iguales en longitud. Pensemos ahora en el volumen de una pirámide.

El volumen de una figura 3D es la cantidad de espacio que esa figura ocupa. Si imaginamos que llenamos esta pirámide con agua y después la vaciamos en un recipiente, ¿cuánta agua habría? Imaginemos que tenemos un prisma con las mismas longitud, anchura y altura de la pirámide. Si llenáramos nuestra pirámide con agua y la vaciáramos luego en el prisma, el volumen del agua en el prisma sería un tercio de la altura del prisma. Por lo tanto, podemos decir que el volumen de una pirámide es igual a un tercio por el área de la base por la altura de la pirámide. Y esta es la fórmula que usamos para hallar el volumen de una pirámide.

En este diagrama, la base es un rectángulo, así que multiplicamos la longitud por la anchura. Pero, por supuesto, la base puede ser cualquier polígono. Por ejemplo, si fuese un triángulo, para calcular el área de la base necesitaríamos usar la fórmula del área del triángulo. Veamos algunas preguntas sobre el volumen de una pirámide. En este video, vamos a ver solamente pirámides que tienen una base triangular o una base cuadrangular.

Determina, a la centésima más cercana, el volumen de la pirámide de la figura.

Aquí tenemos una pirámide con una base rectangular. Vamos a usar la fórmula que dice que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura. Para hallar el área de la base, como sabemos que es un rectángulo, vamos a multiplicar la longitud por la altura, lo que nos da seis por cuatro. Que es 24 centímetros cuadrados.

Para hallar el volumen de la pirámide usando la fórmula, tenemos que es igual a un tercio multiplicado por el área de la base, que es 24. Multiplicado por la altura de la pirámide, que es nueve centímetros. Podemos hallar un tercio de 24 o de nueve. En este caso, nos conviene hallar un tercio de 24, que es ocho. Y nuestro cálculo es ocho por nueve, que es 72. Y las unidades aquí, como se trata del volumen, serán centímetros cúbicos. Como nos piden redondear nuestra respuesta a la centésima más cercana, podemos expresarla como 72.00 centímetros cúbicos.

A continuación, vamos a ver una pregunta en la que la base de la pirámide es triangular.

Determina, a la décima más cercana, el volumen de la figura geométrica dada.

Podemos ver que esta figura geométrica tiene una base triangular y otras tres caras triangulares, lo que significa que se trata de una pirámide de base triangular. Así que, para hallar el volumen, debemos recordar que la fórmula para el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura. Como tenemos una pirámide triangular, la base podría ser cualquiera de los cuatro lados triangulares. Pero, para mantenerlo simple, vamos a usar el que ya está señalado en color naranja aquí.

Así que, para hallar el área de la base, podemos usar la fórmula que dice que el área de un triángulo es igual a un medio por la base por la altura. En este triángulo tenemos una base de 10 y una altura de ocho. Calculamos un medio por 10 por ocho. Podemos simplificar esto y obtener cinco por ocho, que nos da 40, con unidades de centímetros cuadrados.

Aplicando esto al volumen de una pirámide, tenemos un tercio multiplicado por 40 y multiplicado por la altura de esta pirámide, que es cinco centímetros. Por tanto, el volumen es 200 partido por tres, o 200 dividido por tres, que es 66.666 etcétera centímetros cúbicos. Y para redondearlo a la décima más cercana, como nuestros dígitos son seis seis seis repetidamente, si nos fijamos en nuestro segundo dígito decimal, tenemos un valor de cinco o mayor. Así que nuestra respuesta para el valor redondeado del volumen será 66.7 centímetros cúbicos.

Calcula el volumen de una pirámide de 12 pulgadas de altura y de base cuadrada de cinco pulgadas de longitud.

Comencemos dibujando esta pirámide. Nos han dicho que esta pirámide tiene una base de cinco pulgadas de longitud, y, como es un cuadrado, sabemos que la longitud y la anchura son iguales. La altura de 12 pulgadas se refiere a la altura perpendicular de la pirámide. Recordemos que el volumen de una pirámide es igual a un tercio multiplicado por el área de la base multiplicado por la altura.

Para hallar el área de la base, que en este caso es un cuadrado, sabemos que será longitud multiplicada por longitud. Así que cinco por cinco, nos da 25 pulgadas cuadradas. Para hallar el volumen de la pirámide, tomamos el área de nuestra base, que es 25. Así que tenemos un tercio por 25 por la altura, que es 12 pulgadas. Podemos simplificar este cálculo hallando un tercio de 12, que es cuatro. Así que tenemos que hacer el cálculo 25 por cuatro, que es 100. Y nuestras unidades aquí son pulgadas cúbicas. De modo que nuestra respuesta final para el volumen de la pirámide es 100 pulgadas cúbicas.

En la siguiente cuestión, vamos a ver un ejemplo de cómo a veces hemos de usar el teorema de Pitágoras para ayudarnos a hallar todos los valores que necesitamos para poder calcular el volumen de una pirámide.

Halla el volumen de la siguiente pirámide regular, y redondea la respuesta a la centésima más cercana.

Puesto que nos han dicho que esta es una pirámide regular, sabemos que la base de esta pirámide es un polígono regular. Sabemos, por lo tanto, que todos los lados de la base del triángulo medirán 14 centímetros. Para hallar el volumen de una pirámide, hemos de calcular un tercio multiplicado por el área de la base multiplicada por la altura.

Comencemos por calcular el área de este triángulo, que es la base de la pirámide. Para hallar el área de un triángulo, calculamos un medio por la base por la altura. Nos fijamos bien en este triángulo y vemos que tiene tres lados de igual longitud de 14 centímetros. Lo que significa que conocemos la longitud de la base, pero no la altura de este triángulo. Pero como aquí tenemos un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras nos dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, o sea, de los catetos. Usemos el teorema de pitágoras para calcular la altura de nuestro triángulo. Podemos llamar 𝑥 la altura desconocida. La hipotenusa aquí, 𝑐 al cuadrado, será 14 al cuadrado, que es igual a 𝑥 al cuadrado, más siete al cuadrado, ya que siete es la mitad de 14. Y estamos usando la mitad de lado del triángulo este, que es la base.

Evaluando los cuadrados, tenemos 196 igual a 𝑥 al cuadrado más 49. Después reordenamos restando 49 de ambos lados de la ecuación, y obtenemos 147 igual a 𝑥 al cuadrado. Y luego, sacando la raíz cuadrada de ambos lados, hallamos que la raíz cuadrada de 147 es igual a 𝑥. Vamos a mantener nuestra respuesta en esta forma de raíz cuadrada mientras continuamos con la pregunta.

Hemos obtenido que la altura del triángulo es la raíz cuadrada de 147. Podemos calcular el área de este triángulo usando la fórmula. Nuestra área es igual a un medio por la base, que es 14, y multiplicada por la altura, que es la raíz cuadrada de 147. Podemos simplificar este cálculo a siete multiplicado por la raíz cuadrada de 147. En este paso podríamos evaluar esto usando una calculadora, pero como aún necesitamos calcular el volumen, podemos mantenerlo en este formato de siete raíz 147.

Una vez que hemos resuelto el área del triángulo, que es el área de la base de la pirámide, podemos seguir adelante y calcular el volumen de la pirámide. Nuestro volumen es igual a un tercio multiplicado por el área de la base, que es siete raíz de 147, multiplicada por la altura de la pirámide, que es 17 centímetros. Usando nuestra calculadora, podemos evaluar esto como 480.93277 etcétera. Y redondear a la centésima más cercana significa que debemos fijarnos en nuestro tercer dígito decimal para ver si vale cinco o es mayor. Y como no es así, nuestra respuesta se mantiene como 480.93. Y nuestras unidades aquí serán centímetros cúbicos.

En la pregunta final, nos dan el volumen de una pirámide y su altura, y tenemos que calcular el perímetro del polígono en la base de la pirámide.

Sabiendo que una pirámide cuadrada tiene un volumen de 372 centímetros cúbicos y una altura de 31 centímetros, determina el perímetro de su base.

Modelemos nuestra pirámide cuadrada de 372 centímetros cúbicos de volumen. La altura de 31 centímetros se refiere a la altura perpendicular de la pirámide. Nos piden calcular el perímetro de la base de esta pirámide cuadrada. Esa es la distancia a todo lo largo del borde.

Consideremos lo que sabemos sobre el volumen de una pirámide. Podemos recordar que el volumen de una pirámide es igual a un tercio multiplicado por el área de la base multiplicada por la altura. Esto no nos dará el perímetro directamente. Pero si podemos calcular el área de la base, podemos ir un poco más allá y hallar el perímetro. Comencemos sustituyendo en esta fórmula los datos que conocemos.

Esto nos da 372, que es el volumen de la pirámide, igual a un tercio por el área de la base por 31, que es la altura de la pirámide. Podemos simplificar el lado derecho escribiendo un tercio multiplicado por 31 como 31 sobre tres. Después queremos despejar el área de la base, por lo que realizamos la operación inversa, es decir, dividimos por 31 sobre tres. Y dividir por 31 sobre tres es lo mismo que multiplicar por tres sobre 31. Y obtenemos que 372 por tres sobre 31 es igual al área de la base.

Podemos evaluar esto sin una calculadora dándonos cuenta de que 31 cabe en 372 12 veces. Lo que significa que el área de la base es igual a 12 por tres, que es 36 centímetros cuadrados. Una vez que hemos calculado el área del cuadrado en la base, podemos usar este dato para hallar la longitud de los lados y así poder calcular el perímetro.

Si las dimensiones del cuadrado son 𝑥 por 𝑥, entonces el área, es decir, 𝑥 al cuadrado, será igual a 36. Por lo tanto, la longitud 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 36, que es seis centímetros. Y el perímetro, que es la distancia alrededor de este cuadrado, es igual a seis más seis más seis más seis, que es 24 centímetros.

Ahora resumamos lo que hemos aprendido en este video. Hemos recordado que las pirámides son sólidos geométricos cuya base es un polígono y todos los otros lados son triángulos que tienen un vértice común en el ápice de la pirámide. También vimos las definiciones de pirámide recta y de pirámide regular.

Vimos que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y altura. Escribimos esto como una fórmula que dice que el volumen de una pirámide es igual a un tercio multiplicado por el área de la base multiplicado por la altura. Y, finalmente, vimos en uno de nuestros ejemplos que a veces es necesario usar el teorema de Pitágoras para ayudarnos a calcular longitudes desconocidas.

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