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Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30, 45 y 60 grados
En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el valor de expresiones trigonométricas para ángulos de 30, 45 y 60 grados, los cuales se denominan «ángulos notables». Para ello vamos a usar un método geométrico; concretamente, vamos a dibujar y usar triángulos rectángulos. Y también veremos cómo podemos aplicar este proceso al revés considerando para ello la pregunta «¿Qué pasa si conocemos dos lados de un triángulo rectángulo? ¿Podemos determinar los ángulos del triángulo rectángulo? ».
Para hacer esto, vamos a recordar cómo definimos las funciones trigonométricas para un ángulo 𝜃. Como ya sabes, las funciones trigonométricas se definen en términos de las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Para hallar el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo 𝜃, comenzamos dibujando un triángulo rectángulo con el ángulo 𝜃. A continuación, marcamos los lados de este triángulo rectángulo según su posición con respecto al ángulo 𝜃. La hipotenusa del triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Ese es el opuesto al ángulo recto. Por lo tanto, el lado opuesto al ángulo 𝜃 se llama cateto opuesto. Por último, el lado restante, que es contiguo al ángulo 𝜃 se llama cateto contiguo o cateto adyacente.
Con esta notación en su sitio podemos ya definir las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃. Primero, el seno de 𝜃 es la longitud del cateto opuesto al ángulo 𝜃 dividido por la longitud de la hipotenusa. El coseno del ángulo 𝜃 es la longitud del cateto contiguo al ángulo 𝜃 dividido por la longitud de la hipotenusa. Por último, la tangente del ángulo 𝜃 es la longitud del cateto opuesto al ángulo 𝜃 dividido por la longitud del cateto contiguo al ángulo 𝜃.
Por lo tanto, si construimos un triángulo rectángulo de lados y ángulos interiores conocidos, podemos hallar el valor de las funciones trigonométricas para este ángulo usando el triángulo rectángulo. Hay muchas formas de construir triángulos rectángulos de lados y ángulos interiores especificados. Veamos dos de ellas.
Consideremos un cuadrado de longitud unitaria. Podemos construir dos triángulos rectángulos cortando el cuadrado a lo largo de su diagonal. De hecho, vemos que estos dos triángulos rectángulos son congruentes según el criterio de lado-ángulo-lado. Para usar uno de estos triángulos rectángulos para hallar el valor de las funciones trigonométricas, necesitamos conocer sus tres lados y sus ángulos interiores.
Comencemos por calcular los ángulos interiores. Para ello, vamos a comenzar dándonos cuenta de que los triángulos rectángulos son isósceles. Por lo tanto, los dos ángulos no rectos de este triángulo rectángulo tendrán la misma medida. Si llamamos 𝜃 a este ángulo, entonces sabemos que, como la suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180 grados y el ángulo recto mide 90 grados, sabemos que 𝜃 más 𝜃 más 90 grados es 180 grados. Seguidamente resolvemos esta ecuación para 𝜃. Restamos 90 grados de ambos lados de la ecuación, y obtenemos que dos 𝜃 es igual a 90 grados. A continuación, dividimos por dos, y obtenemos que 𝜃 es igual a 45 grados. Y vemos que esta respuesta tiene sentido. Estamos cortando el cuadrado por la mitad, así que es como cortar el ángulo por la mitad.
Vamos a hallar ahora la longitud desconocida en este triángulo rectángulo. Para hallar la longitud de la hipotenusa, vamos a usar las longitudes de los catetos. Para ello vamos a usar el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo) es igual a la suma del cuadrado de los catetos (los lados más cortos). Entonces, si llamamos ℎ a la longitud de la hipotenusa, obtenemos que ℎ al cuadrado es igual a uno al cuadrado más uno al cuadrado. Seguidamente resolvemos esta ecuación para ℎ. Uno al cuadrado más uno al cuadrado es igual a dos. Así que tenemos que ℎ al cuadrado es igual a dos. A continuación, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Recuerda que ℎ es una longitud, por lo que debe ser positiva. Obtenemos que ℎ es igual a la raíz cuadrada de dos.
Así que añadimos esto a nuestro diagrama. Ahora tenemos un triángulo rectángulo de lados y ángulos interiores conocidos. Así que ya casi estamos listos para hallar el valor de las funciones trigonométricas usando este triángulo rectángulo. Pero recuerda que aún nos queda señalar los lados de este triángulo rectángulo en función de su posición con respecto a nuestro ángulo. Primero, como ya hemos dicho, el lado con longitud raíz de dos es la hipotenusa en este triángulo rectángulo, pues es el lado más largo, y es también el lado opuesto al ángulo recto. Después, el lado opuesto al ángulo de 45 grados es el cateto opuesto. Por último, el lado restante contiguo a nuestro ángulo de 45 grados es el cateto contiguo o cateto adyacente.
Ahora podemos usar este triángulo rectángulo para hallar el valor de las funciones trigonométricas para estos ángulos. Hacemos 𝜃 igual a 45 grados, la longitud del cateto contiguo es uno, la longitud del cateto opuesto es uno y la longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de dos. Comencemos con la función seno. Obtenemos que el seno de 45 grados es igual a uno partido por la raíz cuadrada de dos. Podeos dejar nuestra respuesta así. Pero lo normal es cambiarla un poco para eliminar la raíz cuadrada del denominador de la fracción. Para ello, multiplicamos el numerador y el denominador por la raíz cuadrada de dos, y obtenemos raíz cuadrada de dos partido por dos. Así, tenemos que el seno de 45 grados es igual a raíz de dos partido por dos.
Vamos a seguir el mismo procedimiento para la función coseno. Obtenemos que el coseno de 45 grados es uno partido por raíz de dos, que es exactamente el mismo valor que obtuvimos para el seno. Así que eliminamos la raíz cuadrada en el denominador usando el mismo método, y obtenemos que el coseno de 45 grados también vale raíz de dos partido por dos. Por último, al usar los valores de este triángulo rectángulo, hallamos que la tangente de 45 grados es igual a uno partido por uno, que se simplifica a uno. Así que, usando un cuadrado unitario, el teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas, hemos calculado el seno de 45 grados, el coseno de 45 grados y la tangente de 45 grados.
Y ahora, antes de pasar a usar estos valores para resolver cuestiones sobre valores de expresiones trigonométricas, vamos a hacer uso de otro triángulo para hallar el valor de las funciones trigonométricas para otros dos ángulos. Esta vez, en lugar de comenzar con un cuadrado unitario, vamos a comenzar con un triángulo equilátero. Recuerda que los ángulos interiores en un triángulo equilátero son todos 60 grados. Aquí podemos elegir cualquier longitud que queramos para los lados de nuestro triángulo equilátero. Podríamos usar, por ejemplo, una longitud de uno. Pero ocurre que, en este caso, los cálculos son más sencillos si usamos una longitud de lado de dos. Así que vamos a optar por usar una longitud de dos. Pero, como ya hemos dicho, podríamos usar cualquier longitud de lado que quisiéramos.
Seguidamente construimos dos triángulos rectángulos a partir de nuestro triángulo equilátero dividiéndolo para ello en dos por la altura. Como este segmento es también una mediana, es fácil hallar la base de cada uno de nuestros triángulos rectángulos. Tendrá longitud uno, ya que es la mitad de la longitud de la base del triángulo equilátero, que es dos. También podemos hallar el ángulo interior desconocido en este triángulo rectángulo, ya que la suma de los ángulos interiores en un triángulo rectángulo es 180 grados. Y podemos ver que 60 grados más 30 grados más 90 grados son 180 grados. Así que el ángulo desconocido mide 30 grados.
Por último, vamos a hallar la longitud 𝑙 del lado que falta en este triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras. El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Así que dos al cuadrado es igual a 𝑙 al cuadrado más uno al cuadrado. Seguidamente resolvemos esta ecuación para 𝑙. Primero, tenemos que dos al cuadrado es cuatro y que uno al cuadrado es uno. A continuación, restamos uno de ambos lados de la ecuación, y obtenemos que tres es igual a 𝑙 al cuadrado. Por último, hacemos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Sabemos que 𝑙 es una longitud, así que tiene que ser un valor positivo. Por lo tanto, 𝑙 es igual a la raíz cuadrada de tres. Ahora añadimos esto a nuestro diagrama.
De esta forma hemos obtenido un triángulo rectángulo del que conocemos todos sus lados y todos sus ángulos interiores. Así que, una vez más, podemos usar este triángulo rectángulo para hallar el valor de nuestras funciones trigonométricas. Para ello, tenemos que señalar los lados de este triángulo rectángulo según su posición con respecto al ángulo. Esta vez tenemos dos formas de hacerlo. Podemos nombrar los lados según su posición con respecto al ángulo de 60 grados o en términos de su posición con respecto al ángulo de 30 grados. Esto nos permitirá hallar el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 60 grados y de 30 grados.
Comencemos señalando los lados de este triángulo en función de su posición con respecto al ángulo de 60 grados. Para ello vamos a dibujar el triángulo rectángulo. Como ya hemos visto, la hipotenusa de este triángulo rectángulo es dos, pues es el lado más largo opuesto al ángulo recto. Después, el lado opuesto al ángulo de 60 grados se llama cateto opuesto. Este es el lado cuya longitud es raíz cuadrada de tres. Por último, el lado restante contiguo a nuestro ángulo de 60 grados es el cateto contiguo o cateto adyacente. Ese es el lado de longitud uno.
Ahora podemos usar estos datos para calcular el seno, el coseno y la tangente de un ángulo de 60 grados. Comencemos con el seno de 60 grados. Es la longitud del cateto opuesto a 60 grados dividido por la hipotenusa. Eso es raíz de tres partido por dos. Luego, el coseno de 60 grados es la longitud del cateto contiguo partido por la longitud de la hipotenusa. Eso es uno partido por dos, o un medio. Por último, la tangente de 60 grados es la longitud del cateto opuesto dividido por la longitud del cateto contiguo. Es raíz cuadrada de tres partido por uno, que se simplifica a raíz de tres.
Así que hemos hallado el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo de 60 grados. Ahora vamos a señalar los lados de nuestro triángulo rectángulo según su posición con respecto al ángulo de 30 grados para hallar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de 30 grados. Para ello, vamos a dibujar de nuevo un triángulo rectángulo. La hipotenusa sigue siendo la misma; sigue siendo el lado opuesto al ángulo recto. No obstante, los lados marcados como cateto opuesto y cateto contiguo cambian, ya que ahora el lado de longitud uno es opuesto al ángulo de 30 grados y el lado de longitud raíz de tres es contiguo al ángulo de 30 grados.
Y podemos usar este triángulo rectángulo para calcular el seno, el coseno y la tangente de 30 grados. El seno de 30 grados es el cateto opuesto dividido por la hipotenusa. Eso es un medio. El coseno de 30 grados es el cateto contiguo dividido por la hipotenusa. Eso es raíz de tres partido por dos. Y la tangente de 30 grados es el cateto opuesto dividido por el cateto contiguo. Eso es uno dividido por la raíz cuadrada de tres. Vamos a cambiar un poco esta expresión eliminando la raíz cuadrada en el denominador de la fracción. Multiplicamos el numerador y el denominador por raíz de tres, y obtenemos raíz de tres partido por tres. Acabamos de ver cómo hallar el valor de las tres funciones trigonométricas para ángulos de 30 grados, 45 grados y 60 grados.
Ahora vamos a hacer algo de espacio para construir una tabla en la que escribiremos los resultados que acabamos de obtener. En la primera fila de esta tabla, tenemos los ángulos en grados. Y en las otras filas de la tabla tenemos los valores de las funciones trigonométricas. El número en esta fila y esta columna es el valor de esta función trigonométrica calculada para este ángulo. Así que vamos a usar esta tabla para mostrar el valor de las tres funciones trigonométricas para estos tres ángulos. Por ejemplo, si queremos saber el coseno de 60 grados, hallamos la fila de la tabla con la función coseno y la columna con 60 grados. El número en esta tabla en esta fila y columna nos dice este valor. El coseno de 60 grados es un medio.
Una tabla como esta es muy fácil de memorizar, con lo que ya no necesitaríamos construir un triángulo rectángulo cada vez. Pero ¡ojo!: necesitamos saber cómo construir los triángulos rectángulos si queremos ser capaces de demostrar estos resultados. Veamos ahora un ejemplo en el que se nos pide hallar el valor de una función trigonométrica.
Halla el valor exacto del seno de 30 grados.
En este problema se nos pide que hallemos el valor exacto de una función trigonométrica. Podemos ver que el argumento de esta función trigonométrica es 30 grados. Hay varias formas de resolver este problema. Una de ellas es escribir el seno de 30 grados en nuestra calculadora para obtener una respuesta exacta. Pero también podemos resolver este problema sin usar una calculadora, así que veamos cómo.
Hay dos formas de hacerlo. Recordemos que 30 grados es uno de nuestros ángulos notables. Debemos aprender de memoria los valores del seno y del coseno de los ángulos de 30, 45 y 60 grados. Una forma de hacerlo es usando la siguiente tabla. En las columnas de nuestra tabla, tenemos los ángulos de 30 grados, 45 grados y 60 grados. Y en las filas de nuestra tabla, tenemos las tres funciones trigonométricas.
Podemos aprender la fila del seno más fácilmente si nos damos cuenta de que el seno de 30 grados es raíz de uno partido por dos, que el seno de 45 grados es raíz de dos partido por dos y que el seno de 60 grados es raíz de tres partido por dos. El numerador es la raíz cuadrada de uno, luego la raíz cuadrada de dos, luego la raíz cuadrada de tres. Y, además, la fila del coseno tiene los mismos números pero colocados en el orden opuesto. La última entrada es raíz cuadrada de uno partido por dos. Luego, la segunda entrada es raíz cuadrada de dos partido por dos. Y la primera entrada es raíz de tres partido por dos.
Sabemos que la tangente de 𝜃 es igual al seno de 𝜃 dividido por el coseno de 𝜃. Así que podemos calcular la fila de la tangente en nuestra tabla dividiendo la fila del seno en la tabla por la fila del coseno. En cualquier caso, podemos usar esta tabla para hallar el seno de 30 grados. Tenemos que hallar la celda correspondiente a 30 grados y a la función seno de 𝜃. Y vemos que esta entrada es un medio. Por lo tanto, decimos que el seno de 30 grados es un medio.
Podríamos pararnos aquí. Pero puede ser difícil memorizar esta tabla. Así que vamos a hablar un poco también de un método geométrico para calcular el seno de 30 grados. Recordemos que las funciones trigonométricas son las razones de las longitudes de los lados en un triángulo rectángulo. Así que podemos usar un triángulo rectángulo de lados y ángulos conocidos para determinar estas funciones trigonométricas. En este caso, vamos a construir un triángulo rectángulo partiendo de un triángulo equilátero con lados de longitud dos.
Como sabes, en un triángulo equilátero, los ángulos interiores miden todos 60 grados. Podemos dividir este triángulo equilátero en dos usando su mediatriz. La mediatriz corta la base del triángulo por la mitad, por lo que la longitud de la base de este triángulo rectángulo es uno. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es 180 grados. Así que el ángulo que falta en este triángulo rectángulo es 30 grados.
Y podemos hallar la longitud del lado faltante usando el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los dos lados más cortos o catetos. Entonces, si decimos que el lado que falta tiene una longitud 𝑙, obtenemos que 𝑙 al cuadrado más uno al cuadrado es igual a dos al cuadrado. Y resolvemos para 𝑙. Reorganizamos nuestra ecuación, y obtenemos que 𝑙 al cuadrado es igual a tres. Seguidamente tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, recordando que 𝑙 es una longitud, por lo que ha de ser un valor positivo. 𝑙 es la raíz cuadrada de tres.
Ahora, si recordamos la definición de la función seno o usamos el acrónimo SOHCAHTOA, sabemos que el seno de 𝜃 es igual a la longitud del lado opuesto al ángulo 𝜃 dividido por la longitud de la hipotenusa. Queremos hacer esto para el ángulo 𝜃 igual a 30 grados. En primer lugar, sabemos que la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Es el lado de longitud dos. En segundo lugar, vemos que el lado opuesto al ángulo de 30 grados es el lado de longitud uno. Sustituimos estos valores en nuestra definición de la función seno, y obtenemos que el seno de 30 grados es uno dividido por dos.
De esta forma hemos hallado el valor exacto del seno de 30 grados de dos formas distintas. Hemos demostrado, con ambos métodos, que el seno de 30 grados es un medio.
En el siguiente ejemplo nos piden hallar el valor exacto de una expresión trigonométrica que contiene funciones trigonométricas de ángulos de 30 grados y 45 grados.
Halla el valor de dos coseno de 45 grados por seno de 30 grados.
En este problema se nos pide que hallemos el valor de una expresión trigonométrica. Y podemos ver que los argumentos de todas nuestras funciones trigonométricas son 45 grados o 30 grados. Estos son dos de nuestros ángulos notables. Debemos saber de memoria los valores del seno y del coseno para ángulos de 30 grados, 45 grados y 60 grados. Una forma de memorizarlas es usar una tabla de valores, como esta de aquí. En las columnas, tenemos los ángulos de 30 grados, 45 grados y 60 grados. Y en las filas, tenemos las funciones trigonométricas. La primera fila de esta tabla es uno partido por raíz cuadrada de dos, raíz cuadrada de dos partido por dos y raíz cuadrada de tres partido por dos. Y la segunda fila de esta tabla es la misma que la primera fila de la tabla pero al revés: raíz de tres partido por dos, raíz de dos partido por dos, raíz de uno partido por dos.
Así que vamos a usar esta tabla para calcular el coseno de 45 grados. Podemos ver que el valor en la fila de cos 𝜃 y en la columna de 45 grados es raíz de dos partido por dos. Así que esto nos dice que el coseno de 45 grados es raíz de dos partido por dos. Hacemos lo mismo con el seno de 30 grados. Y vemos que es igual a un medio. Ahora solo nos queda sustituir estos valores en nuestra expresión. Haciéndolo obtenemos que dos coseno de 45 grados, seno de 30 grados es igual a dos por raíz cuadrada de dos partido por dos multiplicado por un medio. Seguidamente cancelamos el factor común de dos, y obtenemos que la respuesta final es raíz de dos partido por dos.
Hasta ahora, hemos usado triángulos rectángulos para ayudarnos a hallar el valor de las funciones trigonométricas. Pero también podemos hacerlo realizando este procedimiento a la inversa. Si conocemos la razón de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, podemos usar esta información para determinar el ángulo del triángulo rectángulo. Por ejemplo, supongamos que se nos dice que la longitud del cateto opuesto partido por la longitud del cateto contiguo es uno. Hay muchas formas distintas de calcular el ángulo 𝜃.
Una forma es teniendo en cuenta que la longitud del cateto opuesto es igual a la del cateto contiguo, por lo que tenemos un triángulo rectángulo isósceles. Esto significa que el otro ángulo desconocido también es igual a 𝜃. Así que la amplitud del ángulo 𝜃 es 45 grados. Si añadimos esto a nuestro diagrama, nos damos cuenta de algo interesante sobre este triángulo rectángulo. Este triángulo rectángulo es semejante a nuestro triángulo rectángulo con longitudes uno, uno y raíz de dos según el criterio de ángulo-ángulo-ángulo (AAA). Este es el triángulo rectángulo que usamos para hallar que la tangente de 45 grados es igual a uno. Por lo tanto, una segunda forma de resolver este problema es indicar que estos dos triángulos rectángulos son semejantes y seguidamente hallar la razón de este triángulo rectángulo con respecto al triángulo rectángulo dado. Usamos que la tangente de 45 grados es igual a uno para concluir que el ángulo mide 45 grados.
Para ayudarnos a comprender mejor esta relación, vamos a introducir las funciones trigonométricas inversas y algunas de sus propiedades. Primero, si 𝑎 es mayor que cero y menor que uno, entonces 𝜃 igual a la inversa del seno de 𝑎 es la única solución de ángulo agudo de la ecuación seno 𝜃 igual a 𝑎; y 𝜃 igual a la inversa del coseno de 𝑎, que es la única solución de ángulo agudo de la ecuación coseno de 𝜃 igual a 𝑎.
Luego, si 𝑎 es un número positivo, entonces 𝜃 igual a la inversa de la tangente de 𝑎, es la única solución de ángulo agudo de la ecuación tangente de 𝜃 igual a 𝑎. Las funciones trigonométricas inversas toman como valor de entrada la razón 𝑎, y dan como valor de salida 𝜃, que es el ángulo en el triángulo rectángulo correspondiente a esta razón. Y, en particular, las propiedades de semejanza de triángulos nos dicen que el ángulo es único. Así que solo necesitamos conocer la razón de las longitudes de los lados en el triángulo rectángulo para determinar el ángulo.
Veamos un ejemplo de cómo aplicar las funciones trigonométricas inversas para ayudarnos a resolver una ecuación.
Sabiendo que coseno de 𝑥 es igual a un medio, halla el valor de 𝑥 sabiendo además que cero grados es menor que 𝑥, que es menor que 90 grados.
En este problema se nos da una ecuación trigonométrica que contiene la incógnita 𝑥. Se nos pide que hallemos el valor de 𝑥, y se nos dice que 𝑥 es un ángulo agudo. Y como 𝑥 es un ángulo agudo, podemos decir que 𝑥 es un ángulo posible en un triángulo rectángulo. Y si usamos el acrónimo SOHCAHTOA, recordamos que el coseno de un ángulo agudo es la razón de la longitud del lado contiguo al ángulo dividido por la longitud de la hipotenusa en el triángulo rectángulo. Por lo tanto, la ecuación coseno de 𝑥 igual a un medio nos dice la razón de las longitudes de dos lados en un triángulo rectángulo. Recordemos, además, que podemos resolver esto usando las funciones trigonométricas inversas. En particular, 𝜃 es igual a la inversa del coseno de 𝑎, que es la única solución de ángulo agudo de la ecuación coseno de 𝜃 igual a 𝑎, donde nuestro valor de 𝑎 debe estar entre cero y uno.
En esta ecuación, el valor de 𝑎, la razón, es un medio. Por lo tanto, esta propiedad nos dice que 𝑥 es igual a la inversa del coseno de un medio. Y podemos calcular la inversa del coseno de un medio recordando que el coseno de 60 grados es igual a un medio. Recuerda que nuestra propiedad nos dice que la solución del ángulo agudo de esta ecuación es única. Por lo tanto, como el coseno de 60 grados es igual a un medio, 𝑥 igual a 60 grados es una solución de nuestra ecuación. Por lo tanto, la inversa del coseno de un medio es igual a 60 grados, y 𝑥 igual a 60 grados es la solución de nuestra ecuación.
Veamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En primer lugar, hemos aprendido que podemos hallar el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos notables construyendo triángulos rectángulos. Y que podemos usar resultados geométricos para construir los siguientes dos triángulos rectángulos. Hemos construido el primer triángulo rectángulo dividiendo un cuadrado de longitud unitaria a lo largo de su diagonal. Y hemos construido el segundo triángulo rectángulo dividiendo un triángulo equilátero de lado dos a lo largo de una de sus medianas. Seguidamente, hemos aplicado trigonometría de triángulos rectángulos a estos dos triángulos rectángulos para calcular las funciones seno, coseno y tangente para ángulos de 30 grados, 45 grados y 60 grados. Hemos visto, además, que podemos construir una tabla de valores para ayudarnos a recordar el valor de las funciones.
Por último, vimos que podemos usar las funciones trigonométricas inversas para resolver ecuaciones y hallar ángulos desconocidos. En particular, estas funciones trigonométricas inversas nos dan soluciones únicas de ángulos agudos. Por lo tanto, como conocemos los valores de las funciones seno, coseno y tangente de 30 grados, 45 grados y 60 grados, podemos usar estos valores junto con el hecho de que nuestras soluciones son únicas para hallar ángulos agudos y resolver todas estas ecuaciones.
