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En esta lección, vamos a aprender cómo tomar una muestra aleatoria estratificada, a veces llamada en capas. Recuerda que cuando recopilamos datos, nuestro objetivo es usar los datos para averiguar o inferir cosas sobre la población. Para que nuestros resultados sean correctos y representativos de la población, debemos tener mucho cuidado de que nuestra recopilación de datos también sea correcta y representativa.
La mayoría de las veces no es factible ni posible recopilar los datos de una población completa. Por ejemplo, supongamos que estamos estudiando los peces en un lago en particular. Para tomar medidas de todos los peces, es decir, de toda la población, tendríamos que atraparlos a todos primero. Y es poco probable que esto sea factible para nosotros, y ciertamente no es una buena idea para los peces. Lo que podemos hacer en cambio es seleccionar una muestra de peces. Luego tomamos medidas o anotamos las características de los peces en nuestra muestra y usamos métodos estadísticos para obtener información e inferir resultados sobre la población a partir de los datos de la muestra.
El muestreo aleatorio estratificado es un método para seleccionar una muestra representativa de una población que está naturalmente dividida en distintos grupos o estratos. Cuando nuestra población está naturalmente dividida en grupos o estratos que no se solapan, para formar una muestra para la población, tomamos una muestra aleatoria de cada estrato, y luego combinamos todas estas muestras en una muestra para la población. El tamaño de la muestra aleatoria para cada estrato ha de reflejar el tamaño de ese estrato dentro de la población. Esto significa que los estratos están representados en la muestra final en las mismas proporciones que tienen en la población. Así que, dado un tamaño de población de 𝑁 mayúscula y un tamaño de estrato individual de 𝑆, si el tamaño de la muestra de nuestra población requerido es 𝑛 minúscula, el tamaño de la muestra de nuestro estrato individual es 𝑠 minúscula. Y este tamaño de la muestra está dado por el tamaño del estrato 𝑆 sobre el tamaño de la población 𝑁 multiplicado por el tamaño de muestra requerido en minúscula 𝑛.
Alternativamente, si sabemos que un estrato es un cierto porcentaje de la población, llamémoslo 𝜌, entonces el tamaño de la muestra para el estrato individual es 𝜌 por ciento por 𝑛, que es el tamaño de muestra requerido. Lo importante es que los tamaños muestrales de los estratos están en las mismas proporciones que los estratos dentro de la población. Veamos esto ilustrado con un ejemplo.
Supongamos que, inscritos en el club local de tenis, hay 48 jugadores, o sea, hombres, y 32 jugadoras, o sea, mujeres. En una muestra representativa de 10 tenistas, ¿cuántos serían hombres y cuántas mujeres?
Como nuestra población de tenistas está dividida en dos estratos, hombres y mujeres, y tenemos 48 jugadores masculinos y 32 femeninos, el tamaño de nuestra población 𝑁 es 48 más 32, que es igual a 80. Vamos a usar un muestreo aleatorio estratificado, donde 𝑛 minúscula es el tamaño total de la muestra, que en nuestro caso es 10. El tamaño de nuestra población, 𝑁 mayúscula, es 80. Y el tamaño de la muestra para cada estrato, 𝑠 minúscula, está dado por el tamaño del estrato individual, 𝑆 mayúscula, dividido por el tamaño de la población, 𝑁 mayúscula, multiplicado por el tamaño de la muestra, 𝑛 minúscula. Esto significa que el tamaño de la muestra para los jugadores masculinos es 48 dividido por 80 multiplicado por 10. Dividir tanto el numerador como el denominador por 10 y luego el numerador y el denominador por ocho, nos da seis jugadores masculinos en la muestra.
Realizando el mismo cálculo para las jugadoras, tenemos 32 jugadoras divididas por 80 en toda la población multiplicada por 10 en la muestra. Y una vez más, dividiendo el numerador y el denominador por 10 y el numerador y el denominador por ocho, obtenemos cuatro jugadoras en nuestra muestra. Lo que esto significa es que tomamos una muestra aleatoria de seis jugadores masculinos de nuestro total de 48 jugadores masculinos, y una muestra aleatoria de cuatro jugadoras de nuestro total de 32 jugadoras. Y esto constituye nuestra muestra aleatoria total de 10 miembros de la población.
Veamos ahora cómo funciona esto si nos dan porcentajes.
Supongamos que el 60 por ciento de los jugadores de tenis son hombres y el 40 por ciento son mujeres. En una muestra aleatoria de 10 jugadores, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres seleccionaríamos?
Nuestra población de miembros del club de tenis está dividida en estratos. Los estratos son hombres y mujeres. Sabemos que el 60 por ciento de la población son hombres y el 40 por ciento de la población son mujeres y que nuestro tamaño de muestra requerido es 10. Eso es 𝑛 minúscula. Para calcular cuántos de estos deben ser hombres y cuántos mujeres, usamos la fórmula 𝑠 minúscula, que es el tamaño de la muestra para cada estrato, es 𝜌 porcentaje por 𝑛, donde 𝜌 es el porcentaje de cada estrato.
Si comenzamos con el número de jugadores masculinos que necesitamos para nuestra muestra, es decir, 𝑠 subíndice 𝑀, esto es 60 por ciento de 10, es decir, 60 dividido por 100 multiplicado por 10. Y dividiendo tanto el numerador como el denominador por 10, y podemos hacer esto una vez más, esto nos da 𝑠 𝑀, que es el número de jugadores masculinos en nuestra muestra, y eso es seis.
Así que ahora podemos hacer el mismo cálculo para las jugadoras, sabiendo que hay un 40 por ciento de mujeres. Y el número de jugadoras en nuestra muestra debe ser 40 dividido por 100 multiplicado por 10. Y tenemos cuatro jugadoras en nuestra muestra de 10. Y así, en nuestra muestra estratificada de 10 miembros del club de tenis, una muestra representativa consiste en seis jugadores masculinos y cuatro femeninos.
Veamos ahora un ejemplo en el que vamos a poner a prueba nuestra comprensión de la definición de muestreo aleatorio estratificado.
En cierta encuesta sobre las universidades a las que los estudiantes de secundaria desean ir a estudiar, se seleccionó al azar una muestra de 2000 estudiantes de entre una población de 40000. ¿Se considera esto un muestreo estratificado?
Para responder a esta pregunta, recordemos lo que queremos decir con muestreo aleatorio estratificado o en capas. Este es un método de muestreo que usamos cuando la población consiste en subdivisiones o estratos que no se superponen. Para seleccionar una muestra aleatoria estratificada de una población, tomamos muestras aleatorias de cada estrato que sean proporcionales al tamaño de ese estrato dentro de la población. En este ejemplo, se nos dice que el tamaño de nuestra población es de 40000 y que se seleccionó al azar una muestra de 2000 estudiantes. No tenemos información sobre si la población estaba o no subdividida en estratos. Por lo tanto, debemos suponer que la muestra aleatoria de 2000 estudiantes se seleccionó directamente de una población en la que no había estratos involucrados. Por tanto, no podemos decir que se trata de un muestreo estratificado. Nuestra respuesta debe ser «No, esto no es un muestreo estratificado».
Veamos ahora un ejemplo en el que calculamos el tamaño de la muestra para un estrato.
En un estudio de recursos humanos sobre los salarios en una determinada empresa con 1000 empleados, los empleados fueron divididos en hombres y mujeres. Si el porcentaje total de mujeres en la empresa era del 60 por ciento y se seleccionó una muestra de 40 personas, ¿cuál fue el número de hombres en la muestra?
Como la población, es decir, los empleados de la empresa, se subdivide naturalmente en dos estratos, es decir, hombres y mujeres, utilizamos muestreo aleatorio estratificado o en capas como nuestro método de muestreo. Esto significa que cualquier muestra debe reflejar las proporciones de los estratos dentro de la población. Nos dicen que el 60 por ciento de los empleados eran mujeres. Se seleccionó una muestra de 40 personas. Así que el 60 por ciento de esas 40 personas deben ser mujeres.
Como los empleados están divididos en dos estratos, hombres y mujeres, si el 60 por ciento son mujeres, 100 menos 60 por ciento deben ser hombres. Es decir, el 40 por ciento de los empleados deben ser hombres. Esto a su vez significa que también el 40 por ciento de la muestra deben ser hombres. Y para calcular el número de hombres en nuestra muestra, usamos la fórmula 𝑠 es igual a 𝜌 por ciento por 𝑛, donde 𝑠 minúscula es el tamaño de la muestra del estrato. 𝜌 es el porcentaje del estrato con respecto a la población. Y 𝑛 es el tamaño total de la muestra. En nuestro caso, el tamaño del estrato para los hombres es 40 por ciento por 40, que es el tamaño de la muestra, es decir, 40 dividido por 100 por 40.
Ahora podemos dividir tanto el numerador como el denominador por 10. Y, dividiendo una vez más el numerador y el denominador por 10, obtenemos en nuestro numerador cuatro multiplicado por cuatro, que es 16. Por lo tanto, el número de hombres en la muestra es 16.
Veamos otro ejemplo.
Ethan necesita realizar un estudio para determinar si a los alumnos de su escuela les gusta jugar al fútbol. Decide dividir a los alumnos en dos grupos, niños y niñas, sabiendo que la escuela tiene un total de 200 alumnos, 80 de los cuales son niñas. Si Ethan decide que el tamaño de su muestra será de 50, ¿cuántas niñas debe seleccionar para el estudio?
Como la población de alumnos está dividida en dos grupos que no se solapan, es decir, niños y niñas, el método de muestreo apropiado es el muestreo aleatorio estratificado o en capas. Una muestra aleatoria estratificada es una muestra que consta de muestras aleatorias recogidas de distintos grupos o estratos dentro de la población. El tamaño de la muestra para cada estrato ha de reflejar la proporción de ese estrato con respecto a toda la población.
Para calcular el tamaño de la muestra para un estrato particular, es decir, 𝑠 minúscula, usamos la fórmula 𝑠 minúscula es igual a 𝑆 mayúscula, que es el tamaño del estrato, dividido por el tamaño de la población, 𝑁 mayúscula, multiplicado por 𝑛 minúscula, que es el tamaño total de la muestra. En nuestro caso, tenemos un total de 200 alumnos, por lo que 𝑁 mayúscula es 200. Sabemos que tenemos 80 niñas, por lo que 𝑆 mayúscula es igual a 80 y que el tamaño de la muestra de Ethan es 50. Es decir, 𝑛 minúscula es igual a 50. Y nuestro tamaño de muestra para niñas es 80 sobre 200 multiplicado por 50, es decir, 80 niñas dividido por una población de 200 multiplicado por el tamaño de muestra 50. Podemos dividir el numerador y el denominador por 50 y dividir además el numerador y el denominador por cuatro, lo que nos da 20. Por lo tanto, Ethan habrá de seleccionar a 20 niñas para su estudio.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a aplicar un muestreo aleatorio estratificado o en capas a una población que ha sido dividida en tres subgrupos.
Un científico decide realizar una encuesta sobre el efecto de un determinado medicamento en una ciudad de 100 000 habitantes. Los divide en tres grupos según donde residen: centro de la ciudad, semiperiferia y suburbios. Hay 10 000 personas en los suburbios y 30 000 personas en la periferia. Si el científico decide tomar una muestra de 1000 personas, ¿cuántas personas de los suburbios deben incluirse?
Como la ciudad está dividida en tres grupos o estratos distintos, un método de muestreo apropiado es el muestreo aleatorio estratificado o en capas. Recuerda que una muestra aleatoria estratificada es aquella que combina un número de muestras aleatorias separadas tomadas de distintos grupos dentro de la población. El tamaño de la muestra de cada grupo refleja la proporción de ese grupo o estrato dentro de la población.
Para calcular el tamaño de la muestra para cada estrato, usamos la fórmula 𝑠 minúscula, que es el tamaño de la muestra del estrato individual, es igual a 𝑆 mayúscula, que es el tamaño del estrato, dividido por 𝑁, que es el tamaño de la población, multiplicado por 𝑛 minúscula, que es el tamaño total de la muestra. En nuestro caso, el tamaño de nuestra población es 100 000. Eso es 𝑁 mayúscula. Estamos interesados en saber cuántas personas de los suburbios debe haber en nuestra muestra. Y nos dicen que hay 10 000 personas en los suburbios. Así que 𝑆 mayúscula es igual a 10000. Nuestro tamaño de muestra general de la población es de 1000 personas, por lo que 𝑛 minúscula es de 1000. En nuestra fórmula, el tamaño de la muestra para los suburbios es 10 000 dividido por 100 000 multiplicado por 1000, es decir, el tamaño del estrato dividido por el tamaño de la población multiplicado por el tamaño total de la muestra.
Podemos dividir el numerador y el denominador por 1000 y luego nuevamente por 100. Y tenemos que el tamaño de la muestra de personas de los suburbios es 100. Así que, para una muestra de 1000 personas, 100 de ellas deberán ser de los suburbios.
Completemos esta lección recordando algunos de los puntos clave sobre el muestreo aleatorio estratificado. El muestreo aleatorio estratificado es un método de muestreo que se utiliza cuando la población se puede dividir en distintos grupos o estratos. Una muestra representativa combina muestras aleatorias, una de cada estrato, donde el tamaño de la muestra refleja la proporción del estrato dentro de la población. Para una población de 𝑁 individuos y un tamaño de muestra general de 𝑛 minúscula, el tamaño de muestra 𝑠 para cada estrato viene dado por 𝑠 minúscula igual a 𝑆 mayúscula sobre 𝑁 mayúscula multiplicada por 𝑛 minúscula, donde 𝑆 mayúscula es el número de elementos en el estrato individual. Alternativamente, si nos dan el porcentaje de población en un estrato particular, es decir, 𝜌 por ciento, el tamaño de la muestra para ese estrato individual, que es 𝑠 minúscula, es 𝜌 por ciento multiplicado por 𝑛, que es el tamaño total de la muestra.
