Vídeo: Demostrar que los paralelogramos son rectángulos

Un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 tiene vértices 𝐴 (−5, 5), 𝐵 (9, 3), 𝐶 (8, −4) y 𝐷 (−6, −2). Calcula la longitud de 𝐴𝐶. Da una respuesta exacta. Calcula la longitud de 𝐵𝐷. Da una respuesta exacta. Por lo tanto, indica si el paralelogramo es un rectángulo o no.

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Transcripción del vídeo

Un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 tiene vértices 𝐴: menos cinco, cinco; 𝐵: nueve, tres; 𝐶: ocho, menos cuatro; y 𝐷: menos seis, menos dos. Primero, calcula la longitud de 𝐴𝐶. Da una respuesta exacta. Luego, calcula la longitud de 𝐵𝐷. Da una respuesta exacta. Por lo tanto, indica si el paralelogramo es un rectángulo o no.

Se nos han dado las coordenadas de los cuatro vértices de un paralelogramo y se nos ha pedido que calculemos las longitudes de 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷, que son las diagonales del paralelogramo. Para resolver el problema, tenemos que usar la fórmula de la distancia, que nos dice cómo calcular la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas. Vamos a recordar su definición.

La distancia 𝑑 entre dos puntos con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos está dada por la raíz cuadrada de 𝑥 dos menos 𝑥 uno al cuadrado más 𝑦 dos menos 𝑦 uno al cuadrado. Esto es una aplicación del teorema de Pitágoras, en el que 𝑥 dos menos 𝑥 uno y 𝑦 dos menos 𝑦 uno son las longitudes de los catetos horizontal y vertical de un triángulo rectángulo, y 𝑑 es la longitud del tercer lado, la hipotenusa.

Para hallar la longitud de 𝐴𝐶, en primer lugar, tenemos que sustituir las coordenadas de 𝐴 y 𝐶 en la fórmula de la distancia. Así, tenemos que 𝑑 uno es igual a la raíz cuadrada de ocho menos menos cinco al cuadrado más menos cuatro menos cinco al cuadrado. Esto es igual a la raíz cuadrada de 13 al cuadrado más menos nueve al cuadrado. 13 al cuadrado es 169. Y menos nueve al cuadrado es 81. Así que tenemos la raíz cuadrada de 169 más 81, que es igual a la raíz cuadrada de 250. El problema nos pide que demos una respuesta exacta para la longitud de 𝐴𝐶. Así que vamos a dejarlo en términos de un número irracional, la raíz cuadrada de 250.

Ahora vamos a calcular la longitud de 𝐵𝐷 sustituyendo las coordenadas de los vértices 𝐵 y 𝐷 en la fórmula de la distancia. Tenemos que 𝑑 dos es igual a la raíz cuadrada de menos seis menos nueve al cuadrado más menos dos menos tres al cuadrado. Esto equivale a la raíz cuadrada de menos 15 al cuadrado más menos cinco al cuadrado. Menos 15 al cuadrado es igual a 225. Y menos cinco al cuadrado es igual a 25. Así que tenemos la raíz cuadrada de 225 más 25, que se simplifica a la raíz cuadrada de 250.

Ya hemos hallado las longitudes de 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷. Te habrás dado cuenta, seguro, de que son iguales. Ambas equivalen a la raíz cuadrada de 250. ¿En qué nos ayuda esto a resolver la última parte del problema? Bueno, recordemos que 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷 son las diagonales de este paralelogramo. Una propiedad clave de los rectángulos, que no se cumple para los otros paralelogramos, es que sus diagonales son iguales. Por lo tanto, puesto que las diagonales de este paralelogramo tienen la misma longitud, 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo.

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