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En este video, vamos a aprender cómo usar el método de Euler para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales. Cuando no podemos resolver una ecuación diferencial por métodos analíticos, tenemos que usar métodos numéricos. Desde un punto de partida dado, se trata de aplicar procesos repetitivos para aproximar una solución de nuestra ecuación diferencial. El método de Euler es uno de esos procesos. Vamos a comenzar por recordar el significado de algunos de los términos que usaremos. Luego veremos cómo se formula el método de Euler y cómo funciona por medio de algunos ejemplos.
Recuerda que una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas. Una ecuación diferencial de primer orden contiene solo la primera derivada d𝑦 sobre d𝑥. Y para una función desconocida 𝑦, tenemos la pendiente de 𝑦 en términos de la función 𝑓, que puede ser una función de 𝑥 y 𝑦, una función solamente de 𝑥 o una función solamente de 𝑦. Y nos podrían pedir que resolvamos la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦 con la condición inicial 𝑥 cero, 𝑦 cero. Esto significa que nuestro punto de partida es el punto 𝑥 cero, 𝑦 cero. Y debemos usar esto para encontrar la función 𝑦 de 𝑥. Cuando hacemos esto numéricamente, usamos el punto 𝑥 cero, 𝑦 cero para obtener el valor de 𝑦 uno, que luego usamos para hallar 𝑦 dos con nuestra ecuación diferencial y así sucesivamente hasta llegar a 𝑦 𝑛. Esto nos da nuestra aproximación de la función 𝑦 de 𝑥.
En el método de Euler, hacemos esto usando una sucesión de rectas tangentes para construir nuestra solución como una línea poligonal. Como usamos rectas tangentes, debemos tener en cuenta nuestra ecuación diferencial, pero debemos usar también algunos hechos importantes de las rectas. Supongamos que tenemos una recta que pasa por los puntos 𝑥 cero, 𝑦 cero y 𝑥 uno, 𝑦 uno. La pendiente de esta recta 𝑚 es igual a 𝑦 uno menos 𝑦 cero partido por 𝑥 uno menos 𝑥 cero. Reorganizando esto tenemos 𝑦 uno menos 𝑦 cero es igual a 𝑚 por 𝑥 uno menos 𝑥 cero. Esto nos da 𝑦 uno igual a 𝑦 cero más 𝑚 por 𝑥 uno menos 𝑥 cero. Si volvemos a nuestra ecuación diferencial, sabemos que la pendiente de 𝑦, d𝑦 por d𝑥, es igual a 𝑓 de 𝑥 𝑦, de modo que en el punto 𝑥 cero, 𝑦 cero, la pendiente 𝑚 es igual a 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero. Y para nuestra recta que pasa por los puntos 𝑥 cero, 𝑦 cero y 𝑥 uno, 𝑦 uno, tenemos 𝑦 uno igual a 𝑦 cero más 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero por 𝑥 uno menos 𝑥 cero.
Y, si llamamos a la diferencia entre 𝑥 cero y 𝑥 uno ℎ, tenemos 𝑦 uno igual a 𝑦 cero más ℎ por 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero. Por tanto, podemos calcular el valor de 𝑦 uno conociendo 𝑦 cero, ℎ y 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero. Veamos cómo funciona esto en una gráfica de la función 𝑦. Tenemos nuestro punto de partida en la gráfica 𝑦 de 𝑥, que es 𝑥 cero, 𝑦 cero. Dibujamos una recta tangente a la curva en 𝑥 cero, 𝑦 cero. Y sabemos que la pendiente de esta recta es 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero. Si continuamos esta recta hasta donde la vertical interseca 𝑥 uno, que es la distancia ℎ desde 𝑥 cero, esto nos da el valor 𝑦 uno. Si dibujamos una tangente a la curva 𝑦 en el punto 𝑥 uno, 𝑦 uno, esta tangente tiene la pendiente 𝑓 de 𝑥 uno, 𝑦 uno. Si esta tangente se encuentra con la vertical en 𝑥 dos, que es la distancia ℎ de 𝑥 uno, podemos encontrar 𝑦 dos, en términos de 𝑦 uno, ℎ y 𝑓 de 𝑥 uno, 𝑦 uno.
Si continuamos de esta manera por un número determinado de pasos 𝑛 hasta 𝑥 𝑛, en un paso de tamaño específico ℎ hallamos que 𝑦 𝑛 es igual a 𝑦 𝑛 menos uno más ℎ por 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno, 𝑦 𝑛 menos uno. Y de esta forma, hallamos una aproximación de 𝑦 de 𝑓 𝑥 que es una solución a la ecuación diferencial. Es importante recordar que en realidad estamos aproximando una solución a la ecuación diferencial dada. Si nuestro tamaño de paso es bastante grande, nuestra aproximación podría estar bastante lejos de la solución real 𝑦 de 𝑥. Podemos aumentar la precisión de nuestra solución disminuyendo el tamaño del paso. Veamos un ejemplo de cómo funciona esto.
Considera el problema de valor inicial 𝑦 prima igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦, donde 𝑦 en 𝑥 igual a cero es menos uno. Usa el método de Euler con 𝑛 igual a cinco pasos en el intervalo cerrado cero, uno para hallar el valor de 𝑦 en 𝑥 igual a uno.
Nod han dado, pues, una ecuación diferencial 𝑦 prima igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦 y un valor inicial 𝑦 igual a menos uno en 𝑥 igual a cero. Esto significa que nuestro punto de partida para el método de Euler es el punto 𝑥 cero, 𝑦 cero, que es igual a cero, menos uno. También sabemos que tenemos cinco pasos y que nuestro intervalo cerrado cero, uno significa que cero es menor o igual que 𝑥, que es menor o igual que uno. Tenemos 𝑛 igual a cinco y cero menor o igual que 𝑥 menor o igual que uno.
Nos piden usar el método de Euler para hallar el valor de 𝑦 en 𝑥 igual a uno. Para hacer esto, lo primero que tenemos que hacer es obtener el valor de ℎ. Ese es el tamaño de nuestro paso. ℎ es el ancho del intervalo dividido por el número de pasos, en nuestro caso, el intervalo donde hay un valor máximo 𝑥 uno menos el valor mínimo 𝑥 cero que es uno. El número de pasos es cinco. Por lo tanto, nuestro tamaño de paso es uno dividido por cinco. Simplemente esbocemos nuestro intervalo para que podamos referirnos a él a lo largo de nuestros cálculos. Nuestro primer valor 𝑥 es cero, que es 𝑥 cero. Nuestro tamaño de paso es uno sobre cinco, que es 0.2. Nuestro siguiente punto 𝑥 uno es 0.2. Nuestro siguiente valor 𝑥, 𝑥 dos es 0.4, 𝑥 tres es 0.6, 𝑥 cuatro es 0.8 y 𝑥 cinco es uno.
Recordemos que nos piden calcular el valor de 𝑦 en 𝑥 igual a uno. Y eso es 𝑦 de 𝑥 cinco, que es 𝑦 cinco. Así que vamos a usar el método de Euler para calcular 𝑦 cinco. No podemos ir directamente a 𝑦 cinco porque el único valor que tenemos es 𝑥 cero, 𝑦 cero. Así que vamos a comenzar en este punto y vamos a calcular 𝑦 uno, 𝑦 dos, después 𝑦 tres, luego 𝑦 cuatro y, finalmente, 𝑦 cinco. Para usar la fórmula, necesitamos conocer el valor de 𝑥 cero, 𝑦 cero, que es cero, menos uno. Necesitamos saber ℎ, que es 0.2, y necesitamos saber cuál es la función 𝑓 de 𝑥, 𝑦. En nuestra ecuación diferencial, 𝑦 prima, que es d𝑦 sobre d𝑥, es igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦. De modo que, 𝑓 de 𝑥 𝑦, en nuestro caso, es cuatro 𝑥 menos tres 𝑦.
Sabemos que 𝑦 cero es igual a menos uno. Y podemos usar esto para hallar 𝑦 uno. Y en la fórmula, si 𝑛 es igual a uno, 𝑛 menos uno es igual a cero, de modo que 𝑦 uno es igual a 𝑦 cero más ℎ por 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero. Sabemos que 𝑦 cero era menos uno y que ℎ es 0.2. Necesitamos encontrar 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero. En nuestra ecuación diferencial, 𝑓 de 𝑥 cero, 𝑦 cero es cuatro 𝑥 cero menos tres 𝑦 cero. Y eso es igual a cuatro por cero menos tres por menos uno, que es igual a tres, de modo que 𝑦 uno es igual a menos uno más 0.2 por tres, que es menos 0.4. Y podemos usar 𝑦 uno para calcular 𝑦 dos.
Sabemos que 𝑦 uno es igual a menos 0.4. Y sabemos también que ℎ es 0.2. Así que tenemos que calcular 𝑓 de 𝑥 uno, 𝑦 uno. Eso es igual a cuatro 𝑥 uno menos tres 𝑦 uno. Y dado que 𝑥 uno es 0.2, eso es cuatro por 0.2 menos tres por menos 0.4, que es 0.8 más 1.2 que es dos. 𝑦 dos es igual a menos 0.4 más 0.2 por dos, que es cero. Si ponemos ahora 𝑛 igual a tres en nuestra fórmula, 𝑦 tres es igual a 𝑦 dos más ℎ por 𝑓 de 𝑥 dos 𝑦 dos. Sabemos que 𝑦 dos es igual a cero y ℎ es 0.2. Así que tenemos que calcular 𝑓 de 𝑥 dos 𝑦 dos. Y eso es igual a cuatro 𝑥 dos menos tres 𝑦 dos. Y como 𝑥 dos es 0.4, es cuatro por 0.4 menos tres por cero, que es 1.6. Tenemos 𝑦 tres igual a cero más 0.2 por 1.6, que es 0.32.
Con 𝑛 igual a cuatro, tenemos 𝑦 cuatro igual a 𝑦 tres más ℎ por 𝑓 de 𝑥 tres, 𝑦 tres. 𝑓 de 𝑥 tres 𝑦 tres es cuatro 𝑥 tres menos tres 𝑦 tres. Aquí tenemos cuatro por 0.6 menos tres por 0.32 que es 1.44, de modo que 𝑦 cuatro es igual a 0.32 más 0.2 por 1.44 y eso es 0.608. Y, finalmente, con 𝑛 igual a cinco en nuestra fórmula, tenemos 𝑦 cinco igual a 𝑦 cuatro más ℎ por 𝑓 de 𝑥 cuatro 𝑦 cuatro. 𝑓 de 𝑥 cuatro 𝑦 cuatro es igual a cuatro 𝑥 cuatro menos tres 𝑦 cuatro. Y eso es igual a cuatro por 0.8 menos tres por 0.608, que es 1.376, de modo que tenemos 𝑦 cinco igual a 0.608 más 0.2 por 1.376. Y eso es igual a 0.8832. Recordemos que 𝑦 cinco es lo que estamos buscando porque este es el valor de 𝑦 en 𝑥 igual a uno, de modo que 𝑦 de uno es 0.8832.
Tracemos pues nuestra aproximación de la función 𝑦, usando los puntos que hemos encontrado. La gráfica que se muestra es una solución generada por computadora de la ecuación diferencial 𝑦 prima igual a cuatro 𝑥 menos tres 𝑦, con valor inicial 𝑥 cero, 𝑦 cero igual a cero, menos uno. Y estos son los puntos que hemos hallado utilizando el método de Euler para obtener una aproximación a la solución. Si trazamos nuestros puntos en la gráfica, podemos ver que es una muy buena aproximación de la solución generada por computadora.
En nuestro ejemplo siguiente, veremos una derivada, o pendiente, que es una función de 𝑥 solamente. Y después vamos a comparar diferentes soluciones, que han utilizado diferentes tamaños de paso para las aproximaciones.
Considera el problema de valor inicial 𝑦 prima igual a tres 𝑥, siendo 𝑦 igual a uno en 𝑥 igual a cero. Usa el método de Euler con 𝑛 igual a cinco pasos en el intervalo cerrado cero, uno para hallar 𝑦 en 𝑥 igual a uno.
Nos han dado una ecuación diferencial 𝑦 prima igual a tres 𝑥 de modo que 𝑦 prima, que es d𝑦 sobre d𝑥, es igual a tres 𝑥. Tenemos la condición inicial que 𝑦, en 𝑥 igual a cero, es igual a uno, lo que significa que nuestro punto de partida, 𝑥 cero, 𝑦 cero, es cero, uno. Tenemos 𝑛 igual a cinco pasos y el intervalo cerrado cero, uno. Es decir, que cero es menor o igual que 𝑥, que es menor o igual que uno. Y nos piden que usemos el método de Euler para obtener el valor de 𝑦 en 𝑥 igual a uno. Para usar esta fórmula, necesitamos conocer el valor de ℎ, que es el tamaño del paso. El cual está dado por el ancho del intervalo dividido por el número de pasos. En nuestro caso, el ancho del intervalo es el 𝑥 máximo menos el 𝑥 mínimo, que es uno menos cero dividido por el número de pasos, que es cinco. Eso es uno sobre cinco, que es 0.2.
Simplemente esbocemos nuestro intervalo, para que podamos consultarlo durante nuestros cálculos. Como nuestro tamaño de paso es 0.2 y 𝑥 cero es igual a cero, 𝑥 uno es igual a 0.2. Del mismo modo, 𝑥 dos es igual a 0.4, 𝑥 tres es 0.6, y 𝑥 cuatro es 0.8, y 𝑥 cinco, que es nuestro valor máximo es uno. Recordemos que estamos tratando de hallar el valor de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a uno. Y eso es 𝑦 de 𝑥 cinco. Y a eso lo llamamos 𝑦 cinco. Para usar la fórmula, necesitamos saber cuál es nuestra función 𝑓. Y si nos fijamos en nuestra ecuación diferencial, podemos ver que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥, que es tres 𝑥. Y esta es una función de 𝑥 solamente, así que podemos eliminar la segunda variable 𝑦 de nuestra función 𝑓 en la fórmula de Euler, de modo que nuestra fórmula será 𝑦 𝑛 igual a 𝑦 𝑛 menos uno más ℎ por 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno, donde 𝑓 de 𝑥 𝑛 es tres 𝑥 𝑛. Y ahora tenemos todo lo que necesitamos para usar la fórmula.
Sabemos que 𝑦 cero es igual a uno, por lo que podemos usar la fórmula para calcular 𝑦 uno. Y eso es igual a 𝑦 cero más ℎ por 𝑓 de 𝑥 cero. Conocemos el valor de 𝑦 cero, que es uno, y sabemos el valor de ℎ, que es 0.2. Así que necesitamos calcular 𝑓 de 𝑥 cero. Según nuestra ecuación diferencial, eso es igual a tres por 𝑥 cero, que es tres por cero, que es cero, de modo que 𝑦 uno es igual a uno más 0.2 por cero, que es uno. Y podemos usar esto en nuestra fórmula para calcular 𝑦 dos, que es igual a 𝑦 uno más ℎ por 𝑓 de 𝑥 uno. Y tenemos que calcular 𝑓 de 𝑥 uno. Que es igual a tres por 𝑥 uno según nuestra ecuación diferencial. Y a partir de nuestro intervalo, sabemos que 𝑥 uno es igual a 0.2. Obtenemos que tres por 0.2 es igual a 𝑓 de 𝑥 uno, y eso es 0.6.
Por tanto, 𝑦 dos es igual a uno más 0.2 por 0.6 que es igual a 1.12. Usamos esto para encontrar 𝑦 tres, que es 𝑦 dos más ℎ por 𝑓 de 𝑥 dos, donde 𝑓 de 𝑥 dos es tres por 𝑥 dos y 𝑥 dos es 0.4, de modo que 𝑓 de 𝑥 dos es 1.2. 𝑦 tres es 1.12 más 0.2 por 1.2, que es 1.36. Usamos esto para calcular 𝑦 cuatro, que es 𝑦 tres más ℎ por 𝑓 de 𝑥 tres y 𝑓 de 𝑥 tres es tres por 𝑥 tres. De nuestro intervalo obtenemos que 𝑥 tres es 0.6. Eso es tres por 0.6, que es 1.8. Y tenemos 𝑦 cuatro igual a 1.36 más 0.2 por 1.8, que es 1.72. Usamos esto en nuestro paso final para calcular 𝑦 cinco, donde 𝑦 cinco es igual a 𝑦 cuatro más ℎ por 𝑓 de 𝑥 cuatro, que es tres 𝑥 cuatro. Y sabiendo que 𝑥 cuatro es 0.8 de nuestro intervalo, 𝑓 de 𝑥 cuatro es tres por 0.8, que es 2.4. 𝑦 cinco es igual a 1.72 más 0.2 por 2.4, que es 2.2. Recuerda que 𝑦 cinco es igual a 𝑦 en 𝑥 igual a uno, que acabamos de calcular como 2.2. 𝑦 en 𝑥 igual a uno es 2.2.
En nuestro ejemplo, nos dieron 𝑛 igual a cinco pasos en el intervalo cerrado cero, uno. Esto dio como resultado un tamaño de paso de 0.2. A partir de un punto inicial 𝑥 cero, 𝑦 cero, que es igual a cero, uno, hemos calculado todos los pasos hasta 𝑥 cinco, 𝑦 cinco y llegamos al punto uno, 2.2. La gráfica proporciona una solución generada por computadora para la ecuación diferencial y nuestra solución aproximada con los cinco puntos que hemos calculado. Veamos qué sucede si disminuimos el tamaño del paso. Con 𝑛 igual a 10 el tamaño de paso es de 0.1, y tenemos cinco puntos extra. En nuestra gráfica, podemos ver que la aproximación con el tamaño de paso más pequeño está más cerca de la solución generada por computadora. Por lo tanto, cuando el tamaño del paso es más pequeño, la solución aproximada está más cerca de la solución real, aunque debemos tener en cuenta que necesitamos hacer más iteraciones en nuestro cálculo.
Resumamos lo que hemos aprendido sobre el método de Euler. Hemos usado el método de Euler para ecuaciones diferenciales de primer orden, hemos visto que es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥, 𝑦, o d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥, o d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑓 de 𝑦. Para resolverla, se nos da un valor inicial, que es 𝑦 en 𝑥 igual a 𝑥 cero. Y eso es igual a 𝑦 cero, de modo que desde nuestro punto de partida 𝑥 cero, 𝑦 cero, tenemos que avanzar 𝑛 pasos en el intervalo desde 𝑥 cero hasta 𝑥 𝑛. Utilizamos la fórmula 𝑦 𝑛 igual a 𝑦 𝑛 menos uno más ℎ por 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno 𝑦 𝑛 menos uno para hallar valores sucesivos de 𝑦, y formar así una aproximación a la solución 𝑦 de 𝑥. ℎ es el tamaño del paso, que es el ancho del intervalo dividido por el número de pasos. Y sabemos que cuanto más pequeño es el tamaño ℎ del paso, más precisa es la aproximación. Pero esto significa también que serán necesarias más iteraciones.
