Vídeo: Funciones compuestas

En este vídeo vamos a aprender cómo formar una función compuesta combinando dos o más funciones lineales, cuadráticas, exponenciales o radicales.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo formar una función compuesta combinando dos o más funciones lineales, cuadráticas, exponenciales o radicales. En primer lugar, vamos a explicar lo que es una función compuesta y lo que representa. Seguidamente, veremos una serie de ejemplos en los que tendremos que hallar la expresión general para una función compuesta y calcularla para valores particulares. También aprenderemos cómo hallar el dominio de una función compuesta. Para mejor aprovechar este vídeo, es recomendable que estés familiarizado con la notación de funciones y que conozcas la definición de dominio y de recorrido de una función.

Entonces, ¿qué es en realidad una función compuesta? Usemos un ejemplo práctico para explicarlo. Imagina que vas a una tienda en la que se ofrece un 20 por ciento de descuento. Y, además, tienes un vale de 10 libras de descuento que te han regalado por tu cumpleaños. Echas un vistazo por la tienda y decides comprar un artículo de 150 libras. Veamos cómo se van a aplicar los descuentos. En la mayoría de las tiendas, el procedimiento se basa en que el dependiente aplica primero el 20 por ciento de descuento. Por lo tanto, el artículo que vas a comprar, que al inicio costaba 150 libras, ahora costará el 80 por ciento de esto. Y podemos calcular el 80 por ciento de cualquier cantidad multiplicando por el número decimal 0.8. De esta forma obtenemos que, después del 20 por ciento de descuento, tu artículo cuesta 120 libras.

A continuación entregarás el vale de regalo, y el dependiente descontará 10 libras de este precio. Así que el precio final que deberás pagar es 110 libras. Cada uno de estos descuentos puede representarse mediante funciones. Supongamos que 𝑥 representa el precio de un artículo. Entonces, la función 𝑓 de 𝑥 igual a 0.8𝑥 puede usarse para representar un 20 por ciento de descuento, pues esta función calcula el 80 por ciento de un valor original. La función 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 menos 10 puede usarse para representar un descuento de 10 libras. Cuando aplicamos el 20 por ciento de descuento, aplicamos la función 𝑓 de 𝑥. Y cuando descontamos las 10 libras, aplicamos la función 𝑔 de 𝑥 al resultado.

Lo que hemos hecho aquí ha sido aplicar una función compuesta, o sea, la función denotada como 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Tomamos un valor 𝑥, aplicamos la función 𝑓, y luego aplicamos la función 𝑔 al resultado. La notación para expresar esto es la que ves en pantalla. A veces ponemos un circulito — que se lee compuesto con — entre las letras que representan las funciones, aunque a menudo lo verás sin este círculo. Bien, pues esa es la lógica detrás de las funciones compuestas. Aplicamos una función y luego aplicamos otra función al resultado. Veamos un ejemplo para practicar con este tipo de funciones.

Siendo 𝑓 de 𝑥 igual a tres menos 𝑥 al cuadrado y 𝑔 de 𝑥 igual a dos 𝑥 más cuatro, halla 𝑓 de 𝑔 de uno.

Aclaremos primero qué significa la notación que aparece en el enunciado. 𝑓 de 𝑔 de uno se refiere a la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 calculada en 𝑥 igual a uno. Como ya hemos dicho, hay veces en las que también nos podemos encontrar con un circulito entre las dos letras. Debemos acordarnos de que la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 significa la función que obtenemos cuando aplicamos 𝑔 primero y luego aplicamos 𝑓 al resultado. No es el producto de las funciones 𝑓 y 𝑔. Veamos dos formas de resolver este problema. En el primer método vamos a sustituir 𝑥 por uno antes de componer. Y vamos a hallar 𝑔 de uno y luego vamos calcular 𝑓 para este valor. 𝑔 de 𝑥 es la función dos 𝑥 más cuatro, así que 𝑔 de uno será dos multiplicado por uno más cuatro, que es seis.

Ahora vamos a tomar este valor y vamos a calcular la función 𝑓. De esta forma, 𝑓 de 𝑔 de uno se convierte en 𝑓 de seis. 𝑓 de 𝑥 es la función tres menos 𝑥 al cuadrado, así que 𝑓 de seis será tres menos seis al cuadrado. Eso es tres menos 36, que es menos 33. En este método primero hemos calculado 𝑔 de uno, y luego hemos tomado esto como la entrada de la segunda función. Lo que hemos hecho, en resumidas cuentas, es hallar que 𝑓 de 𝑔 de uno es igual a menos 33. El segundo método que podemos aplicar es hallar una expresión algebraica general para la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 y luego calcular su valor en 𝑥 igual a uno. En este caso particular este método puede parecer más complicado, pero este procedimiento nos puede ser muy útil en los casos en los que hemos de hallar 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 para múltiples valores distintos de 𝑥.

Veamos pues cómo sería esto. Queremos hallar la función general compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Recuerda que 𝑔 de 𝑥 es la función dos 𝑥 más cuatro. Así que hemos de sustituir 𝑔 de 𝑥 por dos 𝑥 más cuatro, y hallar la función 𝑓 de dos 𝑥 más cuatro. Lo que hacemos es utilizar la expresión dos 𝑥 más cuatro como el argumento de la función 𝑓. 𝑓 de 𝑥 es la función tres menos 𝑥 al cuadrado. Así que 𝑓 de dos 𝑥 más cuatro es la función tres menos dos 𝑥 más cuatro todo al cuadrado. Podemos mantener nuestra función compuesta expresada en esta forma o desarrollar los paréntesis y simplificar, como queramos. Si desarrollamos, obtenemos que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 es igual a menos cuatro 𝑥 al cuadrado menos 16𝑥 menos 13.

Ya tenemos una expresión general para 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Pero acuérdate de que nos han pedido que calculemos esto en 𝑥 igual a uno. Así que todo lo que tenemos que hacer ahora es sustituir 𝑥 igual por uno. Y obtenemos menos 4 menos 16 menos 13, que es igual a menos 33, la misma respuesta que obtuvimos con el método anterior. Así que en ambos casos hemos hallado que 𝑓 de 𝑔 de uno es igual a menos 33. El primer método es probablemente más sencillo para esta cuestión. Pero si tuviéramos que calcular 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 para múltiples valores de 𝑥, entonces el segundo método nos sería más útil.

Ahora que hemos aprendido cómo componer funciones, puede que te estés preguntando si el orden en que se aplican las funciones importa. Es decir, ¿es la función 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 la misma que la función 𝑔 de 𝑓 de 𝑥? Veamos un ejemplo práctico para averiguarlo. Volvamos al caso del principio, en el que tienes un vale de 10 libras que vas a gastar en una tienda que tiene una rebaja del 20 por ciento. Anteriormente vimos que podíamos representar estos dos descuentos como funciones. 𝑓 de 𝑥 es igual a 0.8𝑥 y 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑥 menos 10. También vimos que si compramos un artículo que cuesta 150 libras, entonces si el descuento del 20 por ciento se aplica antes del vale de 10 libras, este artículo costará 110 libras.

Esto puede representarse por la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 es la función 0.8𝑥, así que esto sería 𝑔 de 0.8𝑥. Así que tomamos 0.8𝑥 como la entrada de la función 𝑔 de 𝑥. Restamos 10 de esto, y obtenemos que 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 0.8𝑥 menos 10. Supongamos, en cambio, que el dependiente de la tienda aplicó primero el descuento del vale de 10 libras antes de aplicar la rebaja del 20 por ciento. Un descuento de 10 libras respecto a 150 libras nos da un resultado de 140 libras, y luego el 80 por ciento de 140 o 0.8 por 140 es 112. Por lo tanto, en este caso, el artículo te costaría 112 libras.

Fíjate en que el resultado cambia cuando el orden en el que se aplican los descuentos cambia. Todo el procedimiento puede representarse por la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Primero, aplicamos 𝑔 de 𝑥, o sea, restamos 10 al precio. Seguidamente aplicamos 𝑓 a esto. 𝑓 de 𝑥 es la función 0.8𝑥, así que 𝑓 de 𝑥 menos 10 es 0.8 multiplicado por 𝑥 menos 10 o 0.8𝑥 menos ocho. De esta forma, vemos que las funciones compuestas 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 y 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 no dan el mismo resultado. 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 es 0.8𝑥 menos 10 y 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 es 0.8𝑥 menos ocho. Por lo tanto, sí hay una diferencia cuando se altera el orden en que se aplican los descuentos. Así que el orden sí es relevante cuando hablamos de composición de funciones.

Ahora bien, hay algunos casos especiales en los que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 puede ser igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, por ejemplo si las funciones son inversas entre sí. Y ocurre en muchos casos que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 es igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 para valores particulares de 𝑥, pero no para todos los valores de 𝑥. Así pues, podemos decir que, en general, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 no es igual a 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Y por lo tanto, debemos tener mucho cuidado a la hora de decidir el orden en que componemos las funciones. Venga, veamos un par de ejemplos más.

En la figura siguiente, la gráfica roja representa la función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, mientras que la gráfica azul representa la función 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑥. ¿Cuánto vale 𝑓 de 𝑔 de dos?

En primer lugar nos acordamos de que la notación 𝑓 de 𝑔 de dos significa que hemos de hacer 𝑥 igual a dos aplicar a este valor la función 𝑔, y luego aplicar la función 𝑓 al resultado. Comencemos hallando el valor de 𝑔 de dos. Recuerda que 𝑔 está representada por la gráfica azul. Hallamos el dos en el eje de las 𝑥, nos vamos a la gráfica azul ⁠— este punto de aquí⁠ — y vemos que el valor de 𝑦, que será 𝑔 de dos, es uno. Así que, si aplicamos 𝑔 de 𝑥 al valor dos, obtenemos el valor uno. Ahora vamos a aplicar la función 𝑓 al resultado. 𝑓 de 𝑔 de dos se convierte en 𝑓 de uno. Hemos sustituido 𝑔 de dos por el valor uno que hemos hallado.

Ahora volvemos a la figura y nos fijamos en la gráfica roja. Localizamos uno en el eje de las 𝑥, subimos en vertical a la gráfica roja — este punto de aquí — y vemos que el valor 𝑦, que corresponde a 𝑓 de uno, es tres. Así que obtenemos que 𝑔 de dos es uno, y luego 𝑓 de 𝑔 de dos, que es 𝑓 de uno, es tres. Muy bien, ya hemos resuelto el problema. Ahora vamos a explorar un punto importante: supongamos que hacemos esto en el orden opuesto. Imagina que pensamos que 𝑓 de 𝑔 de dos significa que aplicamos la función 𝑓 primero.

Bueno, si nos fijamos en el dos en el eje de las 𝑥 y nos desplazamos hacia arriba a la gráfica roja de 𝑓, vemos que 𝑓 de dos es igual a cuatro. Si luego aplicamos la función 𝑔 al resultado, que en la notación correcta sería 𝑔 de 𝑓 de dos, que es 𝑔 de cuatro. Hallamos el cuatro en el eje de las 𝑥, nos desplazamos hacia arriba a la gráfica azul, y vemos que el valor de 𝑦 aquí es cuatro. 𝑔 de 𝑓 de dos es por lo tanto cuatro, mientras que 𝑓 de 𝑔 de dos es tres. Y así, vemos que el orden es muy importante cuando estamos componiendo funciones. La respuesta correcta, 𝑓 de 𝑔 de dos, es tres.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo determinar el dominio de una función compuesta.

Siendo la función 𝑓 de 𝑥 igual a 17 sobre 𝑥, donde 𝑥 no es igual a cero, y la función 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado menos 361, determina el dominio de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.

En primer lugar, debes recordar que esta notación, 𝑓, un circulito y luego 𝑔 de 𝑥, significa la función compuesta que hallamos cuando aplicamos la función 𝑔 primero y luego aplicamos la función 𝑓 al resultado. Se nos ha pedido que determinemos el dominio de esta función compuesta. Y como sabemos, el dominio de una función es el conjunto de todos los valores sobre los que actúa la función. Fíjate en que, en la definición de la función 𝑓 de 𝑥, se nos dice que la función es válida para 𝑥 distinto de cero. Esto es así porque, si intentáramos calcular 𝑓 de cero, obtendríamos 17 sobre cero, que es indefinido. Por lo tanto, el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 son todos los números reales excepto cero.

Para la función 𝑔 de 𝑥, no se han dado restricciones porque no hay valores que nos den problemas. Podemos elevar al cuadrado cualquier valor y luego restar 361 sin entrar en ningún tipo de conflicto. Veamos dos formas distintas de abordar esta cuestión. La primera se basa en hallar una expresión algebraica para la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. Así que empezamos con un valor de 𝑥, aplicamos la función 𝑔 de 𝑥, que nos dará 𝑥 al cuadrado menos 361, y luego usamos esto como el argumento de la función 𝑓. 𝑓 de 𝑥 es la función en la que dividimos 17 por nuestro argumento. Así que 𝑓 de 𝑥 al cuadrado menos 361 es 17 sobre 𝑥 al cuadrado menos 361. Así que ya tenemos una expresión general para la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥.

Y esta expresión no tendrá un valor definido cuando el denominador de la fracción sea cero. Eso es cuando 𝑥 al cuadrado menos 361 es igual a cero. Podemos resolver esta ecuación sumando 361 a cada lado y luego calculando la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de 361 es 19, por lo que 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 estará indefinida cuando 𝑥 sea igual a más o menos 19. Esto significa que nuestra función 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 puede actuar sobre todos los valores excepto más o menos 19, por lo que podemos expresar su dominio de dos formas. Podemos escribir que 𝑥 no es igual a más o menos 19. O bien escribir el dominio como el conjunto de todos los números reales menos el conjunto que contiene los dos elementos menos 19 y más 19. Cualquiera de estos dos tipos de notación funciona perfectamente.

Otra forma de abordar la cuestión que nos ocupa es aplicando el hecho de que nuestra segunda función 𝑓 de 𝑥 no puede actuar en el valor cero. Si el valor de 𝑓 de cero no está definido, entonces esto significa que la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 estará indefinida cuando 𝑔 de 𝑥 sea igual a cero. Es decir, cuando la primera función da el valor cero, que es la función que luego introducimos en nuestra segunda función. 𝑔 de 𝑥 es la función 𝑥 al cuadrado menos 361. Así que, para hallar dónde es 𝑔 de 𝑥 igual a cero, debemos resolver esta ecuación cuadrática. Pero esto nos lleva a la misma ecuación a la que llegamos con nuestro método anterior. Por lo que cualquiera de estos métodos sería correcto. Y en ambos casos concluimos que el dominio de la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 es el conjunto de todos los números reales menos el elemento menos 19 y el elemento más 19.

Repasemos algunos de los puntos clave que hemos visto en este vídeo. La composición de funciones significa que aplicamos una función a un valor y luego aplicamos otra función al resultado. Podemos representar esto con un diagrama. Si aplicamos la función 𝑓 de 𝑥 seguida de la función 𝑔 de 𝑥, entonces esto puede escribirse como la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. También hemos visto que, para poder componer funciones, el recorrido de la primera función, es decir, sus valores de salida, debe ser un dominio adecuado para la segunda.

Además, hemos visto que el orden en el que componemos las funciones es muy importante. En general, la función compuesta 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 no es igual a la función compuesta 𝑔 de 𝑓 de 𝑥. Es decir, si aplicamos 𝑔 primero y luego aplicamos 𝑓 al resultado, no obtenemos la misma respuesta que si aplicamos 𝑓 primero y luego aplicamos 𝑔 al resultado. Para saber qué función aplicar primero cuando operamos con funciones compuestas, conviene recordar que siempre empezamos operando desde el centro del paréntesis hacia fuera. En el caso de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, empezamos con un valor de 𝑥, aplicamos la función 𝑔 y luego aplicamos la función 𝑓 al resultado. Mientras que en la función 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, empezamos con un valor de 𝑥, aplicamos la función 𝑓 y luego aplicamos la función 𝑔 al resultado.

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