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Operaciones con serie de potencias
En este video vamos a analizar cómo sumar, restar y multiplicar series de potencias. Vamos a discutir cómo encontrar el radio de convergencia de una combinación lineal de series de potencias. También cómo hallar una representación en serie de potencias de una función como una combinación de series de potencias. Finalmente, vamos a examinar qué sucede cuando multiplicamos dos series de potencias.
Para responder a todas estas cuestiones sobre las series de potencias, primero vamos a repasar lo que sabemos sobre las series convergentes. Si tenemos dos series, sumatoria para todo 𝑛 de 𝑎 𝑛 y sumatoria para todo 𝑛 de 𝑏 𝑛, las cuales convergen y tenemos una constante 𝑐, entonces sabemos que la sumatoria para todo 𝑛 de 𝑎 𝑛 más la sumatoria para todo 𝑛 de 𝑏 𝑛 es igual a la sumatoria para todo 𝑛 de 𝑎 𝑛 más 𝑏 𝑛. Y también sabemos que esta serie converge. Del mismo modo, si 𝑐 es una constante, sabemos que cuando sumamos para todo 𝑛 𝑐 multiplicado por 𝑎 𝑛, podemos tomar la constante 𝑐 fuera de nuestra sumatoria. Esto nos da 𝑐 multiplicado por la sumatoria para todo 𝑛 de 𝑎 𝑛. Y esto también converge.
Queremos hacer la pregunta, ¿qué hubiera pasado si en lugar de hablar de series en general, hubiéramos hablado de series de potencias? Recordemos que, cuando hablamos de series de potencias, no decimos que convergen o divergen. En cambio, decimos que tienen lo que llamamos un radio de convergencia. Esto se debe a que 𝑥 es una variable. Es decir, que para cada valor de 𝑥, tenemos una serie de potencias diferente. Y queremos conocer los valores de 𝑥 para los que estas series convergen. Así que vamos a asignar radios de convergencia a nuestras dos series de potencias. Llamémoslos 𝑅 uno y 𝑅 dos.
Y ahora queremos saber qué sucede cuando sumamos nuestras series de potencias. Vamos a hacer esto usando nuestra fórmula para sumar dos series. Vamos a tratar de sumar dos series. El sumando en la primera es 𝑎 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. Y el sumando de la segunda es 𝑏 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. Y nuestra fórmula nos dice que cuando estas series convergen, nos basta con sumar los términos en la misma posición. De modo que podemos usar esta fórmula para cualquier valor de 𝑥 para el cual nuestras dos series converjan. Esto nos da la suma para todo 𝑎 𝑛 de 𝑎 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 más 𝑏 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. Y podemos factorizar 𝑥 a la 𝑛. Esto nos da suma para todo [𝑛] de 𝑎 𝑛 más 𝑏 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛.
Nos damos cuenta inmediatamente que esta nueva fórmula va a funcionar cuando el valor absoluto de 𝑥 sea menor que el menor de los valores 𝑅 uno y 𝑅 dos. Esto es debido a que si el valor absoluto de 𝑥 es más pequeño que el menor valor de 𝑅 uno y 𝑅 dos, entonces es menor que ambos. Y las dos series de potencias convergen. En este punto, podemos estar tentados de llamar radio de convergencia de la suma de nuestras dos series de potencias al valor más pequeño de 𝑅 uno y 𝑅 dos. Sin embargo, este no es necesariamente el caso.
Para entender por qué hallar el radio de convergencia de una serie no es tan fácil, considera el siguiente ejemplo. La sumatoria para todo 𝑛 de 𝑥 a la 𝑛 dividido por 𝑛 converge cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que uno. De igual manera, la sumatoria para todo 𝑛 de menos 𝑥 a la 𝑛 sobre 𝑛 también es convergente cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que uno. Sin embargo, sumar estas dos series de potencias nos da la sumatoria de uno sobre 𝑛 menos uno sobre 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. Lo cual se simplifica dándonos la sumatoria para todo 𝑛 de cero, que converge para todos los valores de 𝑥.
Podemos usar esta fórmula para sumar dos series de potencias. No obstante, tendremos que trabajar un poco más para determinar el radio de convergencia de nuestra nueva serie de potencias. Tendremos que usar técnicas como la inspección, el criterio de d'Alembert, o el criterio de la integral para hallar nuestro nuevo radio de convergencia. Veamos un ejemplo.
Supongamos que la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es el intervalo abierto desde menos tres a tres. Y sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es el intervalo abierto desde menos cinco hasta cinco. Halla el intervalo de convergencia de la serie sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 menos 𝑏 por 𝑛 𝑥 a la 𝑛. Y encuentra el [intervalo] de convergencia de la serie, sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 dos a la 𝑛 por 𝑥 a la a la 𝑛.
La cuestión nos pide hallar el intervalo de convergencia para dos series de potencias diferentes. Recordemos que el intervalo de convergencia es el intervalo que contiene todos los valores de 𝑥 en los que nuestra serie converge. Ambas series convergen para 𝑥 tales que su valor absoluto es menor que el número más pequeño de entre tres y cinco. Como estamos sumando dos series de potencias convergentes, podemos combinar los sumandos tal y como haríamos con cualquier serie convergente. Esto nos da sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 menos 𝑏 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛, y esta serie converge cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que el más pequeño de entre tres y cinco.
Así hemos demostrado que la serie de potencias converge cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que tres. Pero ¿qué sucede cuando es igual a tres? Y ¿qué sucede cuando es mayor que tres? Consideremos el caso cuando el valor absoluto de 𝑥 es igual a tres. Y asumamos que nuestras series son convergentes. Como el valor absoluto de 𝑥 es igual a tres, la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 también debe converger porque su radio de convergencia es cinco. ¿Qué pasaría si intentamos sumar estas dos series? Hemos asumido que nuestra primera serie de potencia convergerá cuando el valor absoluto de 𝑥 sea igual a tres. Y si el valor absoluto de 𝑥 es igual a tres, esto es menor que cinco. Nuestra segunda serie de potencias también ha de converger.
Esto significa que estamos sumando dos series de potencias que convergen. Así que podemos sumar los coeficientes de 𝑥 a la 𝑛. Vemos que menos 𝑏 𝑛 y 𝑏 𝑛 se cancelan. Entonces, simplificando, obtenemos la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. No obstante, la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 convergirá solo cuando el valor absoluto de 𝑥 es menor que tres. Así que esta serie debe divergir. La única forma en que esto podría suceder es si la sumatoria para todo 𝑛 de 𝑎 𝑛 𝑥 a la 𝑛 menos 𝑏 𝑛 𝑥, 𝑏 𝑛 𝑥 a la 𝑛 es divergente cuando el valor absoluto de 𝑥 es igual a tres.
Por lo tanto, como ni tres ni menos tres están en nuestro intervalo de convergencia, hemos demostrado que la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 𝑥 a la 𝑛 menos 𝑏 𝑛 𝑥 a la 𝑛 tiene como intervalo de convergencia el intervalo abierto desde menos tres hasta tres. Hagamos algo de espacio aquí y trabajemos para hallar el otro intervalo de convergencia.
Sea la función 𝑓 de 𝑥 igual a la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 𝑥 a la 𝑛. Y esto estará bien definido cuando el valor absoluto de 𝑥 sea menor que cinco. Queremos que esta serie de potencias tenga una forma como la que nos dieron en la cuestión. Vamos a comenzar multiplicando y dividiendo nuestros sumandos por dos a la 𝑛. Después, podemos utilizar la ley de los exponentes para obtener que un medio a la 𝑛 multiplicado por 𝑥 a la 𝑛 es igual a 𝑥 sobre dos todo elevado a la 𝑛. Queremos que nuestros sumandos tengan 𝑥 a la 𝑛 en vez de 𝑥 sobre dos a la 𝑛. Definimos una nueva variable 𝑢 como 𝑥 dividido por dos. Esto nos da la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 por dos a la 𝑛 multiplicado por 𝑢 a la 𝑛, la cual convergirá cuando el valor absoluto de dos 𝑢 sea menor que cinco.
Si el valor absoluto de dos 𝑢 es menor que cinco, esto es lo mismo que decir que el valor absoluto de 𝑢 es menor que cinco sobre dos. Así que hemos demostrado que el radio de convergencia de la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 multiplicado por dos a la 𝑛 multiplicado por 𝑢 a la 𝑛 es cinco sobre dos. No importa si llamamos a nuestra variable 𝑢 o 𝑥, hemos demostrado que nuestra segunda serie de potencias, la suma desde 𝑛 es igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 por dos a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛, tendrá como intervalo de convergencia el intervalo abierto de menos cinco sobre dos a cinco sobre dos.
Veamos ahora qué pasa si multiplicamos dos series de potencias.
Supongamos que queremos multiplicar dos series de potencias, ¿cómo haríamos esto? Comencemos escribiendo cada una término a término. Escribirlas término a término nos da la siguiente expresión. Recordemos que ambas expresiones continúan indefinidamente. Si nos fijamos en las dos expresiones que tenemos, estas parecen dos polinomios. Y sabemos cómo multiplicar dos polinomios. Para hallar el término constante, multiplicamos nuestros dos términos constantes. Esto nos da 𝑎 cero multiplicado por 𝑏 cero.
Para obtener todos los términos en 𝑥, multiplicamos los términos constantes por los términos en 𝑥. Esto nos da 𝑎 cero multiplicado por 𝑏 uno más 𝑎 uno multiplicado por 𝑏 cero. Y podemos hacer lo mismo para el coeficiente de 𝑥 al cuadrado. Para hallar los términos de 𝑥 al cuadrado en el producto, multiplicamos los términos constantes por los términos de 𝑥 al cuadrado. Y también multiplicaremos los términos de una sola 𝑥. Y podríamos continuar haciendo este proceso indefinidamente.
Notamos que al elegir nuestros coeficientes para multiplicar y obtener el término en 𝑥 al cuadrado en nuestro producto, los elegimos de modo que la suma de sus subíndices es siempre dos. Y esto tiene sentido porque el subíndice de nuestro coeficiente es exactamente el mismo que el exponente de 𝑥. Fijémonos mejor en nuestro segundo término. Podríamos escribir esto como la suma desde 𝑗 igual a cero hasta uno de 𝑎 𝑗 multiplicado por 𝑏 uno menos 𝑗 todo multiplicado por 𝑥 a la primera potencia. Y esto se debe a que queremos que la suma de nuestros subíndices sea igual a la potencia de 𝑥. Podemos hacer exactamente lo mismo para el coeficiente de 𝑥 al cuadrado. De hecho, podemos hacer una suma similar para el coeficiente de cualquier potencia de 𝑥. Finalmente podemos escribir esto como una suma de nuestras diferentes potencias de 𝑥. Donde cada coeficiente de nuestra potencia de 𝑥 tendrá la forma de los coeficientes que encontramos anteriormente.
Como discutimos anteriormente, para hallar el coeficiente de 𝑥 a la 𝑛, necesitamos sumar los productos de todos los pares de términos cuyos índices suman 𝑛. Y esto nos dice cómo multiplicar dos series de potencias. Supongamos que nos dan dos series de potencias que convergen para un cierto valor de 𝑥 y hemos de hallar su producto y expresarlo como una serie de potencias. Y esto es la sumatoria sobre 𝑛 del coeficiente por 𝑥 a la 𝑛. Y este coeficiente es la suma sobre 𝑗 de 𝑎 𝑗 multiplicado por 𝑏 𝑛 menos 𝑗.
Veamos un ejemplo de cómo aplicar esta fórmula en la práctica.
Multiplica la serie uno dividido por uno más 𝑥 igual a la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 por sí misma para obtener una serie de potencias para uno dividido por uno más 𝑥 al cuadrado. Escribe la respuesta en forma de sumatoria.
Recordemos que si tenemos dos series de potencias, 𝑓 de 𝑥 igual a la sumatoria sobre 𝑛 de 𝑎 𝑛 𝑥 a la 𝑛 y 𝑔 de 𝑥 igual a la sumatoria sobre 𝑛 de 𝑏 𝑛 𝑥 a la 𝑛, las cuales convergen para este valor de 𝑥. Entonces podemos calcular el producto de estas dos series de potencias, 𝑓 de 𝑥 multiplicado por 𝑔 de 𝑥, y es la sumatoria para todo 𝑛 de todos nuestros términos por 𝑥 a la 𝑛, siendo cada coeficiente la sumatoria para todo 𝑗 de 𝑎 𝑗 multiplicado por 𝑏 𝑛 menos 𝑗. En nuestro caso, queremos multiplicar uno dividido por uno más 𝑥 por sí mismo para obtener la serie de potencias para uno dividido por uno más 𝑥 al cuadrado. Definimos nuestras dos funciones, 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥, de modo que son ambas iguales a uno dividido por uno más 𝑥.
Tenemos que tanto 𝑓 de 𝑥 como 𝑔 de 𝑥 son iguales a uno sobre uno más 𝑥 que es igual a la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛. Para aquellos valores de 𝑥 donde nuestra serie de potencias para 𝑓 de 𝑥 converge, podemos usar nuestra fórmula y así hallar una expresión para 𝑓 de 𝑥 al cuadrado. La cuestión nos dice que uno dividido por uno más 𝑥 es igual a la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛. Obtenemos que 𝑎 𝑗 es menos uno elevado a 𝑗. Y 𝑏 𝑛 menos 𝑗 es menos uno elevado a 𝑛 menos 𝑗.
Por lo tanto, podemos calcular 𝑎 𝑗 multiplicado por 𝑏 𝑛 menos 𝑗 y es igual a menos uno elevado a 𝑗 multiplicado por menos uno elevado a 𝑛 menos 𝑗, que es menos uno a la 𝑛. Por lo tanto, nuestro coeficiente de 𝑥 a la 𝑛 es la sumatoria desde 𝑗 igual a cero hasta 𝑛 de menos uno a la 𝑛. Y podemos ver que nuestro sumando, menos uno a la 𝑛, es independiente de 𝑗. De hecho, nuestra suma es menos uno a la 𝑛 sumado a sí mismo 𝑛 más una veces. Esto se debe a que 𝑗 va de cero a 𝑛. Y si estamos sumando menos uno a la 𝑛 a sí mismo 𝑛 más una veces, esto es lo mismo que decir 𝑛 más uno multiplicado por menos uno a la 𝑛.
Hemos demostrado que, para aquellos valores de 𝑥 donde la serie de potencias para uno dividido por uno más 𝑥 Converge. Podemos multiplicar la serie de potencias de uno dividido por uno más 𝑥 por sí misma para obtener una serie de potencias para uno dividido por uno más 𝑥 al cuadrado, la cual es igual a la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 multiplicado por 𝑛 más uno multiplicado por 𝑥 a la 𝑛.
Resumiendo lo que hemos visto en este video, si tenemos dos series de potencias, sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 𝑥 a la 𝑛 y sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 𝑥 a la 𝑛, las cuales convergen para un valor particular de 𝑥. Entonces podemos sumar estas dos series de potencias para darnos la suma desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 más 𝑏 𝑛, todo multiplicado por 𝑥 a la 𝑛. Particularmente, si nuestra primera serie de potencias tiene un radio de convergencia 𝑅 uno y nuestra segunda serie de potencias tiene un radio de convergencia 𝑅 dos. Sabemos que podemos sumar las series de potencias de esta manera para aquellos valores de 𝑥 tales que el valor absoluto de 𝑥 sea menor que el menor de 𝑅 uno y 𝑅 dos.
Y para la serie de potencias, sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 más 𝑏 𝑛, todo multiplicado por 𝑥 a la 𝑛, si llamamos a su radio de convergencia 𝑅, entonces el mínimo de 𝑅 uno y 𝑅 dos nos da una cota inferior de 𝑅. Finalmente, hemos visto que si nos dan dos series de potencias, sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑎 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛 y sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta ∞ de 𝑏 𝑛 por 𝑥 a la 𝑛, que son tales que ambas convergen para un valor de 𝑥. El producto de estas dos series de potencias es como sigue. Sumamos todos nuestros términos con un coeficiente por 𝑥 a la 𝑛. Y el coeficiente de cada uno de estos términos es la suma desde 𝑗 igual a cero hasta 𝑛 de 𝑎 𝑗 multiplicado por 𝑏 𝑛 menos 𝑗.
