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Vídeo de la lección: Cálculos con progresiones aritméticas Matemáticas • Noveno grado

En este video, vamos a aprender cómo calcular la diferencia en una progresión aritmética, hallar los términos subsiguientes en la progresión y verificar si la progresión es creciente o decreciente.

17:28

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a echar una mirada a las progresiones aritméticas. Primero, vamos a ver la definición y luego vamos a ver algunas progresiones aritméticas típicas. Vamos a analizar las diferencias entre términos consecutivos y determinar el valor del término cero para así hallar la fórmula del término general. La fórmula del término general nos permite hallar cualquier término en la progresión.

Supongamos que tenemos los números cinco, ocho, 11, 14, 17. Sabemos que esta es una sucesión o progresión ya que es una lista ordenada de números. Un término de una progresión es cada número en una progresión. Y enumeramos los términos consecutivamente. El primer término de esta progresión es cinco. El segundo término es ocho. El tercer término es 11. Y continuamos con esta pauta. Esta numeración continúa indefinidamente ya que la progresión puede continuar indefinidamente. El número del término también nos dice la posición de ese valor en la progresión. Esto significa que podemos decir que 11 es el tercer término de la progresión.

Al pasar de un término al siguiente, sumamos tres al término anterior para obtener el siguiente término. Hay que sumar tres cada vez. Esta propiedad, sumar tres cada vez, significa que esta progresión es una progresión aritmética. En una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Podemos etiquetar nuestra progresión como tal. La diferencia entre dos términos consecutivos en una progresión aritmética se llama diferencia. En nuestro ejemplo, la diferencia es más tres.

Debemos notar aquí que el primer término en una progresión aritmética es importante. Si conocemos el primer término y la diferencia constante, en nuestro caso, más tres, podemos calcular cualquier término en la progresión. El primer término y la diferencia común son dos datos clave cuando se trata de una progresión aritmética. Para resumir esto, si ves una progresión donde los términos consecutivos tienen una diferencia constante, puedes decir que es una progresión aritmética.

Una vez que sabemos qué es una progresión aritmética, podemos resolver cuestiones como esta.

Escribe los siguientes tres términos en la progresión: 31, 57, 83, 109, etcétera.

Nos han dado el primer, segundo, tercer y cuarto término en una progresión, lo que significa que necesitamos hallar el quinto, sexto y séptimo término. Así que nos preguntamos, ¿cómo pasamos del 31 al 57? Sumamos 26. Y 57 más 26 es igual a 83. 83 más 26 es igual a 109. Esto significa que más 26 ha de ser la diferencia. Y significa que para pasar del cuarto al quinto término, necesitamos sumar 26 a 109. 109 más 26 es igual a 135. 135 más 26 es igual a 161. Y para hallar el séptimo término, necesitamos sumar 26 al sexto término. 161 más 26 es igual a 187. Así que podemos decir que los siguientes tres términos en esta progresión son 135, 161 y 187.

Probemos con otro ejemplo.

Escribe los siguientes tres términos en la progresión: 3.6, 4.3, 5.0, 5.7.

Nos han dado los primeros cuatro términos. Los siguientes tres términos serán el quinto, el sexto y el séptimo. Pasar de 3.6 a 4.3 es un aumento de 0.7, un aumento de siete décimas. De 4.3 a cinco es un aumento de 0.7, y de cinco a 5.7 es un aumento de 0.7, lo que significa que tenemos una diferencia de más 0.7 y confirma que esta es una progresión aritmética. Sabemos que, para hallar el quinto término, necesitamos sumar la diferencia constante al cuarto término. 5.7 más 0.7 es igual a 6.4, 6.4 más 0.7 es igual a 7.1 y 7.1 más 0.7 es igual a 7.8. Los siguientes tres términos en esta progresión serán 6.4, 7.1 y 7.8.

Lo que estamos viendo ahora es que las progresiones aritméticas pueden tener todo tipo de valores, como números enteros y decimales, pero también fracciones. Siempre que la diferencia entre términos consecutivos sea la misma, es una progresión aritmética. Veamos otro ejemplo.

Escribe el décimo término en la progresión aritmética 23, 19, 15, 11, 7.

Nos han dado los términos desde el primero hasta el quinto. No estamos buscando los términos del sexto al noveno. Solo necesitamos hallar el décimo término. Lo primero que debemos notar es que la progresión es decreciente. Cada término es cuatro menos que el término anterior. Así que la diferencia común es menos cuatro. Consideremos dos formas diferentes de calcular el décimo término.

Podremos hallar los términos sexto, séptimo, octavo y noveno y luego hallar el décimo término. Necesitamos restar cuatro de cada uno de los términos anteriores. O podemos comenzar en el quinto término, siete, y luego darnos cuenta de que necesitamos sumar cinco lotes de menos cuatro para llegar al décimo término. En la primera forma, siete menos cuatro es tres, tres menos cuatro es menos uno, menos uno menos cuatro es menos cinco, menos cinco menos cuatro es menos nueve y menos nueve menos cuatro es menos 13.

Usando el otro método, comenzamos en siete y sumamos cinco lotes de menos cuatro. Así que siete más cinco por menos cuatro es igual a siete menos 20. Cinco por menos cuatro es menos 20. Y siete menos 20 es menos 13. Ambos métodos muestran que el décimo término es menos 13.

Pero ¿y si nuestra cuestión nos pidiera que escribamos el término número 250 de la progresión? No queremos hallar todos los 250 términos. Veamos una forma de hallar una fórmula general que nos dé cualquier término en la progresión.

Si tenemos una progresión tres, siete, 11, 15, la diferencia constante es cuatro. Estamos buscando la forma general. La costumbre es usar la letra 𝑛 para representar la posición del término. Esa es la posición en nuestra progresión. Podemos usar la notación 𝑡 paréntesis 𝑛 para representar el término general. Cuando 𝑛 es uno, 𝑡 uno es tres. Cuando 𝑛 es dos, 𝑡 de dos es igual a siete, y así sucesivamente. Si nos fijamos bien, vemos que cada vez que nuestra posición en la progresión aumenta en uno, el valor del término en la progresión aumenta en cuatro. El valor del término aumenta cuatro veces más rápido que el valor de la posición. Así que sabemos que esa parte de nuestra fórmula tendrá más cuatro 𝑛.

Si más cuatro 𝑛 fuera toda nuestra fórmula, diríamos que 𝑡 de 𝑛 es igual a cuatro 𝑛. Cuando 𝑛 es igual a uno en la primera posición, 𝑡 de 𝑛 sería igual a cuatro. Cuando 𝑛 es igual a dos, 𝑡 de 𝑛 sería igual a ocho. Cuando 𝑛 es igual a tres, 𝑡 de 𝑛 sería igual a 12. Y cuando 𝑛 es igual a cuatro, 𝑡 de 𝑛 sería igual a 16. Pero esta claro que esta fórmula no es totalmente correcta. Cuando 𝑛 es igual a uno, debemos tener tres y no cuatro. Cuando 𝑛 es igual a dos, debemos tener siete y no ocho. Cuando 𝑛 es igual a tres, debemos tener 11 y no 12. Y cuando 𝑛 es cuatro, debemos tener 15 y no 16. Todos estos valores están desplazados en una unidad. Cuatro menos uno es tres, ocho menos uno es siete, 12 menos uno es 11 y 16 menos uno es 15. Y así podemos añadir menos uno a nuestra fórmula 𝑡 de 𝑛 y la nueva fórmula general será 𝑡 de 𝑛 igual a más cuatro 𝑛 menos uno, pero no tenemos que poner el signo más.

La fórmula para hallar el término general de esta sucesión será, pues, 𝑡 de 𝑛 igual a cuatro 𝑛 menos uno. Si usamos esta forma para calcular el término 250, cuatro por 250 es 1000, 1000 menos uno es 999. El término número 250 en esta progresión es 999. También debemos señalar que hay algunas notaciones diferentes para 𝑡 de 𝑛. Puedes usar 𝑡 sub 𝑛 y también 𝑎 sub 𝑛. Las tres son formas usuales de representar el término general.

Probemos este método en un nuevo problema.

Halla el término 81 en la progresión 107, 99, 91, 83.

Nos han dado los primeros cuatro términos en una progresión. Vamos a denotar por 𝑛 la posición de un término general de la progresión y 𝑡 de 𝑛 será el valor de ese término general en la progresión. Reconocemos que la progresión disminuye de ocho en ocho; nuestra diferencia constante es menos ocho. Para hacer una fórmula general para esta sucesión, necesitamos menos ocho 𝑛. Si reemplazamos nuestros valores de 𝑛 del uno al cuatro, obtenemos los valores menos ocho, menos 16, menos 24, menos 32. Pero cuando 𝑛 es igual a uno, nuestro valor es 107, no menos ocho. Cuando 𝑛 es igual a dos, necesitamos 99 no menos 16. Para el tercer término, necesitamos 91 y no menos 24. Y para el cuarto término, necesitamos 83 no menos 32.

Si sumamos 115 a menos ocho, obtenemos 107. Si sumamos 115 a menos 16, obtenemos 99. Así que necesitamos sumar 115 al menos ocho 𝑛. Una fórmula general para esta progresión es esta de aquí. 𝑡 de 𝑛 es igual a menos ocho 𝑛 más 115. Para hallar el término 81 en la progresión, necesitaríamos 𝑡 de 81, que es igual a menos ocho por 81 más 115. Y eso es menos 533. El término 81 en esta progresión es menos 533.

Hallar la forma general con este método aún requiere muchos cálculos, así que vamos a ver aún otra forma de hacerlo. Si tomamos nuestros valores 𝑛 y 𝑡 de 𝑛 y los ponemos a lo largo de los ejes de coordenadas 𝑥 y 𝑦, comenzaremos con la tabla que se ve así. Trazar esos puntos nos dará algo así. 𝑛 solo puede tomar valores enteros, uno, dos, tres, cuatro, cinco, etc. Porque nuestra sucesión tiene términos uno, dos, tres, cuatro, etcétera. No tiene sentido hablar del término 3.75, pero veamos qué pasa si conectamos estos puntos con una recta.

La recta intersecará el eje 𝑦 en 115. Esto se debe a que cuando aumentamos nuestro valor 𝑥 en uno, el valor 𝑦 disminuye en ocho. Y esto significa que si hacemos lo contrario, si disminuimos nuestro valor 𝑥 en uno, necesitamos aumentar nuestro valor 𝑦 en ocho. Si nos movemos hacia la izquierda desde 𝑥 igual a uno, obtenemos el lugar donde 𝑥 es igual a cero. Y necesitamos aumentar en ocho. Y vemos que cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 es igual a 115. Si nos refiriésemos a esto como una recta, diríamos que tiene una pendiente de menos ocho y una intersección con el eje 𝑦 de 115. Diríamos que 𝑦 es igual a menos ocho 𝑥 más 115.

Y podemos usar esto para ayudarnos a encontrar la forma general en una progresión aritmética. La diferencia es menos ocho. La diferencia nos da la pendiente de la recta. Y la intersección con 𝑦 nos dio el número que necesitamos sumar. Esto coincide con la forma que encontramos anteriormente, 𝑡 de 𝑛 es igual a menos ocho 𝑛 más 115. Intentemos usar este método en un problema diferente.

Halla la fórmula del término general de la progresión aritmética 6.8, 7.9, 9.0, 10.1.

Nos dan los primeros cuatro términos en una progresión aritmética. Vamos a denotar la posición del término por 𝑛 y por 𝑡 de 𝑛 el valor correspondiente del término en la progresión. Para pasar del término uno al término dos, sumamos 1.1. Para pasar del término dos al tres, sumamos 1.1. Y el término tres más 1.1 es igual al término cuatro. La diferencia constante es más 1.1. Lo que queremos hacer ahora es hallar el valor de nuestro término cero.

Cuando nos movemos consecutivamente de izquierda a derecha, sumamos 1.1. Si queremos movernos en sentido contrario, restamos 1.1. Para hallar nuestro término cero, necesitamos restar 1.1 de nuestro primer término. 6.8 menos 1.1 es igual a 5.7. La fórmula del término general de esta progresión es igual a 1.1 por 𝑛 más 5.7.

Resumamos lo que acabamos de mostrar. Podemos decir que la fórmula del término general de una progresión aritmética tiene esta forma. 𝑡 de 𝑛 es igual a 𝑎 por 𝑛 más 𝑏. La constante 𝑎, la diferencia, es el valor que multiplicamos por la posición del término, y puede ser positiva o negativa. Y 𝑏 es una constante que es igual al término cero de la sucesión. Si la fórmula tiene cuadrados, raíces cuadradas u otras potencias de 𝑛, la progresión no es una progresión aritmética. Todas estas son ecuaciones no lineales y, por lo tanto, no pueden representar una progresión aritmética.

Consideremos un último tipo de cuestión que puedes encontrar cuando trabajas con progresiones aritméticas.

¿Pertenece 117 a la progresión aritmética cinco, 18, 31, 44?

Nos dan los primeros cuatro términos en esta progresión aritmética. Sea 𝑛 la posición de un término arbitrario sea 𝑡 de 𝑛 el valor del término en la progresión. Lo primero que debemos verificar aquí es la diferencia constante. Para pasar de un término a otro aquí, estamos sumando 13. Y la diferencia común es más 13. En este punto, es bueno recordar que 𝑡 de 𝑛 es igual a 𝑎 por 𝑛 más 𝑏, donde 𝑎 es la diferencia común y 𝑏 es el término cero. Y esto significa que lo siguiente que necesitamos hallar es el término cero.

En esta progresión, cuando nos movemos hacia la derecha, estamos sumando 13. Y eso significa que, para movernos hacia la izquierda, necesitamos restar 13. Cinco menos 13 es menos ocho. Así que, menos ocho es el término cero. Ahora tenemos suficiente información para escribir la fórmula del término general de esta progresión. Eso es 13𝑛 menos ocho, una diferencia constante de más 13 y un término cero de menos ocho.

Para saber si 117 pertenece a esta progresión, ponemos 117 en lugar de 𝑡 de 𝑛. Si 117 es parte de esta progresión, tendrá un valor entero de 𝑛. Así que vamos a resolver esta ecuación para 𝑛 y vamos a ver si es un número entero. Para hacer eso, primero sumamos ocho a ambos lados. Esto nos da 125 es igual a 13𝑛. Y así dividimos ambos lados de la ecuación por 13. 125 dividido por 13 es igual a 9.6153 etcétera o, como fracción, nueve y ocho treceavos. Como 9.6153 etcétera no es un número entero, 117 no está en esta progresión. Cuando se trata de sucesiones aritméticas y de esta fórmula general, el valor 𝑛 debe ser un número entero.

Para resumir lo que hemos visto, diremos que una progresión aritmética es una sucesión en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. La diferencia es la diferencia, que es constante, entre dos términos consecutivos en una progresión aritmética. Y podemos usar la fórmula general 𝑡 de 𝑛 igual a 𝑎𝑛 más 𝑏, donde 𝑎 es la diferencia y 𝑏 es igual al término en la posición cero.

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