Transcripción del vídeo
Ecuación de una circunferencia
En este vídeo vamos a aprender el concepto de circunferencia, cómo derivar la ecuación de una circunferencia, y cómo hallar su ecuación conociendo su centro y su radio, y cómo hallar el centro y el radio de una circunferencia conociendo su ecuación. Antes de ver cómo hallar la ecuación de una circunferencia, conviene que recordemos brevemente la definición matemática de una circunferencia. Una circunferencia es el conjunto o lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a una distancia dada de un punto. Es decir, tenemos el centro de una circunferencia, y cada punto en nuestra circunferencia está a la misma distancia del centro. A esta distancia la llamamos radio de la circunferencia.
Para ayudarnos a hallar la ecuación de nuestra circunferencia, nos conviene dibujarla en un sistema de coordenadas. Para ello, vamos a elegir un punto para nuestro centro; escojamos el origen. Este es el punto con coordenadas cero, cero, y lo representamos con una 𝑂. Queremos hallar la ecuación de una circunferencia arbitraria, así que nos referiremos al radio con la letra 𝑟. Muy bien, escojamos un punto en nuestra circunferencia. Le llamaremos el punto 𝑥, 𝑦. Tenemos que hallar una relación entre 𝑥 e 𝑦.
Lo primero que podemos ver en este diagrama es que 𝑦 no es una función de 𝑥. La razón de esto la podemos ver fácilmente si tomamos un valor de entrada para 𝑥. Para que 𝑦 sea una función de 𝑥, necesitamos obtener un solo valor de salida de nuestra función. Pero podemos ver que habrá dos valores de salida en este caso. Por lo tanto, no podemos representar 𝑦 como una función de 𝑥, por lo que no podemos usar el método habitual. Tratemos de usar un método geométrico. Para comenzar, conectemos una recta vertical desde el eje de las 𝑥 hasta el punto 𝑥, 𝑦. Y como se trata de una recta vertical, obtendremos un triángulo rectángulo. Y podemos hallar la altura de este triángulo. Como va desde el eje de las 𝑥 hasta el punto 𝑥, 𝑦, su altura será 𝑦.
También conviene señalar aquí que, si nuestro punto 𝑥, 𝑦 estuviera por debajo del eje de las 𝑥, tendríamos que tomar el valor absoluto de 𝑦. Por lo tanto, en ambos casos, esta longitud es el valor absoluto de 𝑦. Podemos seguir el mismo procedimiento para calcular la anchura de nuestro triángulo. Va desde el eje de las 𝑦 hasta el punto 𝑥, 𝑦. Así que su anchura será el valor absoluto de 𝑥. Y tenemos un triángulo rectángulo del que conocemos los tres lados. Así que vamos a aplicar el teorema de Pitágoras. El teorema nos dice que la anchura al cuadrado más la altura al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.
En nuestro caso, la anchura de nuestro triángulo es igual al valor absoluto de 𝑥. La altura de nuestro triángulo es igual al valor absoluto de 𝑦. Y la longitud de nuestra hipotenusa es 𝑟. Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, el valor absoluto de 𝑥 al cuadrado más el valor absoluto de 𝑦 al cuadrado debe ser igual a 𝑟 al cuadrado. Pero recuerda, no importa si un número es positivo o negativo cuando lo elevamos al cuadrado, pues seguiremos obteniendo la misma respuesta. Podemos cambiar el valor absoluto de 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cuadrado y el valor absoluto de 𝑦 al cuadrado por 𝑦 al cuadrado. Simplificamos esta ecuación, y obtenemos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado. Y esta es la ecuación ordinaria de nuestra circunferencia con centro en el origen y radio 𝑟.
Puesto que los puntos en los ejes 𝑥 e 𝑦 no dan lugar a un triángulo rectángulo, para ser pedantes, debemos comprobar por separado que estos puntos satisfacen nuestra ecuación. Pero, dado que el radio de la circunferencia es 𝑟, si nos fijamos en esos puntos, podemos ver inmediatamente que todos ellos satisfacen nuestra ecuación. Así que todo punto de nuestra circunferencia satisface la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado. Muy bien, ya hemos derivado la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio 𝑟, que es 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado.
Pero puede que te preguntes, ¿qué habría pasado si no hubiéramos elegido el origen como nuestro centro? ¿Y si hubiéramos elegido un punto diferente? Bueno, podemos seguir el mismo procedimiento. Veamos pues qué pasa si elegimos como centro un punto arbitrario del plano de coordenadas ℎ, 𝑘. Elegimos ahora un punto cualquiera en nuestra circunferencia de coordenadas 𝑥, 𝑦. Recuerda que el radio de nuestra circunferencia es 𝑟. Y al igual que hicimos antes, construimos un triángulo rectángulo. No obstante, esta vez tenemos que tener un poco más de cuidado cuando hallamos la altura y la anchura de nuestro triángulo rectángulo. Por ejemplo, para hallar la altura de nuestro triángulo rectángulo, nos movemos desde el punto con coordenada 𝑦 𝑘 al punto con coordenada 𝑦 𝑦. Es decir, la altura de este triángulo rectángulo es 𝑦 menos 𝑘.
Pero recuerda, a veces nuestro valor de 𝑦 será menor que nuestro valor de 𝑘. Con lo que obtendríamos una respuesta negativa. Así que vamos a tomar el valor absoluto de 𝑦 menos 𝑘. Y hacemos algo parecido para hallar el ancho de nuestro triángulo rectángulo. Esta vez vamos de ℎ a 𝑥. Esto significa que el ancho de nuestro triángulo rectángulo será el valor absoluto de 𝑥 menos ℎ. Y al igual que hicimos antes, aplicamos el teorema de Pitágoras a este triángulo rectángulo. Al hacerlo obtenemos el valor absoluto de 𝑥 menos ℎ al cuadrado más el valor absoluto de 𝑦 menos 𝑘 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado.
Y recuerda, si elevamos al cuadrado un signo de valor absoluto, no necesitamos el símbolo de valor absoluto. Así que podemos escribir esto de forma equivalente como 𝑥 menos ℎ, todo al cuadrado, más 𝑦 menos 𝑘, todo al cuadrado, más 𝑟 al cuadrado. Y esta es la ecuación ordinaria de nuestra circunferencia con centro en el punto ℎ, 𝑘 y radio 𝑟. No obstante, conviene recordar que hay cuatro puntos en nuestra circunferencia que no determinan un triángulo rectángulo. Pero, al igual que hicimos antes, podemos usar el hecho de que nuestro radio es 𝑟 para hallar las coordenadas de cada uno de estos puntos. De esta forma podemos ver que estos cuatro puntos también satisfacen nuestra ecuación. Así que hemos demostrado que todo punto de nuestra circunferencia satisface esta ecuación.
Hemos hallado que una circunferencia con centro en el punto ℎ, 𝑘 y radio 𝑟 tiene la ecuación 𝑥 menos ℎ, todo al cuadrado, más 𝑦 menos 𝑘, todo al cuadrado, igual a 𝑟 al cuadrado. Hemos visto, pues, que, conociendo el centro y el radio de una circunferencia, podemos determinar su ecuación. Pero también podemos hacerlo al revés. Si se nos da la ecuación de la circunferencia, podemos hallar su centro y su radio. Antes de ver algunos ejemplos, conviene repasar una cuestión importante: la forma general de la ecuación de una circunferencia. Para hallar la ecuación general tenemos que desarrollar los cuadrados de las expresiones entre paréntesis en la ecuación de nuestra circunferencia. Al hacerlo, obtenemos que 𝑥 al cuadrado menos dos ℎ𝑥 más ℎ al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos dos 𝑘𝑦 más 𝑘 al cuadrado es igual a 𝑟 al cuadrado.
Pero recuerda, ℎ, 𝑘 y 𝑟 son solo constantes, por lo que podemos denotar menos dos ℎ como 𝑎, menos dos 𝑘 como 𝑏 y ℎ al cuadrado más 𝑘 al cuadrado menos 𝑟 al cuadrado como 𝑐. Al usar esta notación y al reorganizar nuestra ecuación, obtenemos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado más 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 igual a cero. Esta es la ecuación general de una circunferencia. Veamos ahora un ejemplo en el que se nos pide hallar el centro y el radio de una circunferencia cuya ecuación es conocida.
Halla el centro y el radio de la circunferencia 𝑥 más cuatro al cuadrado más 𝑦 menos dos al cuadrado igual a 225.
Nos han dado la ecuación ordinaria de una circunferencia. Necesitamos usar esto para hallar el centro y el radio de nuestra circunferencia. Antes de comenzar, vamos a recordar la ecuación ordinaria de una circunferencia. Sabemos que una circunferencia de centro en el punto ℎ, 𝑘 y radio 𝑟 tendrá la ecuación 𝑥 menos ℎ, todo al cuadrado, más uno menos 𝑘, todo al cuadrado, igual a 𝑟 al cuadrado. Y podemos ver que la ecuación que se nos ha dado está prácticamente en esta forma. Pero hay que andarse con mucho ojo aquí. Por ejemplo, no estamos restando una constante de 𝑥; estamos sumando la constante cuatro. Pero recuerda, sumar cuatro es lo mismo que restar menos cuatro. Así que, de hecho, podemos escribir esto como 𝑥 menos menos cuatro, todo al cuadrado, más 𝑦 menos dos, todo al cuadrado, igual a 225.
Ahora nos resulta muy sencillo determinar el centro de nuestra circunferencia. Nuestro valor de ℎ es menos cuatro y nuestro valor de 𝑘 es dos. Lo único que nos queda hacer ahora es hallar el radio de nuestra circunferencia. En este caso, el radio al cuadrado es igual a 225. Así que queremos que 𝑟 al cuadrado sea igual a 225. Hay varias formas de hacerlo. Una de ellas es tomar las raíces cuadradas de ambos lados de esta ecuación. Normalmente, obtendríamos una raíz cuadrada positiva y una negativa. Pero recuerda, en este caso, esto representa el radio. Esto es una longitud, por lo que debe ser un número positivo. Así que obtenemos que 𝑟 es igual a más raíz cuadrada de 225. Podemos calcular esto, y obtenemos 15. Así que podemos escribir 225 como 15 al cuadrado. Esto significa que el radio de nuestra circunferencia es igual a 15.
Recuerda, el centro de nuestra circunferencia es el punto ℎ, 𝑘. Hemos hallado que ℎ es igual a menos cuatro y que 𝑘 es igual a dos. Y que el radio es 15. Por lo tanto, conocida la ecuación de la circunferencia 𝑥 más cuatro, todo al cuadrado más 𝑦 menos dos, todo al cuadrado, igual a 225, pudimos hallar que el centro de esta circunferencia es el punto menos cuatro, dos y que el radio es 15.
Pasemos ahora a un ejemplo en el que se nos da la gráfica de una circunferencia y tenemos que hallar la ecuación de esta circunferencia.
En la siguiente figura, halla la ecuación de la circunferencia.
Se nos da la gráfica de una circunferencia. Y se nos pide que hallemos la ecuación de esta circunferencia. Comencemos recordando lo que sabemos sobre la ecuación de una circunferencia. Sabemos que una circunferencia con centro en el punto ℎ, 𝑘 y radio 𝑟 tiene la ecuación 𝑥 menos ℎ, todo al cuadrado más 𝑦 menos 𝑘, todo al cuadrado, igual a 𝑟 al cuadrado. Por lo tanto, para hallar la ecuación de una circunferencia, solo tenemos que hallar su centro y su radio. Recuerda, todo punto en nuestra circunferencia está a la misma distancia de su centro. En nuestro caso, el centro de la circunferencia ya está marcado. Solo tenemos que hallar las coordenadas de este punto.
Moviéndonos hacia arriba en dirección vertical hasta el eje de las 𝑥, podemos ver que la coordenada 𝑥 de este centro es menos cinco. Y al hacer lo mismo en la dirección horizontal, podemos ver que la coordenada 𝑦 de este centro es menos cuatro. Así que el centro de nuestra circunferencia es menos cinco, menos cuatro. Pero, ¿cómo vamos a hallar el radio de nuestra circunferencia? Recuerda que el radio es la longitud de cualquier recta que va del centro de la circunferencia a cualquier punto en la circunferencia. Tenemos muchas opciones distintas para elegir el radio. Podemos elegir, por ejemplo, el siguiente segmento. Vemos que este es un segmento horizontal que va desde el centro de nuestra circunferencia hasta el punto con coordenada 𝑥 igual a cero. En otras palabras, nuestro radio será la longitud del segmento horizontal desde 𝑥 igual a menos cinco hasta 𝑥 igual a cero.
La longitud de este segmento es cinco. Así que nuestro valor de 𝑟 es cinco. Y ya podemos sustituir nuestros valores de ℎ, 𝑘 y 𝑟 en la ecuación de la circunferencia. Sustituimos ℎ igual a menos cinco, 𝑘 igual a menos cuatro y 𝑟 igual a cinco, y obtenemos 𝑥 menos menos cinco, todo al cuadrado, más 𝑦 menos menos cuatro, todo al cuadrado, igual a cinco al cuadrado. Podemos dejar nuestra respuesta así. Pero también podemos simplificar 𝑥 menos menos cinco a 𝑥 más cinco y 𝑦 menos menos cuatro a 𝑦 más cuatro. Y también podemos calcular cinco al cuadrado para obtener 25. De esta forma hemos hallado que la ecuación de la circunferencia que se nos dio en la figura es 𝑥 más cinco, todo al cuadrado, más 𝑦 más cuatro todo al cuadrado, igual a 25.
Veamos ahora un problema en el que se nos pide hallar la ecuación general de una circunferencia.
Escribe, en la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑦 al cuadrado más 𝑐𝑥 más 𝑑𝑦 más 𝑒 igual a cero, la ecuación de la circunferencia de radio 10 y centro cuatro, menos siete.
El enunciado nos pide que hallemos la ecuación de una circunferencia de radio 10 y centro cuatro, menos siete. Y podemos ver, además, que se nos pide que expresemos la ecuación de la circunferencia en la forma general. Para hacerlo, vamos a repasar lo que sabemos sobre la ecuación de una circunferencia. Sabemos que una circunferencia de radio 𝑟 con centro en el punto ℎ, 𝑘 tendrá la ecuación 𝑥 menos ℎ, todo al cuadrado, más 𝑦 menos 𝑘, todo al cuadrado, igual a 𝑟 al cuadrado. Y en este caso, ya se nos han dado el centro y el radio de nuestra circunferencia. Nuestra circunferencia está centrada en el punto cuatro, menos siete. Así que el valor de ℎ es cuatro y el valor de 𝑘 es menos siete. Y nuestra circunferencia tiene un radio de 10, por lo que nuestro valor de 𝑟 es 10.
Así que ahora solo tenemos que sustituir estos valores en nuestra ecuación de una circunferencia. Sustituimos el centro y el radio de nuestra circunferencia, y obtenemos la ecuación 𝑥 menos cuatro, todo al cuadrado, más 𝑦 menos menos siete, todo al cuadrado, igual a 10 al cuadrado. Pero esta no es la ecuación general, sino la ecuación ordinaria de la circunferencia. Para llevarla a la forma general tenemos que desarrollar los cuadrados de los paréntesis. Hay varias formas de hacerlo. Podemos usar una fórmula o el método PEIÚ. De cualquier manera, al desarrollar el cuadrado del primer paréntesis, obtenemos 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 más 16.
Para desarrollar el cuadrado de nuestro segundo paréntesis, nos será más fácil reescribir esto como 𝑦 más siete todo al cuadrado. Seguidamente, si desarrollamos esta expresión, obtenemos 𝑦 al cuadrado más 14𝑦 más 49. Lo último que haremos es calcular 10 al cuadrado para obtener 100. Ya solo nos queda reescribir esta ecuación en la forma que se nos ha dado en el enunciado. Para ello, reorganizamos estos cuatro términos, y obtenemos 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑥 más 14𝑦. Seguidamente restamos 100 a ambos lados de la ecuación. Al hacerlo, obtenemos un término constante de 16 más 49 menos 100. Y al calcular esto obtenemos una respuesta de menos 35.
Así que obtenemos la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑥 más 14𝑦 menos 35 igual a cero. Ahora ya está en la forma general que se nos pidió en el enunciado. Hemos hallado que la ecuación general de una circunferencia de radio 10 y centro en el punto cuatro, menos siete es 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado menos ocho 𝑥 más 14𝑦 menos 35 igual a cero.
Veamos ahora un ejemplo en el que se nos pide hallar la ecuación de una circunferencia conocidos su centro y un punto en la circunferencia.
Determina la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto 𝐴: cero, ocho sabiendo que su centro es 𝑀: menos dos, menos seis.
La cuestión nos pide que hallemos la ecuación de una circunferencia. Se nos dice que esta circunferencia pasa por el punto 𝐴 con coordenadas cero, ocho. Y el centro de esta circunferencia es el punto 𝑀 con coordenadas menos dos, menos seis. Comencemos dibujando esta circunferencia con los datos que nos han dado. Primero marcamos el centro de nuestra circunferencia en nuestro gráfico. Es el punto 𝑀. Tiene coordenadas menos dos, menos seis. Seguidamente marcamos el punto 𝐴 en el gráfico. Recuerda que la circunferencia pasa por este punto y tiene coordenadas cero, ocho. Lo cierto es que no hace falta dibujar nuestra circunferencia para resolver el problema, pero vamos a trazar una parte de esta circunferencia para poder visualizarla mejor.
Recordemos lo que sabemos sobre la ecuación de una circunferencia. Sabemos que una circunferencia con centro en el punto ℎ, 𝑘 y radio 𝑟 tiene la ecuación 𝑥 menos ℎ, todo al cuadrado, más 𝑦 menos 𝑘, todo al cuadrado, igual a 𝑟 al cuadrado. En otras palabras, para hallar la ecuación de una circunferencia, solo necesitamos conocer su radio y las coordenadas de su centro. Y en este caso ya tenemos las coordenadas del centro de la circunferencia. Se nos dice que su centro es menos dos, menos seis. Así que podemos igualar nuestro valor de ℎ a menos dos y nuestro valor de 𝑘 a menos seis. Esto significa que, para hallar la ecuación de esta circunferencia, lo único que nos falta por hacer es hallar su radio.
Recuerda que 𝑟 es la distancia desde el centro de nuestra circunferencia hasta cualquier punto en la circunferencia. Solo conocemos las coordenadas de un punto de nuestra circunferencia. El punto 𝐴. Por lo tanto, en nuestro caso, para hallar el valor de 𝑟, tenemos que hallar la longitud del segmento entre menos dos, menos seis y cero, ocho. Y hay varias formas de hacerlo. Vamos a resolver este problema dibujando el siguiente triángulo rectángulo. Primero conectamos el punto 𝑀 con el eje de las 𝑦 usando un segmento horizontal. La anchura de este triángulo será, entonces, el valor absoluto de la coordenada 𝑥 de 𝑀, que es dos. La altura de esta sección será el valor absoluto de la coordenada 𝑦 de 𝑀, que es seis. Y la altura de esta sección del triángulo será la coordenada 𝑦 de 𝐴, que es ocho.
Seguidamente combinamos estas dos longitudes para hallar que la altura de nuestro triángulo es ocho más seis, que es 14. Ya tenemos un triángulo rectángulo de anchura y altura conocidas. Así que podemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de su hipotenusa. Este teorema nos dice que 𝑟 al cuadrado es igual a dos al cuadrado más 14 al cuadrado. Si calculamos dos al cuadrado más 14 al cuadrado, obtenemos 200. Y ya estamos listos para calcular el radio. Es la raíz cuadrada positiva de 200 porque, recordemos, el radio es una longitud, por lo que debe ser un número positivo. Pero en nuestra fórmula, solo necesitamos el valor de 𝑟 al cuadrado, que sabemos que es 200.
Así que sustituimos 𝑟 al cuadrado igual a 200, ℎ igual a menos dos y 𝑘 igual a menos seis en nuestra ecuación de una circunferencia. Y obtenemos 𝑥 menos menos dos, todo al cuadrado, más 𝑦 menos menos seis, todo al cuadrado, igual a 200. Por último, simplificamos 𝑥 menos menos dos, y obtenemos 𝑥 más dos y 𝑦 menos menos seis, y obtenemos 𝑦 más seis. Ya tenemos nuestra respuesta final. Sabiendo que una circunferencia tiene su centro en el punto 𝑀, que es menos dos, menos seis, y que, además, pasa por el punto 𝐴, que tiene coordenadas cero, ocho, hemos hallado que la ecuación de esta circunferencia es 𝑥 más dos, todo al cuadrado, más 𝑦 más seis, todo al cuadrado, igual a 200.
Repasemos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Primero, usando la definición de circunferencia y el teorema de Pitágoras, hallamos que una circunferencia de radio 𝑟 y centro en el punto ℎ, 𝑘 tiene la ecuación 𝑥 menos ℎ todo al cuadrado más 𝑦 menos 𝑘 todo al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado. También vimos que podemos hallar el centro y el radio de una circunferencia usando su ecuación. Si una circunferencia tiene la ecuación 𝑥 menos ℎ todo al cuadrado más 𝑦 menos 𝑘 todo al cuadrado más 𝑟 al cuadrado, entonces su centro será el punto ℎ, 𝑘 y su radio será 𝑟, donde 𝑟 es un número positivo porque representa una longitud.
También vimos que podemos hallar la ecuación de una circunferencia conociendo las coordenadas de su centro y un punto en la circunferencia. Y esto es porque podemos hallar el radio en este caso porque es la distancia entre el centro y el punto que se nos da. Y podemos calcular esta distancia usando el teorema de Pitágoras. Por último, al desarrollar los cuadrados de las expresiones entre paréntesis en la ecuación ordinaria de la circunferencia, pudimos hallar que la ecuación general de nuestra circunferencia está dada por 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado más 𝑎𝑥 más 𝑏𝑦 más 𝑐 igual a cero para constantes determinadas 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
