Vídeo: Distancias y puntos medios en el plano complejo

En este video, vamos a aprender cómo hallar el punto medio de dos números complejos y la distancia entre ellos en el plano complejo.

17:38

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo hallar el punto medio de dos números complejos y la distancia entre ellos en el plano complejo. Y haciendo esto, vamos a ver algunos ejemplos básicos de cómo los números complejos nos ayudan a resolver problemas geométricos. Empecemos sin contemplaciones con un ejemplo.

¿Cuál es la distancia entre los números menos dos y seis en el plano complejo?

Vemos que ya tenemos un diagrama de Argand listo en el plano complejo, con los números menos dos y seis marcados. Nuestra pregunta es, ¿cuál es la distancia entre estos dos números en el plano complejo? Bien, menos dos y seis no son números complejos cualesquiera. También son números reales. Y, por lo tanto, se encuentran en el eje real del plano complejo, que podemos considerar como la recta numérica real usual.

La distancia es medida a lo largo de la recta numérica. Y vemos que para movernos desde menos dos a seis, tenemos que movernos primero dos unidades para llegar a cero, y luego seis unidades más hasta llegar a seis, haciendo un total de ocho unidades. Esta es, pues, la distancia entre menos dos y seis en el plano complejo. Y es exactamente lo mismo que la distancia entre los números reales menos dos y seis en la recta numérica real.

Veamos ahora un ejemplo con números imaginarios.

¿Cuál es la distancia entre los números menos tres 𝑖 y siete 𝑖 en el plano complejo?

Dibujemos un diagrama de Argand y situemos en él los números menos tres 𝑖 y menos siete 𝑖. Ambos números son imaginarios puros y, por lo tanto, se encuentran en el eje imaginario del plano complejo. Así que la distancia entre ellos es medida a lo largo de este eje. Debemos pasar de menos tres 𝑖 a cero, moviéndonos tres unidades hacia arriba primero. Y continuar siguientemente de cero a siete 𝑖, moviéndonos otras siete unidades. De modo que la distancia total es tres más siete, que es 10.

Veamos ahora un ejemplo en donde los dos números no están en el mismo eje.

Halla la distancia entre los números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos mostrados en el plano complejo. Expresa la respuesta exacta en su forma más simple.

Primero, identifiquemos 𝑧 uno y 𝑧 dos. La parte real de 𝑧 uno es menos dos. Y su parte imaginaria es siete. Así que este es el número complejo menos dos más siete 𝑖, que está representado por el punto menos dos, siete. Hacemos lo mismo con 𝑧 dos. Que resulta ser seis menos tres 𝑖, y que está representado por el punto seis, menos tres. Y queremos saber la distancia entre estos dos números en el plano complejo. Recuerda que la distancia entre los puntos 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos en un plano de coordenadas es la raíz cuadrada de 𝑥 uno menos 𝑥 dos al cuadrado más 𝑦 uno menos 𝑦 dos al cuadrado. Podemos ahora sustituir las coordenadas de los puntos que corresponden a nuestros números complejos en esta fórmula para hallar nuestra distancia.

Queremos hallar la distancia entre menos dos, siete y seis, menos tres. Así que 𝑥 uno es menos dos. Y 𝑦 uno es siete. 𝑥 dos es seis. Y 𝑦 dos es menos tres. Reemplazando, obtenemos la raíz cuadrada de menos dos menos seis al cuadrado más siete menos menos tres al cuadrado. Menos dos menos seis es menos ocho. Y siete menos menos tres es 10. Y menos ocho al cuadrado es lo mismo que ocho al cuadrado. Así que la distancia es la raíz cuadrada de ocho al cuadrado más 10 al cuadrado, que es la raíz cuadrada de 64 más 100, en otras palabras, la raíz cuadrada de 164. Y 164 es dos al cuadrado por 41. En forma simplificada, esto es dos raíz de 41.

Hicimos uso, pues, de la fórmula de la distancia. Pero podríamos haber usado igualmente el teorema de Pitágoras, dibujando para ello un triángulo rectángulo en nuestro diagrama, y contando cuadrados para ver que tenemos lados de longitud ocho y 10. Estas son las diferencias de las partes reales y de las partes imaginarias de nuestros números complejos, respectivamente. El teorema de Pitágoras nos dice que la longitud de la hipotenusa, que es la distancia entre los dos números complejos, es la raíz cuadrada de ocho al cuadrado más 10 al cuadrado, que es exactamente lo que obtuvimos en esta recta de aquí. El teorema de Pitágoras se usa, por supuesto, para demostrar la fórmula de la distancia entre puntos en un sistema de coordenadas.

En el contexto del plano complejo, estos puntos representan números complejos. Así que podemos reescribir nuestra fórmula con esto en mente. La distancia entre los números complejos, 𝑧 uno igual a 𝑥 uno más 𝑦 uno 𝑖 y 𝑧 dos igual a 𝑥 dos más 𝑦 dos 𝑖, es la raíz cuadrada de 𝑥 uno menos 𝑥 dos al cuadrado más 𝑦 uno menos 𝑦 dos al cuadrado. La única diferencia aquí es que estamos hablando de números complejos 𝑥 uno más 𝑦 uno 𝑖 y 𝑥 dos más 𝑦 dos 𝑖, en vez de simplemente puntos 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos. Esto es lo que obtenemos cuando pensamos en los números complejos como puntos en el plano complejo. Pero también podemos pensar en los números complejos como vectores. Veamos a qué nos lleva ese enfoque.

Pensemos en los números complejos 𝑧 uno, que es menos dos más siete 𝑖, y 𝑧 dos, que es seis menos tres 𝑖, como vectores. Y en lugar de solo pensar en la distancia entre 𝑧 uno y 𝑧 dos, consideramos este vector aquí, que llamaremos 𝑉. Para ir desde el punto inicial u origen de 𝑉 hasta la punta o extremo, podemos recorrer menos 𝑧 dos hasta el origen de coordenadas. Y después, recorremos 𝑧 uno, el cual nos lleva a dónde queremos ir. 𝑉 es, por lo tanto, menos 𝑧 dos más 𝑧 uno o 𝑧 uno menos 𝑧 dos.

Y, por supuesto, como vector en el plano complejo, también representa un número complejo, siendo el número complejo 𝑧 uno menos 𝑧 dos. La distancia entre los dos números complejos es la magnitud del vector 𝑉, que es el módulo del número complejo 𝑉. Y, por supuesto, 𝑉 como número complejo es simplemente 𝑧 uno menos 𝑧 dos. Tenemos, por lo tanto, otro enfoque para la distancia entre los números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos. Esta distancia es el módulo de su diferencia.

Terminemos el problema usando este método. Sabemos que 𝑧 uno es menos dos más siete 𝑖. Y 𝑧 dos es seis menos tres 𝑖. Restando sus partes reales e imaginarias, obtenemos el módulo de menos ocho más 10𝑖. Y usando la formula del módulo, obtenemos la raíz cuadrada de menos ocho al cuadrado más 10 al cuadrado, que al ser simplificado se convierte en dos raíz de 41.

Vale la pena volver a escribir las conclusiones. Pausa y echa un vistazo si quieres. Y podemos ver aquí cómo el módulo realmente hace para los números complejos lo que la función valor absoluto hace para los números reales. La distancia entre dos números reales es el valor absoluto de su diferencia. La distancia entre dos números complejos es el módulo de su diferencia.

Resolvamos un último problema.

Un número complejo 𝑤 se halla a una distancia de cinco raíz de dos de 𝑧 uno igual a tres más cinco 𝑖 y a una distancia de cuatro raíz de cinco de 𝑧 dos igual a menos seis menos dos 𝑖. ¿Es el triángulo formado por los puntos 𝑤, 𝑧 uno, y 𝑧 dos un triángulo rectángulo?

Tenemos 𝑧 uno igual a tres más cinco 𝑖. Y 𝑧 dos igual a menos seis menos dos 𝑖, los cuales podemos posicionar con precisión en un diagrama de Argand en el plano complejo. Sin embargo, es difícil adivinar dónde debe ir el número complejo 𝑤. Todo lo que sabemos es que se encuentra a la distancia de cinco raíz de dos de 𝑧 uno y cuatro raíz de cinco de 𝑧 dos. La pregunta es si el triángulo con estos vértices es un triángulo rectángulo. Y como además sabemos dos longitudes, tiene sentido tratar de usar el teorema de Pitágoras.

Si el cuadrado de la longitud del lado más largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, se trata de un triángulo rectángulo. Pero primero, necesitamos hallar la longitud del lado más largo, que llamaremos 𝑑. 𝑑 es la distancia entre los números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos. Y, por tanto, es el módulo de 𝑧 uno menos 𝑧 dos. Sustituimos los valores conocidos de 𝑧 uno y 𝑧 dos, y restamos los números complejos para obtener nueve más siete 𝑖. Su módulo es la raíz cuadrada de nueve al cuadrado más siete al cuadrado, que es la raíz cuadrada de 130.

Ahora, podemos aplicar el inverso del teorema de Pitágoras. Necesitamos identificar el lado más largo. Ten en cuenta que nuestro diagrama puede no ser muy preciso. Podemos reescribir las longitudes de los otros dos lados como raíz de 50 y raíz de 80, respectivamente. Y así vemos que el lado más largo es realmente 𝑑. Solo tenemos que verificar si 𝑑 al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Como 𝑑 es raíz de 130, 𝑑 al cuadrado es 130. Cinco raíz de dos al cuadrado es cinco al cuadrado, que es 25 por dos. Y de manera similar, cuatro raíz de cinco al cuadrado es cuatro al cuadrado, que es 16, por cinco. ¿Y es 130 igual a 50 más 80? Sí, lo es. Y, por lo tanto, nuestro triángulo es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en 𝑤.

Halla el punto medio de tres más cinco 𝑖 y siete menos 13𝑖.

Estamos pensando en estos números complejos en un diagrama de Argand en el plano complejo. Podemos graficar estos números en el diagrama de Argand y conectarlos mediante un segmento. Estamos buscando el punto medio de este segmento. Ese es el punto en el segmento que lo divide en dos mitades iguales. Podemos usar el hecho de que los números complejos en un diagrama de Argand se comportan como puntos. Y basta recordar que, en geometría coordenada, el punto medio de los puntos 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝑥 dos, 𝑦 dos es el punto 𝑥 uno más 𝑥 dos sobre dos, 𝑦 uno más 𝑦 uno [𝑦 dos] sobre dos, para ver que el punto medio debe tener coordenadas tres más siete sobre dos, cinco menos 13 sobre dos. Y esto corresponde al número complejo tres más siete sobre dos más cinco menos 13 sobre dos 𝑖. Así que solo necesitamos simplificar este número. Tres más siete son 10. Y cinco menos 13 es menos ocho. Y vemos que el punto medio representa el número complejo cinco menos cuatro 𝑖.

Ahora vamos a tomar este resultado de la geometría de coordenadas y vamos a expresarlo en la notación de números complejos. El punto 𝑥 uno, 𝑦 uno se convierte en el número complejo 𝑧 uno igual a 𝑥 uno más 𝑦 uno 𝑖. Y el punto 𝑥 dos, 𝑦 dos se convierte en el número complejo 𝑧 dos igual a 𝑥 dos más 𝑦 dos 𝑖. Y el punto medio se convierte en 𝑥 uno más 𝑥 dos sobre dos más 𝑦 uno más 𝑦 dos sobre dos 𝑖. ¿Por qué es esto interesante? Resulta que podemos reorganizar esto un poco. Combinando las fracciones y reorganizando dos de los términos en el numerador, vemos que obtenemos 𝑧 uno más 𝑧 dos sobre dos. El punto medio de dos números complejos en un diagrama de Argand es simplemente su media aritmética. Esto generaliza el hecho de que el punto medio de dos números reales en la recta numérica real está representado por su media aritmética.

Usar la notación de números complejos hace la fórmula de los puntos medios mucho más simple y fácil de recordar. No es necesario decir que el punto medio es un punto cuyas coordenadas son las medias aritméticas de las coordenadas de los dos puntos. Basta con decir que el punto medio es la media aritmética de los dos puntos.

Veamos un ejemplo de su aplicación.

Sean 𝑧 uno, 𝑚, y 𝑧 dos números complejos tales que 𝑚 se halla en el punto medio del segmento que conecta 𝑧 uno con 𝑧 dos. Sabiendo que 𝑧 dos es igual a cuatro más cinco 𝑖 y 𝑚 es igual a menos 12 más 20𝑖, halla 𝑧 uno.

Bueno, podríamos dibujar un diagrama de Argand y razonar geométricamente. Pero hay otra forma. Sabemos que el punto medio 𝑚 es la media aritmética de los números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos. Y podemos reorganizar esta ecuación para hallar 𝑧 uno en términos de 𝑚 y 𝑧 dos. Multiplicamos ambos lados por dos, restamos 𝑧 dos de ambos lados e intercambiamos los lados para hallar que 𝑧 uno es dos 𝑚 menos 𝑧 dos. Conocemos los valores de 𝑚 y 𝑧 dos. Y los sustituimos. Eliminamos los paréntesis y simplificamos, y obtenemos que 𝑧 uno es menos 28 más 35𝑖.

Antes de pasar al siguiente ejemplo, consideremos una generalización del punto medio.

El punto medio de dos números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos divide el segmento de recta que los conecta en dos partes iguales. Pero, ¿y si no quisiéramos que esas partes fueran iguales? ¿Qué pasaría si, quisiéramos dividir el segmento de recta en la razón uno a dos? ¿Cómo hallaríamos el número complejo 𝑤 que corresponde al punto que divide el segmento de recta de esta forma? El truco es usar vectores. Pensemos en los vectores de posición de 𝑧 uno y de 𝑧 dos. Y pensemos también en el segmento de recta que conecta 𝑧 uno y 𝑧 dos como un vector. ¿Qué vector es este? Bueno, podemos llegar desde su inicio hasta su fin yendo en sentido opuesto a 𝑧 uno y luego a lo largo del vector 𝑧 dos. Por lo tanto, este es el vector menos 𝑧 uno más 𝑧 dos o, de manera equivalente, 𝑧 dos menos 𝑧 uno.

Queremos hallar la posición del vector correspondiente a 𝑤. Y vemos que podemos llegar a 𝑤 recorriendo primero todo el vector 𝑧 uno y recorriendo luego parte del vector 𝑧 dos menos 𝑧 uno. Este vector que sumamos a 𝑧 uno es un múltiplo del vector verde largo 𝑧 dos menos 𝑧 uno. ¿Pero qué múltiplo? Bien, podemos reescribir la razón como un tercio a dos tercios. Y luego, en total, tenemos uno. No es difícil ver que necesitamos sumar un tercio de 𝑧 dos menos 𝑧 uno a 𝑧 uno. Y podemos multiplicar y simplificar para obtener dos tercios 𝑧 uno más un tercio 𝑧 dos.

Podemos dividir el segmento de recta en cualquier otra razón que queramos, la razón arbitraria 𝑎 a 𝑏, por ejemplo. Esta razón puede ser reescrita de modo que la suma de los números sea uno. Y si 𝑎 sobre 𝑎 más 𝑏 es 𝑘, entonces 𝑏 sobre 𝑎 más 𝑏 es uno menos 𝑘. Escrito de esta forma, hallamos que 𝑤 es 𝑧 uno más 𝑘 por 𝑧 dos menos 𝑧 uno o uno menos 𝑘 por 𝑧 uno más 𝑘 por 𝑧 dos. Haciendo 𝑘 igual a un medio, obtenemos el punto medio. Y vemos que tenemos una generalización del punto medio. También podrás tal vez reconocer esa ecuación como la ecuación vectorial de una recta, si la has estudiado. En ese contexto, 𝑘 no está limitado a tomar valores entre cero y uno, sino que puede tomar cualquier valor real. Usemos esta generalización de los puntos medios para resolver un problema de geometría.

Un triángulo tiene vértices en los puntos 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en el plano complejo. Halla una expresión para el baricentro del triángulo en términos de 𝑎, 𝑏, y 𝑐. Puede usarse el hecho de que el baricentro divide las medianas en la razón dos a uno.

Dibujemos un triángulo arbitrario en el plano complejo con vértices 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Estamos buscando el baricentro de ese triángulo. Y podemos usar el hecho de que el baricentro divide cualquier mediana del triángulo en la razón dos a uno. ¿Y qué es una mediana de un triángulo? Es el segmento entre un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Es decir, que si tomamos el vértice 𝑎, necesitamos hallar el punto medio del lado opuesto. Parece estar aquí. Y conectando los dos puntos, obtenemos una mediana. Para hallar el baricentro, usamos el hecho de que divide cualquier mediana en la proporción dos a uno. Es decir que el baricentro está por aquí. Está dos veces más lejos del vértice que del punto medio del lado opuesto.

Ahora, queremos hallar una expresión para este baricentro en términos de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. ¿Cómo vamos a hacer eso? Bueno, sabemos que el punto medio de los números complejos 𝑏 y 𝑐 es simplemente su media aritmética, 𝑏 más 𝑐 sobre dos. Llamemos a esto 𝑚 por simplicidad. Y el baricentro divide el segmento de 𝑎 a 𝑚 en la proporción dos tercios a un tercio. Podemos obtener la respuesta yendo a 𝑚 y recorriendo después un tercio del camino de 𝑚 a 𝑎. Usando lo que sabemos sobre 𝑚, podemos escribir el centroide en términos de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Y ahora solo necesitamos simplificar.

Multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fracción por dos para obtener una fracción con denominador de seis. Y así escribimos la primera fracción sobre seis también. Podemos combinar las fracciones. Y al hacerlo, agrupamos algunos términos semejantes en el numerador. Finalmente, cancelamos el factor común de dos en el numerador y en el denominador y reorganizamos algunos de los términos en el numerador para obtener que el baricentro es 𝑎 más 𝑏 más 𝑐 sobre tres. Usando números complejos y aplicando métodos simples, hemos obtenido este elegante resultado.

Para resumir, la distancia 𝑑 entre dos números complejos 𝑧 uno igual a 𝑥 uno más 𝑦 uno 𝑖 y 𝑧 dos igual a 𝑥 dos más 𝑦 dos 𝑖 puede expresarse en términos del módulo de un número complejo como 𝑑 igual al módulo de 𝑧 uno menos 𝑧 dos, que es equivalente a la raíz cuadrada de 𝑥 uno menos 𝑥 dos al cuadrado más 𝑦 uno menos 𝑦 dos al cuadrado. El punto medio 𝑚 de dos números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos se encuentra en su media aritmética, es decir, 𝑚 es igual a 𝑧 uno más 𝑧 dos sobre dos. Y podemos generalizar esto para hallar el punto 𝑤 que se halla a una fracción arbitraria entre cero y uno a lo largo del segmento que va de 𝑧 uno a 𝑧 dos. Está dado por 𝑤 igual a uno menos 𝑘 por 𝑧 uno más 𝑘 por 𝑧 dos. Y si 𝑘 es mayor que uno, entonces 𝑤 se encuentra en la recta extendida más allá de 𝑧 dos. Y si 𝑘 es menor que cero, 𝑤 se encuentra en la línea extendida más acá de 𝑧 uno. Estos son los puntos clave que hemos utilizado en este video, y hemos sido capaces de resolver de una manera simple y elegante problemas geométricos usando números complejos.

Nagwa usa cookies para asegurarse de que disfrutes de la mejor experiencia en nuestro sitio web. Descubrir más acerca de nuestra Política de privacidad.