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Si tenemos una función complicada que queremos derivar; por ejemplo, un producto, un cociente o una potencia, podemos usar nuestros conocimientos sobre la derivada del logaritmo, la regla de la cadena y las propiedades de los logaritmos para hallar la derivada de nuestra función. Para esto, tomamos el logaritmo de nuestra función y usamos las leyes de los logaritmos para desarrollar o simplificar nuestra expresión y luego derivar. Después despejamos d𝑦 sobre d𝑥. En este video, vamos a ver cómo funciona esto y vamos a ver también algunos ejemplos.
Supongamos que tenemos una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 y que nuestra función es demasiado complicada para derivarla usando las reglas habituales. Para usar la derivación logarítmica, primero aplicamos el logaritmo neperiano a ambos lados de la ecuación, de modo que obtenemos ln 𝑦, donde ln 𝑦 es el logaritmo neperiano (también llamado logaritmo natural) de 𝑓 de 𝑥, o sea, es el logaritmo en base 𝑒, siendo 𝑒 el número de Euler, el cual, redondeado a cinco cifras decimales, es 2.71828. Una vez que hemos aplicado el logaritmo neperiano a ambos lados, podemos usar las leyes de los logaritmos para simplificar nuestra ecuación. Nuestro tercer paso es derivar ambos lados con respecto a 𝑥. Y nuestro último paso es despejar 𝑦 prima; eso es, d𝑦 sobre d𝑥. Veamos un poco más de cerca nuestros pasos aquí, ya que existen algunas restricciones en este método de derivación.
Como en el primer paso estamos tomando el logaritmo de ambos lados, debemos tener en cuenta que la derivación logarítmica solo es válida para valores de 𝑓 de 𝑥 mayores que cero. Si miramos una gráfica de la función logarítmica, llamemos a nuestra variable 𝑢, podemos ver que la función no existe para valores de 𝑢 menores o iguales que cero. Podemos incluir valores negativos de nuestra variable, pero solo si tomamos el logaritmo de los valores absolutos, que en un gráfico se ve así. Ten en cuenta, sin embargo, que nuestra función aún no está definida para 𝑢 igual a cero. Y sabemos que para 𝑢 mayor que cero, la derivada con respecto a 𝑢 de ln 𝑢 es uno sobre 𝑢. Y, de hecho, para valores de 𝑢 distintos de cero, lo mismo se aplica a la derivada del logaritmo natural del valor absoluto de 𝑢. Así que nuestra derivada en ambos casos es uno sobre 𝑢.
Entonces, cuando usamos este método de derivación, técnicamente, necesitamos especificar si 𝑓 de 𝑥 es mayor que cero, en cuyo caso tomamos los logaritmos naturales en ambos lados, o si estamos especificando 𝑓 de 𝑥 distinta de cero, en cuyo caso debemos tomar el logaritmo natural de los valores absolutos en ambos lados. S trata pues de aplicar el logaritmo neperiano a ambos lados, pero ¿cómo nos ayuda esto a derivar una función complicada? Bien, aquí es donde entra nuestro segundo paso. En el segundo paso, usamos las leyes de los logaritmos para hacer el lado derecho más fácil de derivar.
Recuerda que los logaritmos convierten productos y cocientes en sumas, de modo que el logaritmo del producto 𝑎𝑏 es el logaritmo de 𝑎 más el logaritmo de 𝑏 y el logaritmo del cociente 𝑎 sobre 𝑏 es el logaritmo de 𝑎 menos el logaritmo de 𝑏 y los logaritmos también convierten potencias en productos. Pues ya sabemos que el logaritmo de 𝑎 elevado a 𝑏 es 𝑏 por el logaritmo de 𝑎. Y una vez que hemos llevado nuestra función a una forma más manejable usando estas leyes, en el paso tres, derivamos las expresiones resultantes.
En el lado izquierdo, vamos a usar la derivación implícita ya que ahora estamos derivando una función de 𝑦, que es en sí misma una función de 𝑥. ¿Y cómo funciona esto? Bien, si tenemos una función 𝑔 , que es una función de 𝑦, que es una función de 𝑥, y esa es ℎ de 𝑥, entonces en nuestro lado izquierdo, d𝑔 sobre d𝑥 es igual a d𝑔 sobre d𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥, que en el lado derecho es dℎ sobre d𝑥. Luego podemos pasar al paso cuatro, que es despejar d𝑦 sobre d𝑥. Y eso nos da que d𝑦 sobre d𝑥 es dℎ sobre d𝑥 dividido por d𝑔 sobre d𝑦. Ahora recuerda, en nuestro caso, 𝑔 es el logaritmo natural de 𝑦, que es 𝑓 de 𝑥. Hagamos un poco de espacio aquí.
Tenemos d𝑔 sobre d𝑥 es d𝑔 sobre d𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Y recuerda que d sobre d𝑢 de la función ln 𝑢 es uno sobre 𝑢. Así que d𝑔 sobre d𝑦 es uno sobre 𝑦. Y tenemos que d𝑔 por d𝑥 es uno sobre 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Y eso es igual a d𝑓 sobre d𝑥. Así que ahora podemos multiplicar por 𝑦, lo que nos da d𝑦 sobre d𝑥 en el lado izquierdo es igual a 𝑦 por d𝑓 sobre d𝑥 en el lado derecho. Y tenemos nuestra derivada d𝑦 sobre d𝑥. Veamos ahora cómo funciona la derivación logarítmica en la práctica si nuestro lado derecho es un producto.
Supongamos que tenemos una función 𝑦, que es el producto de las funciones 𝑓 de 𝑥 y 𝑔 de 𝑥. Y queremos usar derivación logarítmica para hallar d𝑦 sobre d𝑥. Primero tomamos los logaritmos naturales de los valores absolutos en ambos lados. Y notamos que esto es válido para 𝑦 no igual a cero. Podemos aplicar la regla del producto para los logaritmos a nuestro lado derecho, donde también hemos usado la regla del producto para los valores absolutos. Así que nuestro lado derecho es el logaritmo natural del valor absoluto de 𝑓 más el logaritmo natural del valor absoluto de 𝑔.
Queremos derivar ambos lados con respecto a 𝑥, y en el lado derecho, podemos usar el hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. En el lado izquierdo, podemos usar el hecho de que d sobre d𝑢 del logaritmo natural del valor absoluto de 𝑢 es uno sobre 𝑢 para 𝑢 distinto de cero. Y recordando que 𝑦 es en realidad una función de 𝑥, podemos usar la regla de la cadena. Esta dice que, si 𝑔 es una función de 𝑦 que es una función de 𝑥, entonces d𝑔 sobre d𝑥 es d𝑔 sobre d𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. En nuestro caso, 𝑔 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑦. Y usando nuestro resultado para el logaritmo neperiano, la derivada con respecto a 𝑦 es uno sobre 𝑦, que por la regla de la cadena multiplicamos por d𝑦 sobre d𝑥.
Usamos exactamente el mismo proceso para cada uno de los términos en el lado derecho, de modo que uno sobre 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno sobre 𝑓 d𝑓 sobre d𝑥 más uno sobre 𝑔 d𝑔 sobre d𝑥. Para hacer las cosas un poco más fáciles de ver, usemos la notación 𝑦 prima para d𝑦 sobre d𝑥. Y ahora, si multiplicamos por 𝑦, 𝑦 se cancela en el lado izquierdo y tenemos 𝑦 por 𝑓 prima sobre 𝑓 más 𝑦 por 𝑔 prima sobre 𝑔 en el lado derecho.
Ahora debemos recordar que 𝑦 es en realidad 𝑓 por 𝑔. Y podemos cancelar una 𝑓 en el primer término y una 𝑔 en el segundo término, y hallamos que 𝑦 prima es 𝑓 prima 𝑔 más 𝑓 por 𝑔 prima, que no es otra cosa que la regla del producto para la derivación. Y lo que hemos hecho es mostrar que se puede obtener la regla del producto para la derivación como una consecuencia de la derivada del logaritmo. Y, de hecho, la regla del cociente para las derivadas se puede obtener de manera similar. La idea principal de todo esto es que para una función 𝑦, tomamos los logaritmos naturales en ambos lados y usamos las leyes de los logaritmos para hacer nuestro lado derecho más derivable. Después derivamos cada componente y luego aislamos 𝑦 prima o d𝑦 sobre d𝑥. Ahora que conocemos nuestros pasos, vamos a aplicarlos a un ejemplo donde 𝑦 es una función complicada de 𝑥.
Halla d𝑦 sobre d𝑥 sabiendo que seis 𝑦 es igual a siete 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥.
Nos piden hallar la derivada con respecto a 𝑥 de la función seis 𝑦 igual a siete 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥. Y antes de comenzar, hay un par de cosas que debemos tener en cuenta sobre nuestra ecuación aquí. La primera es que, en el lado izquierdo, tenemos seis 𝑦 en lugar de 𝑦. Como 𝑦 no está sola en la izquierda, llamamos a esto función implícita o ecuación implícita. Lo segundo que debemos notar es que nuestro exponente en el lado derecho no es una constante. De hecho, nuestro exponente incluye una variable 𝑥. Y debido a esto, no podemos aplicar inmediatamente ninguna de nuestras reglas básicas de la derivación. Lo que podemos hacer para hallar d𝑦 por d𝑥 es usar derivación logarítmica.
Lo primero que podemos hacer es despejar 𝑦 en el lado izquierdo dividiendo por seis. Luego podemos cancelar los seises de la izquierda para obtener siete sobre seis 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥. Ahora aplicamos la derivación logarítmica. Y nuestro primer paso es aplicar el logaritmo neperiano a ambos lados. Y recuerda que el logaritmo neperiano es el logaritmo en base el número de Euler 𝑒, el cual, con cinco cifras decimales, es 𝑒 igual a 2.71828, de modo que tenemos que el logaritmo natural de 𝑦 es el logaritmo natural de 𝑓 de 𝑥. En nuestro caso, ese es el logaritmo natural de siete sobre seis por 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥.
Debemos tener en cuenta que para que la derivación logarítmica sea válida, necesitamos especificar aquí que 𝑦 es mayor que cero. Esto se debe a que el logaritmo de cero no está definido y la función no existe para valores negativos. Si queremos incluir valores negativos, debemos poner rayas verticales de valor absoluto alrededor de 𝑦 y alrededor de 𝑓 de 𝑥. Pero en nuestro caso, simplemente vamos a suponer que 𝑦 es mayor que cero. Nuestra función parece más complicada de lo que era al principio. Pero aquí es donde se demuestra la utilidad de los logaritmos. Usamos las leyes de los logaritmos para desarrollar nuestro lado derecho. Lo primero que podemos hacer es usar la regla del producto para logaritmos, que dice que el logaritmo de 𝑎𝑏 es igual al logaritmo de 𝑎 más el logaritmo de 𝑏, de modo que, en nuestro lado derecho, podemos descomponer esto en el logaritmo de siete partido por seis más el logaritmo natural de 𝑥 elevado a tres partido por cinco 𝑥.
Y podemos desarrollar aún más nuestro segundo término usando la regla de la potencia para logaritmos. La cual dice que el logaritmo de 𝑎 elevado a 𝑏 es 𝑏 por el logaritmo de 𝑎. Nuestro lado derecho es el logaritmo natural de siete sobre seis más tres sobre cinco 𝑥 por el logaritmo natural de 𝑥. Nuestro tercer paso en la derivación logarítmica es derivar ambos lados con respecto a 𝑥. En nuestro lado izquierdo, estamos derivando una función de una función porque 𝑦 es en realidad una función de 𝑥. Y recuerda que, si tenemos una función 𝑔 que es una función de 𝑦 que es una función de 𝑥, según la regla de la cadena, tenemos que d𝑔 sobre d𝑥 es igual a d𝑔 sobre d𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Y en nuestro caso, 𝑔 es el logaritmo natural de 𝑦.
Habiendo hecho esto, podemos usar el resultado de que la derivada del logaritmo natural de 𝑢 con respecto a 𝑢 es uno sobre 𝑢 para 𝑢 mayor que cero, de modo que, en nuestro lado izquierdo, tenemos uno sobre 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥, donde uno sobre 𝑦 es nuestro d𝑔 por d𝑦. Y, en el lado derecho, sabemos que el logaritmo de siete sobre seis es el logaritmo de una constante, que es una constante, por lo que la derivada de esto es igual a cero. Así que ahora, necesitamos hallar la derivada de tres sobre cinco 𝑥 por el logaritmo de 𝑥. Y para esto, podemos usar la regla del producto para la derivada, donde, en nuestro caso, 𝑓 es tres sobre cinco 𝑥 y 𝑔 es el logaritmo natural de 𝑥.
Teniendo en cuenta que tres sobre cinco 𝑥 es en realidad tres sobre cinco por 𝑥 elevado a menos uno y que esta es una función de la forma 𝑎 por 𝑥 elevada a la 𝑛-ésima potencia, podemos usar la regla de la potencia para las derivadas, que dice que d por d𝑥 de 𝑎 por 𝑥 a la 𝑛-ésima potencia es 𝑛 por 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno. Es decir, multiplicamos por el exponente y restamos uno del exponente. Y, por lo tanto, d sobre d𝑥 de tres sobre cinco 𝑥 elevado a menos uno es menos tres sobre cinco 𝑥 elevado a menos dos.
Y, recordando que la derivada del logaritmo natural de 𝑥 es uno sobre 𝑥, obtenemos con nuestra regla del producto que 𝑓 prima es menos tres sobre cinco 𝑥 elevado a menos dos y 𝑔 prima es uno sobre 𝑥, la derivada de nuestro lado derecho es menos tres sobre cinco 𝑥 al cuadrado, que es 𝑓 prima, multiplicada por el logaritmo neperiano de 𝑥, que es 𝑔, más tres sobre cinco 𝑥, que es 𝑓, multiplicado por uno sobre 𝑥, que es 𝑔 prima. Reorganizando esto obtenemos tres sobre cinco 𝑥 al cuadrado menos tres sobre cinco 𝑥 al cuadrado por el logaritmo natural de 𝑥. Y como tenemos un factor común de tres sobre cinco 𝑥 al cuadrado, podemos sacarlo.
Recuerda que estamos tratando de hallar d𝑦 sobre d𝑥. Esto significa que necesitamos despejar d𝑦 sobre d𝑥 en el lado izquierdo. Podemos hacer esto multiplicando por 𝑦. Y este es el cuarto paso en nuestra derivación logarítmica. Podemos cancelar las 𝑦 en el lado izquierdo. Y en el lado derecho, tenemos tres 𝑦 sobre cinco 𝑥 al cuadrado por uno menos el logaritmo de 𝑥. Recordamos, sin embargo, que 𝑦 es igual a siete sobre seis por 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥. Y sustituyendo esto, podemos cancelar un tres y obtener un coeficiente constante de siete sobre 10. Así que ahora, si nos fijamos en nuestras potencias de 𝑥, vemos que, de hecho, es 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥 menos dos. Así que hemos obtenido que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a siete sobre 10 por 𝑥 elevado a tres sobre cinco 𝑥 menos dos por uno menos el logaritmo neperiano de 𝑥.
Veamos ahora otro ejemplo de cómo podemos usar la derivación logarítmica para derivar una función con un exponente variable, pero esta vez con una función trigonométrica.
Usa derivación logarítmica para hallar la derivada de la función 𝑦 igual a dos cos de 𝑥 elevado a 𝑥.
Nos piden hallar la derivada de la función 𝑦 igual a dos cos de 𝑥 elevado a 𝑥. Y nos dicen que usemos derivación logarítmica para hacer esto. Si tenemos una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, entonces lo primero que hacemos es aplicar el logaritmo neperiano a ambos lados. Recuerda, el logaritmo neperiano o logaritmo natural es el logaritmo en base 𝑒, donde 𝑒 es el número de Euler, que con cinco cifras decimales es 2.71828. Necesitamos especificar que, a menos que tomemos los valores absolutos de 𝑦 y 𝑓 de 𝑥, 𝑦 debe ser mayor que cero. Esto se debe a que el logaritmo de cero no está definido y el logaritmo tampoco existe para valores negativos.
Técnicamente, si tomamos los valores absolutos de 𝑦 y 𝑓 de 𝑥 y luego aplicamos los logaritmos naturales, nos protegemos de los valores negativos. Pero simplemente diremos aquí que nuestra solución es válida solo para valores positivos de 𝑦. Y ahora tomamos el logaritmo natural en ambos lados. Y nuestro segundo paso es usar las leyes de los logaritmos para desarrollar nuestro lado derecho. En nuestro caso, como nuestro argumento es un producto, podemos usar la regla del producto para los logaritmos, que dice que el logaritmo de 𝑎 por 𝑏 es el logaritmo de 𝑎 más el logaritmo de 𝑏. Tenemos 𝑎 igual a dos y 𝑏 igual a cos 𝑥 a la 𝑥 de modo que tenemos el logaritmo de dos más el logaritmo del cos de 𝑥 elevado a 𝑥.
Y como ahora en nuestro segundo término tenemos un exponente, podemos usar la ley de los exponentes para los logaritmos, que dice que el logaritmo de 𝑎 elevado a 𝑏 es 𝑏 por el logaritmo de 𝑎. En nuestro término, 𝑎 es igual a cos 𝑥 y el exponente 𝑏 es igual a 𝑥. Así que, en nuestro lado derecho, tenemos el logaritmo natural de dos más 𝑥 por el logaritmo natural de cos 𝑥. Nuestro tercer paso en la derivación logarítmica es derivar ambos lados con respecto a 𝑥. En nuestro lado derecho, usamos el hecho de que la derivada de una suma es la suma de las derivadas. Y en el lado izquierdo, vamos a usar la derivación implícita. Eso es porque en el lado izquierdo, tenemos una función de 𝑦 que es en sí misma una función de 𝑥.
Y si tenemos una función 𝑔 que es una función de 𝑦 que es una función de 𝑥, entonces d𝑔 sobre d𝑥 es igual a d𝑔 sobre d𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥, que es la regla de la cadena para una función de una función. En nuestro caso, 𝑔 es el logaritmo natural de 𝑦. Y podemos usar el hecho de que la derivada con respecto a 𝑢 del logaritmo neperiano de 𝑢 es igual a uno sobre 𝑢 si 𝑢 es mayor que cero. Esto nos da uno sobre 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥 en nuestro lado izquierdo. En nuestro lado derecho, como el logaritmo neperiano de dos es una constante, su derivada es igual a cero. Y para nuestro segundo término, ya que tenemos un producto, podemos usar la regla del producto para la derivación, donde en nuestra regla del producto 𝑓 es igual a la función 𝑥 y 𝑔 es igual a la función logaritmo natural de cos 𝑥.
Así que ahora, 𝑓 es igual a 𝑥, ℎ es la función cos 𝑥, y 𝑔 es igual al logaritmo neperiano de ℎ. Y además de la regla del producto para la derivación, debemos usar también la regla de la cadena. Con 𝑓 igual a 𝑥, d𝑓 por d𝑥 es igual a uno, dℎ por d𝑥 es igual a menos sen 𝑥, y por la regla de la cadena d𝑔 sobre d𝑥 es igual a d𝑔 sobre dℎ por dℎ sobre d𝑥, que según nuestra derivada para los logaritmos es igual a uno sobre ℎ por menos sen 𝑥, que es menos sen 𝑥 sobre cos 𝑥. Y como sen 𝑥 sobre cos 𝑥 es tan 𝑥, tenemos menos tan de 𝑥.
Recuerda, en nuestra regla del producto, 𝑓 es igual a 𝑥 y 𝑔 es igual al logaritmo neperiano de cos 𝑥. Así que la derivada de nuestro segundo término es 𝑓 prima por 𝑔, que es uno por el logaritmo neperiano de cos 𝑥, más 𝑓 por 𝑔 prima, que es 𝑥 por menos tan de 𝑥, es decir, el logaritmo natural de cos 𝑥 menos 𝑥 tan 𝑥.
Bien, arreglemos un poco las cosas. Y tenemos que uno sobre 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥 es igual al logaritmo neperiano de cos 𝑥 menos 𝑥 tan 𝑥. Y nuestro paso final es despejar d𝑦 sobre d𝑥. Si multiplicamos por 𝑦, podemos cancelar 𝑦 en el lado izquierdo. Y recuerda que 𝑦 es igual a dos por cos de 𝑥 elevado a 𝑥, de modo que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a dos por cos de 𝑥 elevado a 𝑥 por el logaritmo neperiano de cos de 𝑥 menos 𝑥 tan 𝑥.
Concluyamos nuestra discusión sobre la derivación logarítmica repasando algunos puntos clave. Supongamos que tenemos una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, que nos gustaría derivar usando derivación logarítmica. Nuestro primer paso es tomar el logaritmo neperiano en ambos lados, sabiendo que el logaritmo neperiano es el logaritmo en base 𝑒. Y 𝑒 es, por supuesto, el número de Euler, que es aproximadamente igual a 2.71828. Así que tenemos que el logaritmo neperiano de 𝑦 es el logaritmo neperiano de 𝑓 de 𝑥. Necesitamos especificar que esto es para 𝑦 mayor que cero ya que el logaritmo de cero no existe. Y la función logarítmica tampoco existe para valores negativos.
Alternativamente, podemos tomar el logaritmo neperiano de los valores absolutos. Esto incluye tanto los valores de 𝑦 que son tanto positivos como los negativos, pero no los que valen cero. Nuestro segundo paso es usar las leyes de los logaritmos para desarrollar. Luego derivamos con respecto a 𝑥 y finalmente despejamos d𝑦 por d𝑥. Y usamos la derivación logarítmica cuando nuestra función es demasiado complicada para aplicar directamente las reglas básicas de la derivación pues, por ejemplo, tenemos exponentes que son variables, que no son constantes.
