Lesson Video: Números imaginarios

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En este video, vamos a aprender cómo trabajar con números imaginarios. Saber cómo trabajar con estos números es una base importante para trabajar con eficacia y seguridad con números complejos. Vamos a comenzar aprendiendo cómo evaluar y simplificar números imaginarios, incluido hallar productos de estos números. Después, después vamos a ver cómo resolver ecuaciones que tienen soluciones imaginarias.

Rafael Bombelli fue un matemático que es considerado el inventor de los números complejos. Mientras que otros matemáticos resolvían ecuaciones reconociendo soluciones puramente reales, Bombelli vio la utilidad de trabajar con la raíz cuadrada de números negativos e introdujo las reglas de la aritmética para los números imaginarios que todavía usamos en la actualidad. La novedad fue que Bombelli evitó dar un nombre especial a la raíz cuadrada de los números negativos, y prefirió tratarlos como lo haría con cualquier otro radical. Llamó «más de menos» a lo que ahora conocemos como 𝑖. Y usaba el término «menos de menos» para referirse a menos 𝑖.

Pero ¿cuál es la definición de este número imaginario que ahora llamamos 𝑖? En su forma más básica, 𝑖 se define como la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno. Esto significa que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y podemos decir a su vez que 𝑖 es igual a la raíz cuadrada de menos uno. Se dice que 𝑖 es un número imaginario básicamente porque no es parte del conjunto de los números reales. Y, además, cualquier múltiplo real de 𝑖, en otras palabras, 𝑏𝑖, donde 𝑏 es un número real, es también un número imaginario.

¿Por qué los usamos? ¿Por qué no nos conformamos con el conjunto de los números reales que conocemos tan bien? Bien, como ya hemos visto en la definición de 𝑖, hay algunas ecuaciones que no tienen soluciones reales. Los números imaginarios nos permiten resolver estas ecuaciones. Veamos un ejemplo de esto. Comencemos considerando una ecuación que requiere muy poco reordenamiento.

Resuelve la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos 16.

Para resolver una ecuación como esta, comenzamos haciendo lo que haríamos con cualquier ecuación con soluciones reales, que es aplicar una serie de operaciones inversas. En este caso, vamos a hallar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Sin embargo, antes de hacerlo, elegimos reescribir menos 16 un poco. Vamos a escribirlo como 16𝑖 al cuadrado. Y, en un momento, vamos a ver por qué hacemos esto. Pero por ahora, funciona porque 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y esto significa que 16𝑖 al cuadrado es 16 veces menos uno, que es menos 16.

Y ahora que tenemos la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a 16𝑖 al cuadrado, podemos hallar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, recordando que debemos considerar tanto la raíz positiva como la negativa de 16𝑖 al cuadrado. La raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado es 𝑥. 𝑥 es igual a la raíz cuadrada positiva y negativa de 16𝑖 al cuadrado. Y durante este siguiente paso, se hará evidente por qué elegimos escribir menos 16 como 16𝑖 al cuadrado. Podemos escribir raíz cuadrada de 16𝑖 al cuadrado como la raíz cuadrada de 16 por la raíz cuadrada de 𝑖 al cuadrado.

La raíz cuadrada de 16 es cuatro y la raíz cuadrada de 𝑖 al cuadrado es simplemente 𝑖, por lo que, a su vez, podemos ver que 𝑥 es igual a más o menos cuatro. Las soluciones de la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos 16 son cuatro 𝑖 y menos cuatro 𝑖. Y ahora podemos ver por qué hemos escrito menos 16 como 16𝑖 al cuadrado. Hizo que estos pasos finales fueran un poco más fáciles de realizar.

Y, por supuesto, podemos verificar estas soluciones sustituyéndolas nuevamente en la ecuación original. Probemos esto para 𝑥 igual a cuatro 𝑖 primero. 𝑥 al cuadrado es cuatro 𝑖 al cuadrado. Y, por supuesto, eso es cuatro 𝑖 por cuatro 𝑖. La multiplicación es conmutativa. Se puede realizar en cualquier orden. Así que podemos reescribir esto como cuatro por cuatro por 𝑖 por 𝑖. Cuatro multiplicado por cuatro es 16 y 𝑖 por 𝑖 es 𝑖 al cuadrado. Y como 𝑖 al cuadrado es menos uno, 𝑥 al cuadrado es menos 16 como se requiere.

Podemos repetir este proceso para 𝑥 igual a menos cuatro 𝑖. 𝑥 al cuadrado es menos cuatro 𝑖 por menos cuatro 𝑖, que a su vez se puede escribir como menos cuatro por menos cuatro por 𝑖 por 𝑖. Una vez más, como menos cuatro por menos cuatro es 16 positivo, obtenemos 16𝑖 al cuadrado, que es menos 16 como se requiere.

A continuación, vamos a ver una ecuación que requiere un poco más de trabajo para resolverla.

Resuelve la ecuación dos 𝑥 al cuadrado igual a menos 50.

Para comenzar a resolver esta ecuación, vamos a dividir ambos lados por dos. Menos 50 dividido por dos es menos 25. Así que 𝑥 al cuadrado es igual a menos 25. Reescribimos menos 25 como 25𝑖 al cuadrado. Y recuerda que podemos hacer eso porque 𝑖 al cuadrado es menos uno. Y luego, hallamos la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación.

Por supuesto, tenemos que considerar la raíz cuadrada positiva y negativa de 25𝑖 al cuadrado. Así que 𝑥 es igual a más o menos raíz de 25𝑖 al cuadrado. Podemos escribir la raíz cuadrada de 25𝑖 al cuadrado como la raíz cuadrada de 25 multiplicada por la raíz cuadrada de 𝑖 al cuadrado, que es simplemente cinco 𝑖. Así que 𝑥 es igual a más o menos cinco 𝑖. Las soluciones de la ecuación dos 𝑥 al cuadrado igual a menos 50 son cinco 𝑖 y menos cinco 𝑖.

En los siguientes ejemplos, vamos a ver cómo extender las reglas de la aritmética y el álgebra de los números reales para ayudarnos a resolver problemas que contienen números imaginarios.

Simplifica dos 𝑖 al cuadrado multiplicado por menos dos 𝑖 al cubo.

Cuando elevamos un número al cuadrado, lo multiplicamos por sí mismo. Dos 𝑖 al cuadrado es lo mismo que dos 𝑖 multiplicado por dos 𝑖. Y como la multiplicación es conmutativa, podemos escribir esto como dos por dos por 𝑖 por 𝑖. Y, de hecho, esto es un poco como evaluar una expresión algebraica. Multiplicamos dos por dos para obtener cuatro y multiplicamos 𝑖 por 𝑖 para obtener 𝑖 al cuadrado. Pero recuerda que 𝑖 no es una variable. Es la solución a la ecuación 𝑥 al cuadrado igual a menos uno, de modo que 𝑖 al cuadrado es menos uno. Así que cuatro 𝑖 al cuadrado es cuatro multiplicado por menos uno, que es menos cuatro.

A continuación, vamos a evaluar menos dos 𝑖 al cubo. Pero no lo vamos a escribir como menos dos 𝑖 por menos dos 𝑖 por menos dos 𝑖. En su lugar, vamos a usar las reglas para exponentes a las que estamos acostumbrados. Y lo vamos a escribir como menos dos al cubo por 𝑖 al cubo. Menos dos al cubo es menos ocho. Pero ¿qué pasa con 𝑖 al cubo? Esto puede parecer un poco complicado. Pero es lo mismo que escribir 𝑖 al cuadrado por 𝑖. 𝑖 al cuadrado es menos uno. Así que nuestra expresión se convierte en menos ocho multiplicado por menos uno por 𝑖, que es simplemente ocho 𝑖.

Nuestro último paso es reemplazar dos 𝑖 al cuadrado y menos dos 𝑖 al cubo con menos cuatro y ocho 𝑖, respectivamente. Y luego, vamos a evaluar eso como lo haríamos con cualquier expresión algebraica. Se convierte en menos cuatro por ocho 𝑖, que es menos 32𝑖.

Acabamos de ver que podemos aplicar algunas de las reglas usuales de las operaciones con expresiones algebraicas para ayudarnos a evaluar expresiones con números imaginarios. Y acabamos de ver, además, que 𝑖 al cubo es igual a menos 𝑖.

En este punto puede ser útil considerar lo que sucede con otros exponentes de 𝑖, 𝑖 elevado a cuatro o cinco, por ejemplo. Podemos evaluar 𝑖 a la cuarta considerándolo 𝑖 al cuadrado por 𝑖 al cuadrado. Y como 𝑖 al cuadrado es menos uno, obtenemos que 𝑖 elevado a cuatro es menos uno multiplicado por menos uno y eso es simplemente uno. Y en este punto, podemos comenzar a generalizar.

Vamos a elevar toda esta ecuación al exponente 𝑛. Y esto funciona para valores enteros de 𝑛. Cuando lo hacemos, vemos que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 es igual a uno elevado a 𝑛. Y, por supuesto, uno elevado a cualquier cosa es simplemente uno. 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 es igual a uno. Así que podemos simplemente multiplicar ambos lados de esta ecuación por 𝑖 o 𝑖 elevado a uno.

Recuerda que cuando multiplicamos dos potencias con la misma base, que aquí es 𝑖, sumamos las exponentes. Así que 𝑖 por 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 es 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más uno y 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más uno es igual a 𝑖. Hagamos esto de nuevo. Cuando lo hacemos, vemos que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más dos es igual a 𝑖 al cuadrado. Pero 𝑖 al cuadrado es simplemente menos uno. Así que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más dos es igual a menos uno. Vamos a repetir este proceso una vez más. Y vemos que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más tres es menos 𝑖.

Y ahora nos detenemos. ¿Por qué? Si multiplicáramos por 𝑖 nuevamente, tendríamos 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más cuatro. Pero cuatro es múltiplo de cuatro. Así que esto nos dará el mismo resultado que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛. Y este ciclo se repite indefinidamente. Hay un gráfico que podemos usar para ayudarnos a hallar cualquier exponente de 𝑖. Para valores enteros de 𝑛, podemos usar este ciclo para definir cualquier potencia de 𝑖. Veamos el potencial de estos resultados simplificando una expresión en términos de potencias de 𝑖.

Simplifica 𝑖 a la 30.

Para simplificar esta expresión, no queremos verdaderamente escribir 30 veces 𝑖 y hacer la multiplicación. En lugar de esto, recordemos el diagrama cíclico que nos sirve para hallar el valor de las potencias de 𝑖. Veamos que nos dice el diagrama cíclico sobre 𝑖 elevado a 30 con este ciclo. Necesitamos representar 30 en la forma cuatro 𝑎 más 𝑏. Y para corresponder con los exponentes de 𝑖 en nuestro ciclo, 𝑏 debe ser cero, uno, dos o tres.

De hecho, 30 se puede escribir como cuatro por siete más dos. Así que 𝑖 elevado a 30 corresponde a la parte del ciclo donde 𝑖 está elevado a cuatro 𝑛 más dos. Según esto, 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más dos es igual a menos uno. Y esto significa que 𝑖 elevado a 30 es menos uno.

Ahora bien, otro método que podemos usar es escribir 𝑖 elevado a 30 como 𝑖 elevado a cuatro por siete más dos. Y sabemos por las reglas de los exponentes que esto es lo mismo que 𝑖 elevado a cuatro elevado a siete por 𝑖 elevado a dos. 𝑖 elevado a cuatro es uno y 𝑖 al cuadrado es menos uno. Así que nuestra expresión se convierte en uno a la séptima multiplicado por menos uno, que es, efectivamente, menos uno.

Hemos visto cómo este ciclo puede ahorrarnos tiempo cuando trabajamos con exponentes positivos de 𝑖. Y, de hecho, es importante recordar que estos conjuntos de reglas para simplificar potencias de 𝑖 también funcionan para exponentes negativos.

Veamos un ejemplo más detallado de esto.

Sabiendo que 𝑛 es un número entero, simplifica 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35.

Recuerda que el ciclo que nos ayuda a recordar las identidades para diferentes exponentes de 𝑖 es como se muestra. Así que podemos hacer una de dos cosas. Nuestro primer método es usar las propiedades de las potencias para simplificar un poco nuestra expresión. Sabemos que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es lo mismo que 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. Así que podemos aplicar esto al revés y decir que 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35 es igual a 𝑖 elevado a 16𝑛 por 𝑖 elevado a menos 35.

𝑖 elevado a 16𝑛 se puede escribir además como 𝑖 elevado a cuatro elevado a cuatro 𝑛. Esto corresponde a la parte de nuestro ciclo 𝑖 elevado a cuatro 𝑛. Así que podemos ver que 𝑖 elevado a 16𝑛 se puede escribir como uno. ¿Y qué hay de 𝑖 elevado a menos 35? Esto es un poco más complicado. Vamos a escribir menos 35 en la forma cuatro 𝑎 más 𝑏, donde 𝑏 puede tomar los valores cero, uno, dos o tres para corresponder con los valores en nuestro ciclo. Es lo mismo que cuatro por menos nueve más uno.

Recuerda que cuatro por menos nueve es menos 36 y que sumando uno nos da menos 35. Y elegimos menos nueve en lugar de menos ocho porque necesitamos que 𝑏 sea cero, uno, dos o tres. Y no queremos, desde luego, que sea un valor negativo. Así que 𝑖 elevado a menos 35 tendrá el mismo resultado que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más uno en nuestro ciclo; y eso es 𝑖. Así que 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35 es uno multiplicado por 𝑖, que es 𝑖.

Echemos un vistazo al método alternativo. Aquí hubiéramos saltado directamente a escribir el exponente, que es 16 𝑛 menos 35, en la forma cuatro 𝑎 más 𝑏, donde 𝑏 nuevamente es cero, uno, dos o tres. Podemos escribir 16𝑛 como cuatro por cuatro 𝑛 y menos 35 como cuatro por menos nueve más uno. Podemos factorizar esta expresión y vemos que 16 𝑛 menos 35 es lo mismo que cuatro multiplicado por cuatro 𝑛 menos nueve más uno. Así que podemos ver una vez más que 𝑖 elevado a 16𝑛 menos 35 tiene el mismo resultado que 𝑖 elevado a cuatro 𝑛 más uno en nuestro ciclo; eso es 𝑖.

Nuestro ejemplo final hace uso de una de las leyes de los radicales que hemos visto brevemente en esta lección. Y es que la raíz cuadrada de 𝑎 por 𝑏 es igual a la raíz cuadrada de 𝑎 por la raíz cuadrada de 𝑏. Debemos tener mucho cuidado con esta regla. Como funciona para todos los números reales positivos, no se puede decir lo mismo de los números negativos.

Simplifica la raíz cuadrada de menos 10 por la raíz cuadrada de menos seis.

Vamos a comenzar expresando cada radical en términos de 𝑖. Recuerda que 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Así que podemos decir que la raíz cuadrada de menos 10 es lo mismo que la raíz cuadrada de 10𝑖 al cuadrado. Y de manera similar, la raíz cuadrada de menos seis es lo mismo que la raíz cuadrada de seis 𝑖 al cuadrado. Y en este punto, podemos dividir esto. Obtenemos la raíz cuadrada de 10 por la raíz cuadrada de 𝑖 al cuadrado. Y como la raíz cuadrada de 𝑖 al cuadrado es 𝑖, podemos ver que la raíz cuadrada de menos 10 es lo mismo que la raíz de 10 𝑖. Y de manera similar, la raíz cuadrada de menos seis es la raíz de seis 𝑖.

A continuación, los multiplicamos. La multiplicación es conmutativa. Así que podemos reorganizar esto un poco y decir que es igual a la raíz cuadrada de 10 por la raíz cuadrada de seis, que es raíz de 60 por 𝑖 al cuadrado. Y como 𝑖 al cuadrado es menos uno, vemos que la raíz cuadrada de menos 10 por la raíz cuadrada de menos seis es menos la raíz de 60. Y, de hecho, necesitamos simplificar esto tanto como sea posible.

Hay varias formas de hacer esto. Podríamos considerar 60 como un producto de sus factores primos. Alternativamente, encontramos el factor más grande de 60, que también es un número cuadrado. De hecho, ese factor es cuatro. Esto significa que el cuadrado de 60 es lo mismo que la raíz cuadrada de cuatro por la raíz cuadrada de 15, que es igual a dos raíz de 15. Y simplificamos completamente nuestra expresión. Obtenemos menos dos raíz de 15.

Veamos qué habría pasado si hubiéramos aplicado las propiedades usuales de los radicales. Habríamos dicho que la raíz cuadrada de menos 10 por la raíz cuadrada de menos seis es igual a la raíz cuadrada de menos 10 por menos seis que es igual a la raíz cuadrada de más 60, que es dos raíz de 15, y eso es claramente diferente a nuestra otra solución.

En este video, hemos aprendido que muchas de las reglas de la aritmética y del álgebra en las que estamos tan seguros pueden extenderse al mundo de los números imaginarios y complejos. También hemos visto que algunas de las reglas requieren ser un poco más cuidadosos, como generalizar la ley para multiplicar radicales cuando estos radicales contienen números negativos. También hemos visto cómo las potencias de exponente entero de 𝑖 forman un ciclo y esto nos permite simplificar cualquier potencia de exponente entero de 𝑖 con bastante facilidad.