Vídeo: Escribir y resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas en un contexto del mundo real

Un refugio para mascotas tiene un total de 350 animales entre gatos, perros y conejos. Si el número de conejos es 5 menos que la mitad del número de gatos, y hay 20 más gatos que perros, ¿cuántos animales de cada tipo hay en el refugio?

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Transcripción del vídeo

Un refugio para mascotas tiene un total de 350 animales entre gatos, perros y conejos. Si el número de conejos es 5 menos que la mitad del número de gatos, y hay 20 más gatos que perros, ¿cuántos animales de cada tipo hay en el refugio?

Comencemos por decir que 𝑥 es el número de gatos, 𝑦 es el número de perros y 𝑧 es el número de conejos.

Sabemos que este refugio para mascotas tiene un total de trescientos cincuenta animales. Así que el número de gatos más el número de perros más el número de conejos, 𝑥 más 𝑦 más 𝑧, es igual a trescientos cincuenta. A continuación, sabemos que el número de conejos, 𝑧, es cinco menos que la mitad del número de gatos, que es un medio por 𝑥 menos cinco: cinco menos que la mitad del número de gatos. Y, por último, sabemos que hay veinte más gatos que perros. Así que, si hay más gatos, entonces el número de gatos será el número de perros más veinte, porque hay veinte más gatos que perros. Así que ahora tenemos que resolver estas tres ecuaciones de alguna manera para así hallar el valor de 𝑥, 𝑦 y 𝑧.

Nos damos cuenta de que la primera, la segunda y la tercera ecuaciones tienen una variable común. Todas tienen una 𝑥. Así que decimos que 𝑧 es igual a un medio de 𝑥 menos cinco, por lo que ponemos esa información en nuestra primera ecuación. Y luego podemos mantener la primera 𝑥 de nuestra primera ecuación. Luego si pudiéramos, de alguna manera, sustituir esta 𝑦 con algo en términos de 𝑥, entonces esa primera ecuación estaría completamente en términos de 𝑥 y podríamos hallar el valor de 𝑥.

En nuestra última ecuación, 𝑥 es igual a 𝑦 más veinte, vamos a despejar 𝑦 para que la ecuación esté en términos de 𝑥. Así que si restamos veinte a ambos lados, obtendremos que 𝑦 es igual a 𝑥 menos veinte. Así que tomando nuestra primera ecuación mantendremos la primera 𝑥. Y luego vamos a sustituir 𝑦 por 𝑥 menos veinte. Luego, sustituimos 𝑧 por un medio de 𝑥 menos cinco, y por último bajamos trescientos cincuenta. Ahora podemos despejar la 𝑥 y combinar los términos semejantes: 𝑥 más 𝑥 más un medio de 𝑥 es dos y un medio de 𝑥. Así que vamos a continuar y escribirlo como dos con cinco 𝑥. Y luego tenemos menos veinte y menos cinco, que es menos veinticinco.

Sumemos ahora veinticinco a ambos lados de la ecuación. Tenemos que dos con cinco 𝑥 es igual a trescientos setenta y cinco. Ahora dividimos ambos lados entre dos con cinco. El dos con cinco a la izquierda se cancela, y luego, al dividir trescientos setenta y cinco entre dos con cinco, obtenemos ciento cincuenta. Así que 𝑥 es ciento cincuenta y hay ciento cincuenta gatos. Ahora que conocemos 𝑥, podemos usar su valor para hallar 𝑦 y 𝑧. Así que podemos hallar el valor de 𝑦, porque 𝑦 es igual a 𝑥 menos veinte. Y al sustituir 𝑥 por ciento cincuenta, ciento cincuenta menos veinte significa que 𝑦 es ciento treinta. Así que hay ciento treinta perros. Y por último, 𝑧 es igual a un medio por 𝑥 menos cinco, por lo que ponemos ciento cincuenta. Y la mitad de ciento cincuenta es setenta y cinco. Y setenta y cinco menos cinco significa que 𝑧 es igual a setenta. Así que hay setenta conejos. Hay setenta conejos, ciento cincuenta gatos y ciento treinta perros.

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