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Representación gráfica de inecuaciones lineales sencillas
Esta inecuación de aquí significa que 𝑦 es mayor o igual a uno. La parte «o igual a» de la expresión es esta rayita de aquí. Si tenemos una inecuación que es «mayor o igual a», entonces significa que vamos a tener una línea continua, como esta. Si, por el contrario, tenemos una inecuación que es solo «mayor que» o «menor que», entonces tendremos una recta discontinua, como esta. Si te das cuenta, verás que esto es muy parecido a cuando representamos las inecuaciones en la recta numérica. Recordemos que, en una recta numérica, si la inecuación es solo «mayor que» o «menor que», tenemos un circulito vacío, y si es «igual a», tenemos un circulito lleno.
Ahora vamos a representar 𝑦 es mayor o igual que uno en el plano. Para ello, en el primer paso, vamos a hacer como si, en lugar de tener la inecuación «mayor o igual que uno», tuviéramos la ecuación «𝑦 es igual a uno».
Sabemos que la recta 𝑦 igual a uno es una recta horizontal que pasa por el punto donde 𝑦 es igual a uno en el eje de las 𝑦. Ahora debemos considerar si tenemos que dibujar una recta continua o discontinua. Bueno, tenemos «o igual a», así que vamos a trazar una recta continua en 𝑦 igual a uno.
Y ahora nos preguntamos: ¿la solución es la región de arriba o la región de abajo? En este caso nos dicen que 𝑦 es mayor que uno. Así que vamos a considerar la región a un lado de la recta y después la del otro lado. Si consideramos los valores de 𝑦 que están debajo de la recta, vemos que son cero, menos uno y menos dos. Eso es menor que uno, así que no es lo que buscamos. Ahora vamos a considerar los valores por encima de 𝑦 igual a uno. Tenemos dos, y luego seguimos con tres, cuatro, etcétera, así hasta el infinito. Eso es mayor que uno, así que vamos a colorear la región que satisface la inecuación, que es la región que está por encima de la recta.
Así que aquí es donde 𝑦 es mayor o igual que uno. Pero ¡ojo!: debes prestar mucha atención cuando leas los enunciados de problemas en los que debes resolver inecuaciones con el método gráfico, pues a veces te piden que colorees la región que satisface la inecuación y, a veces, simplemente que la señales. Por lo que tienes que asegurarte de que estás haciendo exactamente lo que te pide el enunciado. En este caso hemos coloreado la región.
Veamos ahora un problema con la variable 𝑥.
Colorea la región que satisface la inecuación 𝑥 es menor que tres. Recordemos que no vamos a dibujar 𝑥 es menor que tres; sino que, para facilitarnos las cosas, primero vamos a dibujar la gráfica de 𝑥 es igual a tres, y debemos determinar si debemos dibujar una recta continua o discontinua. En este caso, no tenemos «o igual a», así que vamos a dibujar una recta discontinua.
Así que, tenemos que hallar dónde es 𝑥 igual a tres, y podemos empezar hallando dónde 𝑥 vale tres en el eje de abscisas o eje de las 𝑥, y a partir de ahí dibujar una recta vertical y discontinua. También se la puede llamar línea de puntos, que significa exactamente lo mismo, y ahora vamos a ver dónde es 𝑥 menor que tres. Vamos a considerar, al igual que antes, un lado de la recta y después el otro. Si nos fijamos en el eje de las 𝑥, en el lado derecho, vemos que 𝑥 vale cinco, eso es mayor que tres, y diez, que también lo es, pero no son valores mayores lo que queremos; y en el lado izquierdo tenemos cero, que es menor que tres, menos cinco es menor que tres, y también lo es menos diez. Tenemos que colorear la región que cumple 𝑥 es menor que tres, y está en el lado izquierdo de la recta.
Ya hemos acabado. Hemos coloreado la región que satisface la inecuación 𝑥 es menor que tres.
Colorea la región que satisface 𝑦 es mayor que 𝑥. Como hemos hecho antes, para hacer el gráfico, vamos a considerar primeramente 𝑦 es igual a 𝑥.
Y tenemos que saber si vamos a dibujar una recta continua o discontinua. En este caso no tenemos el símbolo «o igual a», así que será discontinua. Como ves, este ejemplo es un poco distinto a los dos anteriores, pues no tenemos 𝑥 igual a una constante o 𝑦 igual a una constante; sino que 𝑥 es igual a 𝑦 o 𝑦 es igual a 𝑥, de modo que cuando graficamos, queremos que la coordenada 𝑥 sea igual a la coordenada 𝑦.
Consideremos, por ejemplo, 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a cero. Cinco en la coordenada 𝑥 y cinco en la coordenada 𝑦, y luego menos cinco en la 𝑥 y menos cinco en la 𝑦. Y luego tenemos menos diez y menos diez, y más diez y más diez, y así obtenemos una línea recta que hace un ángulo de cuarenta y cinco grados con ambos ejes.
Y debemos dibujar esta recta como una línea discontinua. Por tanto, a lo largo de la recta, cada coordenada 𝑥 es igual a cada coordenada 𝑦. Ahora queremos determinar dónde la coordenada 𝑦 es mayor que la coordenada 𝑥, así que, para averiguarlo, vamos a considerar primero la parte superior del gráfico, y luego la parte inferior. Si consideramos la parte de arriba, tenemos esta coordenada de aquí, que vale cero en la 𝑥 y cinco en la 𝑦. Así que en ese caso, cinco es mayor que cero, así que en la parte de arriba tenemos que 𝑦 es mayor que 𝑥. Pero vamos a comprobar la parte de abajo para asegurarnos; escogemos este punto de aquí, así que tenemos uno dos tres, tenemos ocho en la coordenada 𝑥 y menos tres en la 𝑦. Bueno, esta 𝑥 es claramente mayor que 𝑦, por lo tanto, la correcta es la región de arriba, donde 𝑦 es mayor que 𝑥.
En suma, para representar una inecuación lineal simple lo primero que hacemos es dibujar la gráfica como si fuera una ecuación en vez de una inecuación. Luego debemos decidir si la línea ha de ser continua o discontinua y, por último, qué lado de la línea coloreamos. Esas son las cosas que debemos hacer.
