Vídeo: Hallar la regla de una función

En este vídeo vamos a presentar las funciones a partir de tablas de valores y vamos a aprender que las funciones tienen una variable independiente y una variable dependiente. Halla, escribe y resuelve las reglas de las funciones. Familiarízate con las definiciones de dominio (todos los valores de la variable independiente) y de recorrido (todos los valores de la variable dependiente).

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Transcripción del vídeo

Veamos cómo podemos hallar la regla de una función. Una función es una relación en la que se asigna un único valor de la variable dependiente a cada valor de la variable independiente. Veamos qué significa esto.

Vamos a empezar de arriba a abajo. Introducimos un dos, algo pasa con este número dentro de la máquina, y sale un cuatro al otro lado. Introducimos un tres y sale un seis. Entra un cuatro y sale un ocho. Lo que está pasando dentro de la máquina se llama regla de la función. Sin embargo, antes de continuar tenemos que prestar atención a algunas palabras. Usamos la expresión «variable independiente» para hablar del valor con el que empezamos en la función. Pero también llamamos a esto valor de 𝑥. Podemos llamarlo simplemente 𝑥. También se llama dominio de la función. Por lo tanto, estas cuatro palabras hablan de lo mismo: valor de la variable independiente, valor de 𝑥, 𝑥, y dominio, es decir, el valor con el que empezamos en la función. Y ahora te preguntarás: ¿El valor de la variable dependiente también tiene otros nombres? Sí, si los tiene: valor de 𝑦, 𝑦 y recorrido o imagen.

Bien, volvamos al ejemplo del principio.

Vamos a tomar los datos que se nos han dado y a crear una tabla de valores.

Recordemos que nuestra variable independiente es 𝑥, y que nuestra variable dependiente es 𝑦. Nuestra tabla de valores quedaría así. Ahora vamos a tratar de responder a la pregunta: «¿Cuál es la regla de la función para esta tabla?» ¿Qué pasa con el dos para que salga un cuatro? Podemos decir que dos más dos es cuatro, dos más dos es cuatro. La regla de la función debe funcionar para todos los valores de 𝑥 y de 𝑦 en la tabla. Veamos si esto es así. Tres más dos es cinco. Pero, en nuestra tabla, el valor de salida de tres es seis. Esto significa que la regla de nuestra función no es sumar dos. Tenemos que pensar en otra cosa. Necesitamos hacer otra operación. ¿Y si hacemos dos por dos? Dos por dos es cuatro, tres por dos es seis, cuatro por dos es ocho y cinco por dos es 10. Si multiplicamos la variable independiente o el valor de 𝑥 por dos, obtenemos la variable independiente o el valor de 𝑦. Dos 𝑥 es la regla de la función.

Fijémonos en esta pregunta: ¿es la siguiente relación una función?

Para responder a la pregunta primero tenemos que recordar la definición de función. Una función es una relación que asigna un único valor de salida a cada valor de entrada, o sea, exactamente un valor de la variable dependiente a cada valor de la variable independiente. Vamos a utilizar una tabla de valores para ver si esta relación asigna un único valor de salida a cada valor de entrada. Cuando introducimos un cuatro obtenemos un siete. Cuando el valor de entrada es cinco, el valor de salida es dos. El problema es que ese no es el único valor de salida. Vamos a detenernos aquí. Esta relación ha asignado dos valores de salida a cinco. Y, por lo tanto, esta relación no es una función. La respuesta a la pregunta «¿Es la siguiente relación una función?» es que no. Sabemos que esto es así por la definición de función.

Aquí tenemos otro ejemplo en el que tenemos que hallar la regla de una función. Se nos da una tabla y se nos pide que hallemos la regla. Tenemos que averiguar lo que pasa dentro de la máquina. ¿Qué hacemos a los valores de 𝑥, los valores de entrada, para obtener estos valores de salida cada vez?

Si nos fijamos en los valores de salida que tenemos, podemos ver que, de 10 a 14, hemos sumado 4. Y de 14 a 18 hemos sumado cuatro. Y luego, 18 más cuatro es 22. 22 más cuatro es 26. Esta es la primera pista que tenemos sobre lo que está pasando aquí. Luego nos preguntamos: «¿Cuál será el valor de salida si el valor de entrada es cero?» Para todos los demás valores de salida hemos sumado cuatro. Si le restamos cuatro a 10, podremos hallar la función en cero, que es seis. Esto nos va a ser muy útil. ¿Qué operación debemos hacer para que teniendo cero obtengamos seis? Sumar seis, ¿verdad? Esto significa que, si tomamos la 𝑥 y sumamos seis, obtenemos 𝑦. Bien, cero más seis es igual a 𝑦. Ahora bien, ¿es uno más seis igual a 10? No, no funciona. Así que tenemos un problema. Algo estamos haciendo mal aquí. ¿Qué número más seis da 10? Cuatro. Pero el valor de 𝑥 es uno y no cuatro.

Pensemos en esto: ¿Qué pasa si convertimos nuestro valor de 𝑥, uno, en cuatro multiplicando 𝑥 por cuatro? Cuatro por uno más seis es 10. Vamos a volver atrás para comprobar nuestro cero: cero por cuatro más seis es seis. Veamos el valor de 𝑥 de dos, dos por cuatro es ocho, y más seis es 14. Esto se cumple para tres y 18, se cumple para cuatro y 22. Y, por último, cinco por cuatro es 20, y más seis es 26. Ya tenemos la regla de nuestra función: la regla de la función es cuatro 𝑥 más seis.

El formato que estamos usando para escribir funciones es 𝑦 igual a lo que sea la regla de nuestra función. En nuestro caso tenemos 𝑦 es igual a cuatro 𝑥 más seis, pues esa es la regla de la función para esta tabla. Vamos a detenernos un minuto para pensar en estas dos palabras: dominio y recorrido.

El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada y el recorrido es el conjunto de todos los valores de salida. ¿Qué significa esto? Es algo así y algo así. Sabemos que dos es parte del dominio, pero no es todo el dominio. 18 es parte del recorrido o está dentro del recorrido, pero no es todo el recorrido. El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada y el recorrido es el conjunto de todos los valores de salida. Estas son las claves que debemos tener en cuenta a la hora de hallar la regla de una función.

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