Vídeo: Utilizar la longitud de las diagonales para determinar si un paralelogramo es un rectángulo

Un paralelogramo tiene vértices en los puntos 𝐴 (−4, −1), 𝐵 (0, −3), 𝐶 (−1, −5) y 𝐷 (−5, −3). Calcula la longitud de la diagonal 𝐴𝐶. Calcula la longitud de la diagonal 𝐵𝐷. Según esas longitudes, ¿es el paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectángulo?

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Transcripción del vídeo

Un paralelogramo tiene vértices en los puntos 𝐴 menos cuatro, menos uno; 𝐵 cero, menos tres; 𝐶 menos uno, menos cinco; y 𝐷 menos cinco, menos tres. Calcula la longitud de la diagonal 𝐴𝐶. Calcula la longitud de la diagonal 𝐵𝐷. Según esas longitudes, ¿es el paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectángulo?

Se nos han dado los puntos de los cuatro vértices de un paralelogramo y se nos pide que calculemos la longitud de sus dos diagonales. Para hacerlo, tenemos que recordar la fórmula de la distancia, que nos dice cómo calcular la distancia entre dos puntos en un plano de coordenadas.

Si los dos puntos tienen coordenadas 𝑥 uno 𝑦 uno y 𝑥 dos 𝑦 dos, entonces la distancia entre ellos viene dada por la raíz cuadrada de 𝑥 dos menos 𝑥 uno al cuadrado más 𝑦 dos menos 𝑦 uno al cuadrado. Esta es una aplicación del teorema de Pitágoras, en el que 𝑥 dos menos 𝑥 uno y 𝑦 dos menos 𝑦 uno son el cateto horizontal y el cateto vertical, respectivamente, de un triángulo rectángulo y 𝑑 es la hipotenusa.

Para calcular la longitud de la diagonal 𝐴𝐶 tenemos que sustituir las coordenadas de 𝐴 y 𝐶 en la fórmula de la distancia. Ahora bien, hay muchos signos menos aquí, así que tenemos que tener cuidado. Tenemos que 𝐴𝐶 es igual a la raíz cuadrada de menos uno menos menos cuatro al cuadrado más menos cinco menos menos uno al cuadrado.

Esto es igual a la raíz cuadrada de tres al cuadrado más menos cuatro al cuadrado. Tres al cuadrado es nueve y menos cuatro al cuadrado es 16. Tenemos la raíz cuadrada de nueve más 16, que es igual a la raíz cuadrada de 25. 25 es un número cuadrado y su raíz cuadrada es cinco. Hemos hallado la longitud de la primera diagonal, 𝐴𝐶, y ahora tenemos que hallar la longitud de la segunda diagonal, 𝐵𝐷.

Vamos a sustituir las coordenadas para 𝐵 y 𝐷 en la fórmula de la distancia. De nuevo, tenemos que tener cuidado con los signos menos. Tenemos que 𝐵𝐷 es igual a la raíz cuadrada de menos cinco menos cero al cuadrado más menos tres menos menos tres al cuadrado. Esto se simplifica a la raíz cuadrada de menos cinco al cuadrado más cero al cuadrado. Menos cinco al cuadrado es 25 y cero al cuadrado es cero, así que tenemos la raíz cuadrada de 25, que es cinco.

Te habrás dado cuenta, seguramente, de que la longitud de las dos diagonales de este paralelogramo es la misma. Ambas miden cinco unidades. ¿En qué nos ayuda esto a responder a la última parte del problema? Bueno, un dato clave que se cumple para los rectángulos pero no para otros paralelogramos es que las diagonales tienen la misma longitud.

Ya hemos comprobado que 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷 tienen la misma longitud. Ambas son cinco, y, por lo tanto, esto nos dice que el paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es un rectángulo.

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