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Vídeo de la lección: Rectas tangentes a una circunferencia Matemáticas • Undécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia para calcular medidas de ángulos o longitudes de segmentos.

16:09

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia para hallar la amplitud de un ángulo o calcular la longitud de un segmento. Esto forma parte de un tema bastante más amplio, que es el de las propiedades de los ángulos formados por cuerdas de una circunferencia, sus tangentes y radios. En este vídeo nos vamos a centrar en las propiedades de los ángulos y las longitudes definidos por tangentes trazadas desde puntos exteriores a la circunferencia. Para mejor aprovechar este vídeo, conviene que estés familiarizado con las propiedades básicas de los ángulos, como la suma de los ángulos en una recta y la suma de los ángulos en un triángulo.

En primer lugar, debes recordar que una recta tangente a una circunferencia es una recta que interseca la circunferencia en un único punto. No atraviesa la circunferencia, sino que la toca en un punto nada más.

La primera propiedad clave que vamos a considerar es esta: una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Esto quiere decir que, si dibujamos el radio de la circunferencia desde el punto donde la tangente interseca la circunferencia, entonces el ángulo entre la tangente y el radio será un ángulo recto. Ahora bien, también es cierto que la tangente será perpendicular al diámetro de la circunferencia en este punto, pues es tan solo una continuación del radio. Sin embargo, es el radio lo que solemos usar cuando citamos este resultado. Demostrar este resultado requiere aplicar algunos de los otros teoremas sobre los ángulos en una circunferencia, como el teorema del ángulo semiinscrito. Así que no vamos a ocuparnos de esto en este vídeo. En vez de eso, vamos a ver la demostración de otra propiedad clave más adelante. Así que no te preocupes, pues vas a obtener una idea general de cómo se demuestran estos teoremas.

Veamos ahora unos ejemplos en los que vamos a hacer uso de esta primera propiedad.

Sabiendo que el segmento 𝐴𝐵 es tangente a la circunferencia de centro 𝑀, y que la amplitud del ángulo 𝑀𝐵𝐹 es 123 grados, calcula la amplitud del ángulo 𝐴𝑀𝐵.

El ángulo 𝐴𝑀𝐵 es el ángulo formado al ir de 𝐴 a 𝑀 a 𝐵. Como puedes ver, es el ángulo que está marcado en naranja en el dibujo. El ángulo 𝑀𝐵𝐹 es el ángulo formado al ir de 𝑀 a 𝐵 a 𝐹. Es el ángulo marcado en rosa, y su amplitud es 123 grados. Podemos ver que el ángulo que buscamos, el ángulo 𝐴𝑀𝐵, es uno de los tres ángulos de un triángulo. Si podemos calcular los otros dos ángulos de este triángulo, entonces podemos aplicar la regla que dice que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados, y podremos hallar así la amplitud del ángulo que estamos buscando.

Consideremos primero el ángulo 𝑀𝐵𝐴. Una de las propiedades básicas de un ángulo señala que los ángulos en una recta suman 180 grados. Y este ángulo está en una recta con el ángulo cuya amplitud ya hemos marcado, 123 grados. Así que el ángulo 𝑀𝐵𝐹 más el ángulo 𝑀𝐵𝐴 es igual a 180 grados. Como ya hemos dicho, ya conocemos la amplitud del ángulo 𝑀𝐵𝐹. Así que ya podemos sustituir este valor. Y tenemos una ecuación que podemos resolver para hallar la medida del ángulo 𝑀𝐵𝐴. Vamos a restar 123 de ambos lados de la ecuación. Al hacerlo obtenemos que el ángulo 𝑀𝐵𝐴 mide 57 grados.

Muy bien, ya hemos hallado la amplitud de uno de los ángulos en el triángulo 𝑀𝐵𝐴. ¿Podemos calcular la medida de otro? ¿Qué hay del ángulo 𝑀𝐴𝐵? Este es el ángulo formado en el punto en el que una tangente a la circunferencia —la recta 𝐴𝐵— se encuentra con el radio 𝐴𝑀 de la circunferencia. Y sabemos que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Así que sabemos que el ángulo 𝑀𝐴𝐵 mide 90 grados. Es un ángulo recto. Estupendo, ya hemos hallado la medida de dos de los ángulos en el triángulo 𝐴𝐵𝑀. Y haciendo uso de la propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo, podemos hallar el tercero.

Tenemos la ecuación ángulo 𝐴𝑀𝐵 más 90 grados más 57 grados igual a 180 grados. 90 más 57 es 147. Y si restamos 147 grados de ambos lados de la ecuación obtenemos que el ángulo 𝐴𝑀𝐵 mide 33 grados. Por lo tanto, usando dos propiedades básicas de los ángulos y el hecho de que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia, hemos hallado que la amplitud del ángulo 𝐴𝑀𝐵 es 33 grados.

Veamos ahora una segunda aplicación de este resultado.

Sabiendo que el segmento 𝐴𝐵 es tangente a la circunferencia de centro 𝑀 en 𝐴, que 𝐴𝑀 es igual a 8.6 centímetros, y que 𝑀𝐵 es igual a 12.3 centímetros, calcula, con una cifra decimal, la longitud del segmento 𝐴𝐵.

Comencemos añadiendo al diagrama la información que nos ha dado el problema. 𝐴𝑀 mide 8.6 centímetros. Es esta longitud de aquí. 𝑀𝐵 mide 12.3 centímetros. Eso es esta longitud de aquí. Y la longitud que queremos hallar es la longitud del segmento 𝐴𝐵. Vemos que tenemos un triángulo, el triángulo 𝐴𝑀𝐵, del que conocemos las longitudes de dos de sus lados. Es posible que lo primero que se te ocurra sea aplicar el teorema de Pitágoras. Pero recuerda que el teorema de Pitágoras solo es válido para triángulos rectángulos. Así que debemos averiguar si el triángulo 𝐴𝑀𝐵 es un triángulo rectángulo.

La otra información clave que nos da el problema es que el segmento 𝐴𝐵 es tangente a la circunferencia de centro 𝑀 en 𝐴. Una propiedad clave de las tangentes a las circunferencias es que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Por lo tanto, el segmento 𝐴𝐵 es perpendicular al radio 𝐴𝑀. Así que tenemos un ángulo recto en 𝐴 en el triángulo 𝐴𝑀𝐵. Efectivamente, vemos que se trata de un triángulo rectángulo. Así que podemos aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del tercer lado.

El teorema de Pitágoras nos dice que, en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos, que vamos a llamar 𝑎 y 𝑏, es igual al cuadrado del lado más largo del triángulo, que denotamos 𝑐. Recuerda que el lado más largo o hipotenusa es siempre el lado directamente opuesto al ángulo recto. Así que, en este caso, es el lado 𝑀𝐵. Sustituimos 𝐴𝐵 y 8.6 para los dos lados más cortos o catetos del triángulo y 12.3 para el lado más largo o hipotenusa, y obtenemos la ecuación 𝐴𝐵 al cuadrado más 8.6 al cuadrado igual a 12.3 al cuadrado. Calculamos 8.6 al cuadrado y 12.3 al cuadrado, y luego restamos 73.96 —que es 8.6 al cuadrado— de cada lado, y obtenemos que 𝐴𝐵 al cuadrado es igual a 77.33.

Ahora terminamos de resolver esta ecuación haciendo la raíz cuadrada. Solo vamos a tomar el valor positivo aquí, pues 𝐴𝐵 tiene un significado físico, la longitud de un lado en este triángulo. Calculamos la raíz cuadrada en una calculadora y hallamos que 𝐴𝐵 es igual a 8.79374. Pero acuérdate de que se nos ha pedido que redondeemos el resultado a las décimas. Así que, como hay un nueve en la posición de las centésimas, redondeamos al alza, y obtenemos que 𝐴𝐵 es igual a 8.8 centímetros.

En esta cuestión, aplicando la propiedad de que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia, hemos sido capaces de averiguar que el triángulo 𝑀𝐴𝐵 es un triángulo rectángulo. Y, en consecuencia, hemos podido aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del tercer lado. Hemos hallado que la longitud de 𝐴𝐵 a la décima más cercana es 8.8 centímetros.

Veamos un último ejemplo de cómo aplicar esta primera propiedad.

Sabiendo que el segmento 𝐴𝐵 es una tangente a la circunferencia de centro 𝑀, y que la amplitud del ángulo 𝐴𝐵𝑀 es 49 grados, calcula la amplitud del ángulo 𝐴𝐷𝐵.

El ángulo 𝐴𝐷𝐵 es el ángulo formado al ir de 𝐴 a 𝐷 a 𝐵. Así que es el ángulo marcado en naranja en el diagrama. El ángulo 𝐴𝐵𝑀 es el ángulo formado al ir de 𝐴 a 𝐵 a 𝑀. Es el ángulo que está marcado en rosa en el diagrama y que mide 49 grados. A partir de la información que tenemos no podemos calcular la amplitud del ángulo 𝐴𝐷𝐵 directamente. Vamos a tener que calcular primero las medidas de otros ángulos del dibujo. La otra información que nos ha dado el problema es que la recta 𝐴𝐵 es una tangente a la circunferencia de centro 𝑀. Y la propiedad clave de las tangentes a las circunferencias es que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

El punto en el que la tangente toca a la circunferencia es el punto 𝐴. Y el radio aquí es el segmento 𝐴𝑀. Así que sabemos que el ángulo 𝐵𝐴𝑀 mide 90 grados. Ahora ya conocemos la medida de un ángulo más del dibujo. No obstante, aún no podemos calcular la amplitud del ángulo 𝐴𝐷𝐵 directamente. Así que veamos qué otros ángulos podemos hallar. Tenemos un triángulo. De hecho, es un triángulo rectángulo, el triángulo 𝐴𝑀𝐵. Y conocemos la amplitud de dos de sus ángulos, el ángulo recto y el ángulo de 49 grados. Por lo tanto, usando el hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180 grados, podemos calcular la amplitud del tercer ángulo de este triángulo.

Tenemos que el ángulo 𝐴𝑀𝐵 más 90 grados más 49 grados es igual a 180 grados. 90 más 49 es 139. Y si restamos esto a 180, hallamos que el ángulo 𝐴𝑀𝐵 mide 41 grados. Así que ahora conocemos otro ángulo en nuestro diagrama. Sin embargo, todavía no contamos con la suficiente información para calcular la amplitud del ángulo 𝐴𝐷𝐵. Así que vamos a calcular otro ángulo, el ángulo 𝐴𝑀𝐷. Sabemos que los ángulos en una recta suman 180 grados. Así que el ángulo 𝐴𝑀𝐷 más el ángulo que acabamos de calcular de 41 grados debe ser igual a 180 grados. El ángulo 𝐴𝑀𝐷 es, por lo tanto, igual a 180 grados menos 41 grados. Eso es 139 grados.

Ya hemos hallado la amplitud de casi todos los ángulos de la figura, pero todavía no tenemos el que buscábamos. El último paso es considerar el triángulo 𝐴𝑀𝐷, del que conocemos un ángulo de 139 grados. Fíjate en que tanto 𝑀𝐷 como 𝑀𝐴 son radios de la circunferencia de centro 𝑀. Y, por lo tanto, tienen la misma longitud. Esto significa que el triángulo 𝑀𝐷𝐴 es un triángulo isósceles. Y, por tanto, el ángulo 𝑀𝐷𝐴 será igual al ángulo 𝑀𝐴𝐷. Así que podemos calcular la amplitud de ambos ángulos restando el tercer ángulo, de 139 grados, de la suma total de ángulos de un triángulo, 180 grados, y luego dividiendo el resultado por dos. Al hacer esto obtenemos que cada uno de estos ángulos mide 20.5 grados. Y el ángulo 𝑀𝐷𝐴 tiene la misma amplitud que el ángulo 𝐴𝐷𝐵. Ambos son este ángulo de aquí. Así que ya hemos terminado el problema.

Aplicando algunas de las propiedades básicas de los ángulos en un triángulo y de los ángulos en una recta, y haciendo uso del hecho de que una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia, hemos hallado que la amplitud del ángulo 𝐴𝐷𝐵 es 20.5 grados.

Así que hemos visto tres aplicaciones de la primera propiedad clave de la tangente a una circunferencia. Veamos ahora la segunda propiedad clave. Es esta: las tangentes trazadas a una circunferencia desde un mismo punto exterior todas tienen la misma longitud.

En nuestro diagrama, las dos tangentes han sido trazadas desde el punto exterior 𝐴. Así que la longitud de la recta 𝐴𝐵 será igual a la de la recta 𝐴𝐶. Podemos probar esto usando triángulos congruentes y aplicando la primera propiedad. Vamos a añadir un par de rectas a nuestro diagrama, primero los radios 𝑀𝐵 y 𝑀𝐶, y seguidamente añadimos una recta que conecta el punto exterior 𝐴 con el centro de la circunferencia, 𝑀. Consideremos ahora los dos triángulos 𝐴𝐵𝑀 y 𝐴𝐶𝑀.

Sabemos por la primera propiedad que ambas tangentes serán perpendiculares al radio en el punto de tangencia. Así que sabemos que el ángulo 𝐴𝐵𝑀 y el ángulo 𝐴𝐶𝑀 miden ambos 90 grados. Y son, pues, congruentes. También sabemos que los segmentos 𝐵𝑀 y 𝐶𝑀 son ambos radios de la circunferencia. Y, por lo tanto, tendrán la misma longitud. Y la recta 𝐴𝑀 es un lado compartido en estos dos triángulos. De hecho, es la hipotenusa de los dos triángulos. Hemos demostrado entonces que estos dos triángulos tienen cada uno un ángulo recto, que comparten la hipotenusa, y que tienen uno de los dos lados más cortos, o catetos, del triángulo también igual en longitud. Por lo tanto, por el criterio HC los dos triángulos son congruentes. Ese es el criterio hipotenusa-cateto de congruencia de triángulos rectángulos. Si los dos triángulos son congruentes, entonces las longitudes de su tercer lado, es decir 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶, deben ser iguales. Y así, hemos demostrado que 𝐴𝐵 es igual a 𝐴𝐶, y por lo tanto, hemos demostrado esta propiedad.

Veamos una aplicación práctica de esto.

Halla el valor de 𝑥.

En el diagrama, vemos que tenemos una circunferencia y dos rectas 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶, ambas tangentes a la circunferencia. Las dos tangentes han sido trazadas desde el mismo punto exterior, el punto 𝐴. Como acabamos de ver, una de las propiedades clave de las tangentes a las circunferencias es que las tangentes trazadas desde el mismo punto exterior todas tienen la misma longitud. Por lo tanto, sabemos que el segmento 𝐴𝐵 tiene la misma longitud que el segmento 𝐴𝐶. Se nos ha dado la longitud de 𝐴𝐵. Es 21 centímetros. Y también tenemos una expresión para la longitud de 𝐴𝐶. Es dos 𝑥 más cinco centímetros. Por lo tanto, si igualamos estos datos, podemos formar una ecuación, dos 𝑥 más cinco es igual a 21.

Ahora debemos resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝑥. Primero restamos cinco de ambos lados, y obtenemos dos 𝑥 igual a 16, y luego dividimos por dos, y obtenemos 𝑥 igual a ocho. Usando la propiedad clave que nos dice que las tangentes trazadas desde el mismo punto exterior tienen la misma longitud, hemos hallado el valor de 𝑥. 𝑥 es igual a ocho.

En este ejemplo tan solo hemos tenido que resolver una ecuación lineal sencilla. Pero en ejemplos más complicados podemos vernos obligados a plantear y resolver ecuaciones simultáneas. Los cálculos algebraicos serán más complicados, pero los principios implicados serán los mismos.

Repasemos lo que hemos aprendido en este vídeo. Hemos introducido dos propiedades clave de las tangentes a las circunferencias. En primer lugar, una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia, o sea, de contacto. Y por extensión, también es perpendicular al diámetro de la circunferencia en este punto. En segundo lugar, hemos visto y demostrado que las tangentes trazadas a una circunferencia desde el mismo punto exterior todas tienen la misma longitud. En este diagrama, esto significa que 𝐴𝐵 es igual a 𝐴𝐶. También hemos visto que podemos utilizar estas propiedades junto a otras propiedades de los ángulos y al teorema de Pitágoras para calcular ángulos y longitudes en problemas de tangentes a las circunferencias.

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