Vídeo: La derivada de las funciones exponenciales

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la derivada de las funciones exponenciales.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la derivada de las funciones exponenciales. Vamos a comenzar escribiendo la fórmula de la derivada de una función exponencial de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 y 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 antes de aplicar esta fórmula a ejemplos de complejidad creciente. Además, vamos a ver cómo las propiedades de las funciones exponenciales y de las funciones logarítmicas se pueden usar para hallar la derivada de funciones exponenciales en una base cualquiera.

Recordemos que una función exponencial es aquella de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes y 𝑏 es mayor que cero. Pero primero vamos a considerar la derivada de una función exponencial particular, la función exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 y 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Ahora bien, hay una idea bastante común, pero equivocada, y es que podemos aplicar la regla de la potencia a estas funciones exponenciales. Y esto no es cierto pues la regla de la potencia solo se aplica cuando el exponente es fijo y las bases son variables.

En las funciones exponenciales, la base es fija y el exponente es variable. Así que vamos a tener que usar una fórmula diferente para la derivada de la función exponencial, y esta es una fórmula que podemos obtener si sabemos cómo derivar la inversa de 𝑒 elevado a 𝑥, es decir, ln 𝑥. Y también puede obtenerse a partir de primeros principios. Sin embargo, no entra dentro del objetivo de este vídeo el analizar todo esto. Por lo tanto, en su lugar, vamos simplemente a escribir la fórmula de la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 y 𝑒 elevado a 𝑘𝑥.

La derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y esta fórmula puede generalizarse. Podemos decir que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Vemos pues que la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 es una función muy especial. ¡Su derivada es igual a la función original! Geométricamente, esto significa que, para cada valor de 𝑥, la pendiente de la tangente a la curva en ese punto es igual al valor de 𝑦. Por ejemplo, cuando 𝑥 es igual a dos, 𝑦 es igual a 𝑒 al cuadrado, que es aproximadamente 7.39. Como la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥, esto quiere decir que la pendiente de la tangente a la curva en ese punto es también 7.39. Echemos un vistazo a un ejemplo en el que debemos aplicar estas fórmulas.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos cinco 𝑒 elevado a menos nueve 𝑥, halla 𝑓 prima de 𝑥. Halla la derivada de la función.

Recordemos que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y la derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 es 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Ahora bien, nuestra función es un múltiplo de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Es menos cinco por 𝑒 elevado a 𝑘𝑥, donde 𝑘 es menos nueve. Como sabemos, la regla del factor constante nos permite dejar las constantes fuera de una derivada y centrarnos en derivar la función de 𝑥. De este modo, podemos decir que la derivada de la función de 𝑥 es igual a menos cinco por la derivada de 𝑒 elevado a menos nueve 𝑥. Y sabemos que la derivada de 𝑒 elevado a menos nueve 𝑥 es menos nueve por 𝑒 elevado a menos nueve 𝑥. Y, como menos cinco por menos nueve es 45, podemos decir que la derivada de nuestra función es 45𝑒 elevado a menos nueve 𝑥.

Veamos otro ejemplo.

Halla d𝑦 sobre d𝑥 sabiendo que cinco 𝑦𝑒 elevado a dos 𝑥 es igual a siete 𝑒 elevado a cinco.

A primera vista, este problema parece complicado. Sin embargo, nos damos cuenta enseguida de que podemos despejar 𝑦 fácilmente. Para ello dividimos ambos lados de la ecuación por cinco 𝑒 elevado a dos 𝑥. En el lado izquierdo nos quedamos con 𝑦. Y en el lado derecho tenemos siete 𝑒 elevado a cinco partido por cinco 𝑒 elevado a dos 𝑥. Ahora bien, en realidad, uno sobre 𝑒 elevado a dos 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a menos dos 𝑥. Así que podemos reescribir nuestra ecuación. Y decimos que 𝑦 es igual a siete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco por 𝑒 elevado a menos dos 𝑥.

Vemos que siete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco es una constante. Por lo tanto, podemos derivar esto usando la fórmula general de la derivada de la función exponencial. La derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Y, por supuesto, nos acordamos de que la regla del factor constante nos permite dejar las constantes fuera de una derivada para así centrarnos en derivar la función de 𝑥.

En otras palabras, d𝑦 sobre d𝑥 es siete 𝑒 elevado a cinco sobre cinco por la derivada de 𝑒 elevado a menos dos 𝑥 con respecto a 𝑥. Y la derivada de 𝑒 elevado a menos dos 𝑥 con respecto a 𝑥 es menos dos 𝑒 elevado a menos dos 𝑥. Esto significa que d𝑦 sobre d𝑥 es menos dos por siete 𝑒 elevado a cinco partido por cinco por 𝑒 elevado a menos dos 𝑥.

Vemos, además, que la derivada puede expresarse en términos de 𝑦, pues hemos dicho que 𝑦 es igual a siete 𝑒 elevado a cinco partido entre cinco por 𝑒 elevado a menos dos 𝑥. Y podemos, por lo tanto, decir que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos dos 𝑦.

A continuación, vamos a ver un ejemplo un poco más complejo en el que vamos a tener que aplicar otras reglas de derivación.

Halla la derivada de la función 𝑓 de 𝑧 igual a menos tres 𝑒 elevado a cuatro 𝑧 partido por cuatro 𝑧 más uno.

Aquí tenemos una función de otra función, o sea, una función compuesta. Por lo tanto, sabemos que vamos a tener que aplicar la regla de la cadena. Esta regla dice que la derivada de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 es igual a la derivada de 𝑓 de 𝑔 de 𝑥 por la derivada de 𝑔 de 𝑥. De otro modo, podemos decir que, si 𝑦 es igual a esta función compuesta, 𝑓 de 𝑔 de 𝑥, y hacemos que 𝑢 sea igual a 𝑔 de 𝑥, entonces 𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑢. Por lo tanto, podemos decir que la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑢 por la derivada de 𝑢 con respecto a 𝑥.

En este ejemplo decimos que 𝑦 es igual a menos tres por 𝑒 elevado a 𝑢, y 𝑢 es igual a cuatro 𝑧 partido por cuatro 𝑧 más uno. Puesto que vamos a derivar con respecto a 𝑧, alteramos un poco la fórmula. Y decimos que d𝑦 sobre d𝑧 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑧. Así que vamos a tener que calcular d𝑦 sobre d𝑢 y d𝑢 sobre d𝑧. d𝑦 sobre d𝑢 es bastante fácil de derivar. Sabemos que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑢 es 𝑒 elevado a 𝑢. Así que la derivada de menos tres 𝑒 elevado a 𝑢 es menos tres 𝑒 elevado a 𝑢. Y, por lo tanto, podemos sustituir 𝑢 por cuatro 𝑧 partido por cuatro 𝑧 más uno para obtener menos tres 𝑒 elevado a cuatro 𝑧 partido por cuatro 𝑧 más uno. Pero, ¿qué hay de la derivada de cuatro 𝑧 sobre cuatro 𝑧 más uno?

Bueno, aquí tenemos que usar la regla del cociente. Esta regla nos dice que la derivada de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 es igual a la función 𝑔 de 𝑥 por la derivada de 𝑓 de 𝑥 menos la función 𝑓 de 𝑥 por la derivada de 𝑔 de 𝑥. Y todo esto partido por 𝑔 de 𝑥 al cuadrado. Cambiamos 𝑓 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑧 y 𝑔 de 𝑥 por 𝑔 de 𝑧. De este modo, la derivada del numerador de nuestra fracción es cuatro. Y la derivada del denominador de la fracción es también cuatro. Así que el equivalente de 𝑔 de 𝑧 por la derivada de 𝑓 de 𝑧 es cuatro 𝑧 más uno por cuatro. Y el equivalente de 𝑓 de 𝑧 por la derivada de 𝑔 de 𝑧 es cuatro 𝑧 por cuatro. Y todo esto sobre el denominador al cuadrado. Eso es cuatro 𝑧 más uno al cuadrado. Ahora desarrollamos el paréntesis y nos quedamos con cuatro en el numerador de la fracción. Por lo tanto, d𝑢 sobre d𝑧 es igual a cuatro sobre cuatro 𝑧 más uno al cuadrado.

Vamos a sustituir ahora todo lo que tenemos en la fórmula de la regla de la cadena. d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑧 es menos tres 𝑒 elevado a cuatro 𝑧 sobre cuatro 𝑧 más uno por cuatro sobre cuatro 𝑧 más uno al cuadrado. Y, si simplificamos, vemos que la derivada de nuestra función es menos 12𝑒 elevado a cuatro 𝑧 sobre cuatro 𝑧 más uno todo partido entre cuatro 𝑧 más uno al cuadrado.

En el siguiente ejemplo vamos a ver la derivada de una función exponencial de la forma 𝑎𝑏 elevado a 𝑥.

Sabiendo que 𝑦 es igual a menos tres por dos elevado a 𝑥, determina d𝑦 sobre d𝑥.

Para resolver esta cuestión, primero tenemos que acordarnos de que la regla del factor constante nos permite dejar las constantes fuera de una derivada para centrarnos en derivar la función de 𝑥. Podemos decir, por lo tanto, que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos tres por la derivada con respecto a 𝑥 de dos elevado a 𝑥. Pero, ¿cómo derivamos dos elevado a 𝑥? Bueno, vamos a usar las leyes de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Comenzamos diciendo que dos es lo mismo que 𝑒 elevado a ln dos. Recordemos que esto es así porque 𝑒 y ln son funciones inversas entre sí. Luego, elevamos ambos lados de la ecuación a 𝑥 y usamos las reglas de los exponentes para decir que dos elevado a 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a ln dos por 𝑥. Y ln dos es una constante. Así que podemos usar la propiedad que nos dice que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 es 𝑘𝑒 elevado a 𝑘𝑥. Y obtenemos que la derivada de dos elevado a 𝑥 es ln dos por 𝑒 elevado a ln dos 𝑥. Esto significa que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos tres por ln dos por 𝑒 elevado a ln dos 𝑥.

Ahora bien, recordemos que habíamos expresado dos elevado a 𝑥 como 𝑒 elevado a ln dos 𝑥. Así que sustituimos 𝑒 elevado a ln dos 𝑥 por dos elevado a 𝑥. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 en este caso es menos tres por ln dos por dos elevado a 𝑥.

Ahora podemos generalizar el resultado del ejemplo anterior. Y decimos que la derivada de una función exponencial de la forma 𝑏 elevado a 𝑥 es ln 𝑏 por 𝑏 elevado a 𝑥. Podemos generalizar esto un poco más. Y podemos decir que la derivada de 𝑏 elevado a 𝑘𝑥 es igual a 𝑘 por ln de 𝑏 por 𝑏 elevado a 𝑘𝑥. Y, aunque resulta muy útil aprenderse esta fórmula de memoria, es también importante ser capaz de repetir el procedimiento que hemos realizado hasta llegar a ella. Veamos las aplicaciones de estas fórmulas.

Halla la primera derivada de la función 𝑦 igual a siete elevado a menos nueve 𝑥 menos ocho, todo elevado a menos dos.

Para hallar la derivada de esta función, vamos a ver primero si hay alguna manera de simplificarla. De hecho, podemos usar las reglas de los exponentes para hacerlo. Recordemos que 𝑎 elevado a 𝑚 elevado a 𝑛 es igual a 𝑎 elevado a 𝑚 por 𝑛. Así que podemos decir que siete elevado a menos nueve 𝑥 menos ocho, todo elevado a menos dos, es lo mismo que siete elevado a 18𝑥 más 16. A continuación, usamos otra regla de los exponentes. Esta vez, 𝑎 elevado a 𝑚 por 𝑎 elevado a 𝑛 es lo mismo que 𝑎 elevado a 𝑚 más 𝑛. De este modo, 𝑦 debe ser igual a siete elevado a 18𝑥 por siete elevado a 16.

Ahora bien, siete elevado a 16 es una constante. Así que podemos decir que la primera derivada de nuestra función d𝑦 sobre d𝑥 es siete elevado a 16 por la derivada de siete elevado a 18𝑥 con respecto a 𝑥. Y aquí usamos la propiedad que dice que la derivada de 𝑏 elevado a 𝑘𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑘 por ln 𝑏 por 𝑏 elevado a 𝑘𝑥. Y esto significa que la derivada de siete elevado a 18𝑥 es 18 por ln siete por siete elevado a 18𝑥.

Ahora, de nuevo, usamos la propiedad que dice que 𝑎 elevado a 𝑚 por 𝑎 elevado a 𝑛 es lo mismo que 𝑎 elevado a 𝑚 más 𝑛. Y podemos reescribir siete elevado a 16 por siete elevado a 18𝑥 como siete elevado a 18𝑥 más 16. Esto significa que la primera derivada de nuestra función es 18 por ln siete por siete elevado a 18𝑥 más 16. En el último ejemplo vamos a ver un problema que requiere trabajar con derivadas de funciones exponenciales.

El decaimiento radiactivo del radón 222 viene descrito por la siguiente fórmula. 𝑁 de 𝑡 es igual a 𝑁 cero por un medio elevado a 𝑡 sobre 𝑡 mitad, donde 𝑁 de 𝑡 es la cantidad que queda, en gramos, de radón 222 transcurridos 𝑡 días. 𝑁 cero es la cantidad inicial de radón 222. Y 𝑡 mitad es su semivida. Una muestra determinada contenía inicialmente 10 gramos de radón 222. Sabiendo que la semivida del radón 222 es 3.8215 días, calcula la tasa de decaimiento de la muestra 10 días después. Expresa la respuesta con tres cifras significativas.

Recordemos que la tasa de variación, o aquí tasa de decaimiento, siempre se corresponde con la función gradiente, o sea, con la derivada. Para resolver esta cuestión vamos a tener que derivar la función 𝑁 cero por un medio elevado a 𝑡 sobre 𝑡 mitad con respecto a 𝑡. Puede que esto parezca complicado. Sin embargo, 𝑁 cero es una constante como lo es 𝑡 mitad. Y vamos a usar la propiedad que dice que la derivada de 𝑏 elevado a 𝑘𝑥 es 𝑘 por ln 𝑏 por 𝑏 elevado a 𝑘𝑥. Y podemos decir que la derivada de 𝑁 con respecto a 𝑡 es igual a 𝑁 cero por uno sobre 𝑡 mitad, pues en nuestra ecuación esto es lo equivalente a 𝑘, por ln de un medio, ya que en nuestra ecuación 𝑏 es un medio, por un medio elevado a 𝑡 sobre 𝑡 mitad.

Ahora reescribimos ln de un medio y decimos que es lo mismo que ln de dos elevado a menos uno. Y usamos las leyes de los logaritmos. Y vemos que ln de un medio es lo mismo que menos uno por ln dos o, sencillamente, menos ln dos. Así que podemos simplificar un poco la expresión. Ahora, como nuestra muestra contenía inicialmente 10 gramos de radón 222, podemos decir que 𝑁 cero debe ser igual a 10. Sabemos, además, que 𝑡 mitad es igual a 3.8215. Y queremos hallar la tasa de decaimiento cuando 𝑡 es igual a 10. Así que vamos a sustituir todo esto en nuestra ecuación de la derivada. Y obtenemos 10 sobre 3.8215 por menos ln dos por un medio elevado a 10 sobre 3.8215. Y eso nos da un valor de menos 0.2957.

Pero, ¿qué tiene esto que ver con nuestra cuestión? Bueno, con tres cifras significativas, la tasa de variación es igual a menos 0.296. Y como es un número negativo este resultado quiere decir que la muestra decae a una tasa de 0.296 gramos al día.

En este vídeo hemos visto que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 es 𝑒 elevado a 𝑥. Y también hemos visto que esto puede generalizarse. Y que podemos decir que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑘𝑥 es igual a 𝑘 por 𝑒 elevado a 𝑘𝑥. También hemos visto que podemos derivar 𝑏 elevado a 𝑥 con respecto a 𝑥 para obtener ln 𝑏 por 𝑏 elevado a 𝑥. Y generalizamos esto para decir que la derivada de 𝑏 elevado a 𝑘𝑥 es igual a 𝑘 por ln 𝑏 por 𝑏 elevado a 𝑘𝑥. También hemos visto que puede ser útil simplificar o manipular expresiones usando las reglas de los exponentes antes de derivar. Y, por último, conviene mencionar que es importante no confundir la regla de la potencia y la regla para derivar funciones exponenciales.

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