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Vídeo de la lección: Conversión entre radianes y grados Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo convertir de radianes a grados y viceversa.

17:36

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo convertir de radianes a grados y viceversa. Comencemos pensando en qué es un radian.

Al igual que ocurre con los grados, los radianes son una unidad de medida para los ángulos. Un radián es la medida del ángulo determinado en el centro de una circunferencia por un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Veamos cómo es esto en más detalle. Supongamos que este es nuestro círculo con un centro marcado como 𝑂 y aquí está el radio de nuestro círculo, que podemos marcar como 𝑟. Supongamos ahora también que dibujamos un segmento con la misma longitud que el radio 𝑟 y luego la curvamos un poco para que quede justo a lo largo de la circunferencia del círculo. Entonces, esto es que tenemos. Y sabemos que la longitud en el otro lado de este sector circular también es 𝑟. El ángulo creado de esta forma tiene una medida de un radián. Y la pregunta que queremos responder en este momento es si podemos calcular cuál es la medida de este ángulo en grados.

Recordemos otro hecho que debemos tener en cuenta sobre los círculos. La distancia a todo lo largo del perímetro de este círculo se llama circunferencia. Y la circunferencia de un círculo se halla multiplicando dos por 𝜋 por el radio. Una pregunta que podemos hacer es ¿cuántas de estas longitudes de arco caben en la circunferencia? Y la respuesta, por supuesto, es que exactamente dos 𝜋 de estos arcos caben en la circunferencia. Podemos comprobar esto recordando que 𝜋 es aproximadamente igual a 3.14. Esto significa que dos 𝜋 será aproximadamente igual a 6.28.

Es decir que, si añadimos otro arco de longitud 𝑟, así, y otro más así, podemos poner seis arcos en total y habrá una pequeña parte sobrante de la circunferencia. Resulta pues, que todo este ángulo en el centro de este círculo mide dos 𝜋 radianes, y esto nos lleva a otro hecho que conocemos, y es el ángulo total alrededor de un punto en grados. Y es que el ángulo total alrededor de un punto tiene una medida de 360 grados. Y, por lo tanto, podemos decir que dos 𝜋 radianes es igual a 360 grados. Conocer esta equivalencia nos permitirá convertir de radianes a grados, y viceversa.

Y si ahora dividimos ambos lados de esta igualdad por dos, obtenemos la equivalencia de que 𝜋 radianes es igual a 180 grados. Esto puede ser muy útil porque sabemos que hay 180 grados en un semicírculo y en una recta, y también en un triángulo. Y si ahora dividimos esta segunda igualdad por dos en ambos lados, obtenemos que 𝜋 partido por dos radianes es igual a 90 grados, que es, por supuesto, la medida de un ángulo recto. Saber de memoria alguna de estas tres equivalencias puede ser muy útil para ayudarnos a convertir entre radianes y grados. Pero, por supuesto, solo necesitamos recordar una de ellas, ya que recordando cualquiera de ellas podremos derivar las otras dos.

Veamos ahora algunas cuestiones. Y en nuestra primera cuestión, vamos a convertir varios ángulos de grados a radianes.

Convierte las siguientes medidas de ángulos de grados a radianes. Da tus respuestas en términos de 𝜋 en su forma más simple. 90 grados, 30 grados, 55 grados.

En esta cuestión, nos dan tres ángulos diferentes en grados, y necesitamos cambiarlos a una unidad de medida diferente para los ángulos, radianes. Una de las equivalencias más fáciles de recordar entre grados y radianes es que 180 grados es igual a 𝜋 radianes. Veamos cómo esto nos puede ayudar a responder la pregunta de cuántos radianes hay en 90 grados. Bien, podemos darnos cuenta de que, para pasar de 180 grados a 90 grados, basta con dividir por dos. Y así, nuestra medida en radianes también debe dividirse por dos. 𝜋 dividido por dos se puede escribir como 𝜋 sobre dos. Y así, la respuesta es 𝜋 sobre dos radianes.

Observa que esta respuesta está dada en términos de 𝜋, y está en su forma más simple. Los ángulos en radianes generalmente se dan en esta forma, pero podríamos, por supuesto, usar una calculadora para convertirlos a forma decimal si es necesario.

Pasemos ahora a la conversión de nuestro ángulo de 30 grados. Podemos usar la misma equivalencia de que 180 grados es igual a 𝜋 radianes. Y esta vez, observamos que, si pasamos de 180 grados a 30 grados, eso es lo mismo que dividir por seis. En el lado derecho, también necesitamos dividir por seis. Y así podemos dar nuestra respuesta de que 30 grados es igual a 𝜋 sobre seis radianes. Una vez más, esto está en términos de 𝜋 y en su forma más simple.

Veamos ahora esta última parte. Esta vez, estamos tratando de convertir 55 grados a radianes. Es posible que te hayas dado cuenta ya de que esto no será tan simple ya que 55 grados no es un divisor de 180 grados. En lugar de pasar directamente de 180 grados a 55 grados, nos resultará más útil dar un paso intermedio. Se trata de determinar cuántos radianes hay en un grado, pero hay otros métodos. Por ejemplo, podríamos determinar cuántos radianes hay en cinco grados.

Pero digamos que usamos un grado. Y, por supuesto, para pasar de 180 grados a un grado, debemos dividir por 180. Dividir nuestro valor en radianes por 180 nos da 𝜋 sobre 180 radianes. Ahora necesitamos pensar en cómo pasar de un grado a 55 grados. Y eso se consigue multiplicando por 55. Por lo tanto, tendremos que hacer esto en ambos lados de esta ecuación. En lugar de dejar nuestra respuesta como 55𝜋 sobre 180, podemos simplificar cancelando un factor común de cinco. Y de esta forma obtenemos nuestra respuesta de que 55 grados es igual a 11𝜋 sobre 36 radianes. Y, por lo tanto, tenemos todos estos ángulos en grados convertidos a radianes.

En la siguiente cuestión, vamos a ver cómo podemos convertir un ángulo en radianes a un ángulo en grados.

Convierte 𝜋 sobre tres radianes a grados.

Debemos recordar que, al igual que los grados, los radianes son una unidad de medida de los ángulos. Decimos que un radian es el ángulo determinado en el centro de una circunferencia por un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Sin embargo, para convertir realmente entre radianes y grados, necesitamos recordar además un hecho clave. Debemos recordar que dos 𝜋 radianes equivalen a 360 grados o que 𝜋 radianes equivalen a 180 grados. Recordar cualquiera de estas equivalencias nos permitiría convertir nuestro valor de 𝜋 sobre tres radianes.

Digamos que usamos la equivalencia de que 𝜋 radianes es igual a 180 grados. Luego debemos preguntarnos cómo pasamos de 𝜋 a 𝜋 sobre tres. Bien, podemos hacer eso dividiendo por tres. Y, por supuesto, necesitamos tomar el valor de 180 grados y dividirlo también por tres, lo que nos da 60 grados. Y esa es nuestra respuesta en grados para 𝜋 sobre tres radianes.

A continuación, vamos a ver una cuestión en la que necesitamos convertir entre radianes y grados en el contexto de un problema.

Halla el valor de dos ángulos en grados sabiendo que su suma es 74 grados y su diferencia es 𝜋 sobre seis radianes. Da la respuesta al grado más cercano.

En esta cuestión, nos dicen que hay dos ángulos. También nos dicen que su suma es 74 grados y su diferencia es 𝜋 sobre seis radianes. Para responder una cuestión como esta, tenemos que emplear diferentes habilidades matemáticas. Necesitamos usar un poco de álgebra para resolver este problema. Y también necesitamos saber cómo convertir de radianes a grados y de grados a radianes.

Comencemos diciendo que nuestros dos ángulos tienen medidas 𝑥 y 𝑦. Como nos dicen que su suma es 74 grados, decimos que 𝑥 más 𝑦 es igual a 74 grados. Después, nos dicen que su diferencia es 𝜋 sobre seis radianes. Recuerda que diferencia significa restar, así que podemos escribir que 𝑥 menos 𝑦 es igual a 𝜋 sobre seis radianes.

Y como ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, podemos resolverlas. Sin embargo, el problema es que una de estas medidas está en grados y la otra está en radianes. Podemos expresar ambas medidas en grados o ambas en radianes. Pero si echamos un vistazo al enunciado de la cuestión, notaremos que necesitamos dar nuestra respuesta final en grados, así que parece conveniente expresar ambas medidas en grados.

Tomemos este ángulo de 𝜋 sobre seis radianes y escribámoslo como un valor en grados. Para hacer esto, necesitamos recordar una equivalencia importante entre radianes y grados. Y es que 𝜋 radianes es igual a 180 grados. Algunas personas prefieren recordar que dos 𝜋 radianes es igual a 360 grados. Pero cualquiera de las dos nos permitirá convertir estos ángulos. Por lo tanto, si partimos de que 𝜋 radianes es igual a 180 grados y que el valor que tenemos de 𝜋 sobre seis radianes es la sexta parte, eso significa que nuestro ángulo en grados también debe ser la sexta parte de 180 grados, lo que significa que debe ser de 30 grados.

Ahora que sabemos que este valor de 𝜋 sobre seis radianes equivale a 30 grados, podemos decir que 𝑥 menos 𝑦 es igual a 30 grados. Y podemos resolver este sistema de ecuaciones por sustitución o por reducción. Si optamos por usar un método de eliminación por reducción y decidimos eliminar la variable 𝑦, podemos conseguirlo sumando la primera ecuación y la segunda ecuación. Sumando los dos términos 𝑥 obtenemos dos 𝑥. Seguidamente, 𝑦 menos 𝑦 nos da cero. Y 74 grados más 30 grados son 104 grados.

Luego podemos hallar el valor de 𝑥 dividiendo ambos lados de esta ecuación por dos. Así que, 𝑥 es igual a 52 grados. Ahora tomamos este valor de 𝑥 y lo reemplazamos en la primera ecuación o en la segunda ecuación. Usando la primera ecuación, con 𝑥 igual a 52 grados, obtenemos que 52 grados más 𝑦 es igual a 74 grados. Restando 52 grados de ambos lados obtenemos 𝑦 igual a 22 grados. Por lo tanto, podemos dar nuestra respuesta de que el ángulo mayor mide 52 grados y el ángulo menor mide 22 grados. Y como ya son respuestas de valor entero, no debemos preocuparnos por redondear al grado más cercano.

Por supuesto, siempre es recomendable comprobar que nuestra respuesta es correcta. Cuando lo estábamos resolviendo, usamos esta ecuación 𝑥 más 𝑦 igual a 74 grados, así que ahora vamos a comprobar que, si restamos nuestros ángulos, obtenemos 30 grados. Y, efectivamente, si restamos 52 grados menos 22 grados, obtenemos 30 grados, lo que confirma que nuestros dos ángulos son de 52 grados y de 22 grados.

En la última cuestión, vamos a resolver un problema que involucra ángulos en radianes y ángulos en grados en el contexto de un triángulo.

Dos ángulos en un triángulo miden 55 grados y siete 𝜋 sobre 18 radianes. Halla el valor del tercer ángulo dando la respuesta en radianes en términos de 𝜋.

En esta cuestión, nos dicen que hay un triángulo. Uno de los ángulos, nos dicen, mide 55 grados. Y el otro ángulo mide siete 𝜋 sobre 18 radianes. Necesitamos hallar el valor del tercer ángulo en este triángulo. Y necesitamos dar la respuesta en radianes.

El primer problema que debemos notar aquí es que uno de los ángulos está dado en grados y el otro en radianes. Podríamos estar un poco confundidos y pensar que los radianes son algo que solo se refiere a círculos. Pero recuerda que los radianes son como los grados; son solo una unidad de medida para los ángulos. Lo que queremos hacer en esta cuestión es asegurarnos de que todos los ángulos están dados en la misma unidad de medida. Podríamos cambiarlos todos a grados, o podríamos cambiarlos todos a radianes. Pero debemos darnos cuenta de que la cuestión pide el ángulo en radianes al final, por lo que puede ser mejor cambiar nuestro valor en grados a un valor en radianes.

Cuando se trata de convertir entre grados y radianes, hay dos equivalencias que podemos aprender de memoria: 180 grados es igual a 𝜋 radianes y 360 grados es igual a dos 𝜋 radianes. Recordar una cualquiera de estas nos permitirá convertir cualquier medida en grados en una medida en radianes. Así que vamos a tomar la equivalencia de 180 grados igual a 𝜋 radianes y vamos a usarla para convertir 55 grados en un valor en radianes. Si tomamos este paso intermedio de hallar un grado, podemos notar que, para ir de 180 a uno, debemos dividir por 180.

Esto significa que debemos hacer lo mismo en el otro lado con nuestro valor en radianes. Y 𝜋 dividido por 180 se puede escribir como 𝜋 sobre 180 radianes. Para pasar de un grado a 55 grados, debemos multiplicar por 55. Luego podemos simplificar este valor en el lado derecho. Así que hemos obtenido que 55 grados es igual a 11𝜋 sobre 36 radianes. Podemos notar, por supuesto, que hay otra forma en que podríamos haber resuelto esto. En lugar de hallar un grado, podríamos haber convertido cinco grados a radianes. Para pasar de 180 grados a cinco grados, hay que dividir por 36. Luego, para convertir cinco grados a 55 grados, habríamos necesitado multiplicar ambos lados por 11. De cualquier manera, nos habría dado el valor de 11𝜋 sobre 36 radianes.

Ahora que hemos calculado que este ángulo de 55 grados es equivalente a 11𝜋 sobre 36 radianes, veamos si podemos hallar este tercer ángulo en el triángulo. Necesitamos recordar que los ángulos en un triángulo suman 180 grados. Si llamamos a este ángulo desconocido en el triángulo 𝑥, podríamos comenzar a escribir que los tres ángulos deben sumar, ¡oh, no! No pueden sumar 180 grados; debe ser un valor en radianes. Pero ya sabemos que 180 grados es igual a 𝜋 radianes. Por lo tanto, estos tres ángulos deben sumar 𝜋.

Ahora necesitamos hacer un poco de aritmética de fracciones. Y recordamos que cuando sumamos fracciones, deben tener el mismo denominador. Para escribir nuestra segunda fracción con un denominador de 36, necesitamos multiplicar el numerador y el denominador por dos. Entonces, nuestra segunda fracción será 14𝜋 sobre 36. Cuando sumamos fracciones y tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores. Tenemos, pues, 25𝜋 sobre 36 más 𝑥 es igual a 𝜋. Para hallar 𝑥, restamos 25𝜋 sobre 36 de ambos lados de esta ecuación. Para ayudarnos a resolver esto, puede ser útil sacar un factor de 𝜋. Hallamos que 𝑥 es igual a 𝜋 multiplicado por uno menos 25 sobre 36.

Usando el hecho de que este valor total de uno debe ser 36 sobre 36, obtenemos que 𝑥 es igual a 11𝜋 sobre 36 radianes. Y esa es nuestra respuesta para el tercer ángulo en este triángulo. Y está expresada en radianes y en términos de 𝜋.

Resumamos ahora lo que hemos aprendido en este video. En primer lugar, hemos visto que tanto los radianes como los grados son unidades de medida de los ángulos. Hemos visto que un radian es el ángulo determinado en el centro de una circunferencia por un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Finalmente, podemos convertir entre grados y radianes recordando una de las siguientes equivalencias: dos 𝜋 radianes es igual a 360 grados, 𝜋 radianes es igual a 180 grados o 𝜋 partido por dos radianes es igual a 90 grados. Usar cualquiera de estas tres equivalencias nos permitirá convertir de grados a radianes y viceversa.

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