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Vídeo de la lección: Teorema de Pitágoras en tres dimensiones Matemáticas • Octavo grado

En este video, vamos a aprender cómo usar el teorema de Pitágoras para resolver problemas en tres dimensiones.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo usar el teorema de Pitágoras para resolver problemas en tres dimensiones. Para mejor aprovechar este video debes estar familiarizado con el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, el cual describe la relación entre las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. De todas formas, y por si acaso, vamos a comenzar repasando este teorema.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Así que, si tomamos este triángulo rectángulo de abajo y rotulamos la hipotenusa, que es el lado más largo, con la letra 𝑐 y los dos lados más cortos, los catetos, con las letras 𝑎 y 𝑏, el teorema de Pitágoras dice que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado es igual a 𝑐 al cuadrado. Y como vamos a ver en este video, es posible aplicar este teorema de Pitágoras en dos dimensiones a figuras en tres dimensiones.

Y hacemos esto haciendo uso de secciones transversales planas de la figura tridimensional. Por ejemplo, podemos usar este triángulo rectángulo para hallar la longitud de una de las diagonales de las caras. Sin embargo, debemos tener un poco de cuidado. Por ejemplo, si queremos hallar la longitud de esta diagonal espacial, primero tenemos que hallar la longitud de esta diagonal de cara para poder aplicar el teorema de Pitágoras en dos dimensiones.

En este video, vamos a ver cómo podemos aplicar este teorema de Pitágoras en dos dimensiones a varias figuras tridimensionales, incluyendo conos y pirámides. Pero comencemos con un ejemplo donde aplicamos el teorema de Pitágoras a un cubo.

Sabiendo que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 es un cubo cuya longitud de arista es seis raíz de dos centímetros y 𝑋 es el punto medio de los segmentos 𝐴𝐵, halla el área del rectángulo 𝐷𝑋𝑌𝐸.

Nos dicen que esta figura tridimensional es un cubo con una arista de seis raíz de dos centímetros de longitud. Y eso significa que la longitud, la anchura y la altura son todas seis raíz de dos centímetros. Observamos que tenemos este segmento adicional 𝑋𝑌, del cual nos dicen que 𝑋 es el punto medio del segmento 𝐴𝐵. El segmento 𝑋𝑌 forma uno de los lados del rectángulo 𝐷𝑋𝑌𝐸, cuya área necesitamos calcular.

Recordemos que el área de un rectángulo es igual a la longitud multiplicada por la anchura. Por lo tanto, para hallar el área de 𝐷𝑋𝑌𝐸, podemos calcular 𝐷𝑋 multiplicado por 𝑋𝑌. La longitud de 𝑋𝑌 es relativamente fácil de calcular. Como sabemos que la altura del cubo es seis raíz de dos centímetros, la longitud de 𝑋𝑌 también es seis raíz de dos centímetros. Sin embargo, la longitud de 𝐷𝑋 requerirá algunos cálculos más.

Consideremos un dibujo bidimensional de la base del cubo, que es, obviamente, cuadrada. También vamos a poner el segmento 𝑋𝐷. Como 𝑋 es el punto medio del segmento 𝐴𝐵, el segmento 𝐴𝑋 tiene una longitud de un medio de seis raíz de dos centímetros, que es tres raíz de dos centímetros. Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo 𝐷𝐴𝑋 para calcular la longitud del segmento 𝐷𝑋.

Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Aplicando esto en el triángulo 𝐷𝐴𝑋, vemos que 𝐷𝑋 es la hipotenusa. Tenemos que 𝐴𝑋 al cuadrado más 𝐴𝐷 al cuadrado es igual a 𝐷𝑋 al cuadrado. Sustituir los valores de longitud nos da tres raíz de dos al cuadrado más seis raíz de dos al cuadrado es igual a 𝐷𝑋 al cuadrado. Simplificando esto, hallamos que 90 es igual a 𝐷𝑋 al cuadrado. Luego podemos hallar la longitud de 𝐷𝑋 sacando la raíz cuadrada de ambos lados. Como la raíz de 90 se puede escribir como raíz de nueve por raíz de 10, obtenemos que 𝐷𝑋 es igual a tres raíz de 10 centímetros.

Con esto tenemos suficiente información para volver al cálculo del área. El área de 𝐷𝑋𝑌𝐸, que es 𝐷𝑋 multiplicado por 𝑋𝑌, se puede dar como tres raíz de 10 multiplicado por seis raíz de dos. Esto es igual a 18 raíz de 20. Podemos simplificar aún más esto considerando que la raíz 20 es igual a la raíz cuatro por cinco. Así que el área de 𝐷𝑋𝑌𝐸 es 36 raíz de cinco. Y como esta es un área, las unidades son unidades cuadradas. Por lo tanto, nuestra respuesta para el área del rectángulo 𝐷𝑋𝑌𝐸 es 36 raíz de cinco centímetros cuadrados.

En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos aplicar el teorema de Pitágoras a una pirámide. Pero primero, resumamos algunos de los puntos clave que usamos al describir longitudes en una pirámide.

La parte superior de una pirámide se llama cúspide o vértice de la pirámide. La altura de una pirámide es la distancia perpendicular entre la cúspide de la pirámide y su base, y es perpendicular a cualquier recta que interseca en la base de la pirámide. La apotema de una pirámide es la distancia perpendicular desde uno de los lados de la base hasta el vértice de la pirámide. Y finalmente, las aristas son las líneas que tienen en común las caras contiguas de la pirámide. Debemos tener cuidado de no confundir la apotema con una arista.

En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la altura de una pirámide.

𝑀𝐴𝐵𝐶 es una pirámide regular cuya base 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo equilátero cuya longitud de lado es 32 centímetros. Sabiendo que la longitud de su arista lateral es 88 centímetros, halla la altura de la pirámide a la centésima más cercana.

Comencemos este problema dibujando la pirámide. La información importante para mostrar en el diagrama es que 𝑀 es el vértice de la pirámide. La base es 𝐴𝐵𝐶. Y sabemos que es un triángulo equilátero. Como es equilátero, sabemos que todos los lados del triángulo en la base miden 32 centímetros. Como esta es una pirámide regular, todas las longitudes de las aristas laterales miden 88 centímetros.

Necesitamos calcular la altura de la pirámide, que es la distancia vertical desde el vértice 𝑀 hasta el centro de la base de la pirámide, que podemos señalar con la letra 𝑋. Podemos conectar este punto central a uno de los vértices del triángulo en la base. Como tenemos un triángulo rectángulo en 𝑀𝐴𝑋, podemos calcular la altura 𝑀𝑋 si conocemos la longitud de este segmento 𝐴𝑋. Así que vamos a hacer un dibujo del triángulo 𝐴𝐵𝐶 en la base de la pirámide y veamos cómo podemos calcular la longitud de 𝐴𝑋.

El punto 𝑋 es el baricentro del triángulo, que es el punto en el que se cortan las tres medianas. Hay dos propiedades importantes que necesitaremos para resolver este problema. La primera es que en un triángulo equilátero las tres medianas tienen la misma longitud. La segunda propiedad es que el baricentro de un triángulo divide cada mediana en la razón de dos a uno desde el vértice. A partir de estas propiedades, podemos decir que 𝐴𝑋 es igual a 𝐵𝑋 es igual a 𝐶𝑋. Y si marcamos el punto medio de 𝐵𝐶 con la letra 𝑌, a partir de la segunda propiedad, podemos decir que 𝐴𝑋 es igual a dos tercios de 𝐴𝑌.

Ahora podemos echar un vistazo más de cerca al triángulo 𝐴𝐵𝑌. De hecho, este tendrá un ángulo recto en 𝑌 ya que la mediana 𝐴𝑌 divide el triángulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 en dos triángulos rectángulos congruentes. 𝐵𝑌 es la mitad de la longitud de 𝐵𝐶, así que es 16 centímetros. Como conocemos dos de las longitudes en este triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la longitud de 𝐴𝑌. Como 𝐴𝐵 es la hipotenusa, 𝐴𝑌 al cuadrado más 𝐵𝑌 al cuadrado es igual a 𝐴𝐵 al cuadrado.

Sustituyendo la longitud de 𝐵𝑌, que es 16 centímetros, y 𝐴𝐵, que es 32 centímetros, obtenemos 𝐴𝑌 al cuadrado más 16 al cuadrado es igual a 32 al cuadrado. Reorganizando y simplificando, hallamos que 𝐴𝑌 al cuadrado es igual a 768. Para hallar el valor de 𝐴𝑌, sacamos la raíz cuadrada de ambos lados, lo que nos deja con 16 raíz de tres centímetros. Hemos calculado que la longitud de la mediana 𝐴𝑌 es 16 raíz de tres centímetros. Pero, por supuesto, solo nos interesa la longitud del segmento 𝐴𝑋.

Sin embargo, recuerda que ya hemos dicho que 𝐴𝑋 es igual a dos tercios de 𝐴𝑌. Así que 𝐴𝑋 es igual a dos tercios multiplicado por 16 raíz de tres. Eso es 32 raíz de tres sobre tres centímetros. Y ahora, cuando volvemos a la pirámide, podemos ver que tenemos dos lados del triángulo 𝑀𝐴𝑋, y podemos calcular el tercer lado 𝑀𝑋 usando el teorema de Pitágoras.

Podemos escribir que 𝐴𝑋 al cuadrado más 𝑀𝑋 al cuadrado es igual a 𝐴𝑀 al cuadrado. Sustituyendo los valores de las longitudes, obtenemos 32 raíz de tres sobre tres al cuadrado más 𝑀𝑋 al cuadrado es igual a 88 al cuadrado. Reorganizando y usando nuestras calculadoras, hallamos que 𝑀𝑋 al cuadrado es igual a 22208 sobre tres. Después, podemos hallar el valor de 𝑀𝑋 sacando la raíz cuadrada. Y como necesitamos la respuesta a la centésima más cercana, podemos convertirla a forma decimal. Como 𝑀𝑋 es la altura de la pirámide, la respuesta es que la altura de la pirámide a la centésima más cercana es 86.04 centímetros.

En el siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos aplicar el teorema de Pitágoras a un cono.

Un cono recto tiene una altura de 90 centímetros y una generatriz de 106 centímetros. Halla la circunferencia y el área de la base en términos de 𝜋.

Podemos comenzar dibujando este cono circular, que tiene una altura de 90 centímetros y una generatriz de 106 centímetros. Como este es un cono recto, la altura es la distancia perpendicular desde su vértice o cúspide hasta el centro de la base. La generatriz es la distancia desde cualquier punto en la circunferencia de la base hasta el vértice a lo largo de la superficie del cono.

Observa que, si dibujamos el radio del círculo en la base de este cono, entonces el radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo. Como necesitamos hallar la circunferencia y el área de esta base circular, conocer el radio es muy importante. La circunferencia es igual a dos por 𝜋 por el radio, y el área de un círculo es igual a 𝜋𝑟 al cuadrado.

Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que, en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si nos fijamos en este triángulo rectángulo bidimensional en el cono, podemos decir que 𝑟 al cuadrado más 90 al cuadrado es igual a 106 al cuadrado, donde 𝑟 es el radio del círculo. Reordenando y resolviendo, sacando la raíz cuadrada de ambos lados, hallamos que 𝑟 es igual a 56 centímetros. El radio de la base de este cono es 56 centímetros.

Por lo tanto, podemos determinar que la circunferencia es igual a dos por 𝜋 por 56, que es 112𝜋 centímetros. El área, que es igual a 𝜋 por el radio al cuadrado, es por lo tanto igual a 𝜋 por 56 al cuadrado. Esto se simplifica a 3136𝜋. Y recuerda, como esta es un área, usamos unidades de centímetros cuadrados. Por lo tanto, podemos dar las dos respuestas de que la base de este cono, que es un círculo, tiene una circunferencia de 112𝜋 centímetros y un área de 3136𝜋 centímetros cuadrados.

Ahora vamos a ver cómo el teorema de Pitágoras puede, de hecho, extenderse a tres dimensiones.

Supongamos que tenemos este ortoedro 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 y queremos hallar la longitud de la diagonal 𝑑, que es el segmento 𝐴𝐺. Si las dimensiones de este ortoedro se dan como 𝑎, 𝑏 y 𝑐, para hallar la longitud 𝑑, primero tenemos que hallar la longitud 𝑒, o sea, la longitud del segmento 𝐴𝐹. Al tener un triángulo rectángulo y aplicar el teorema de Pitágoras en dos dimensiones, sabemos que 𝑒 al cuadrado es igual a 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Y si ahora nos fijamos en el triángulo rectángulo 𝐴𝐹𝐺, podemos decir que 𝑑 al cuadrado es igual a 𝑒 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado.

Pero como sabemos que 𝑒 al cuadrado es igual a 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado, podemos combinar estas dos ecuaciones. 𝑑 al cuadrado debe ser igual a 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado. Y así hemos demostrado la versión en tres dimensiones del teorema de Pitágoras. Y en esta versión, el teorema dice que en un ortoedro con longitudes de lado 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y una diagonal interior 𝑑, se tiene que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado es igual a 𝑑 al cuadrado.

Por lo tanto, hemos visto cómo podemos aplicar el teorema de Pitágoras en dos dimensiones en un rango de contextos con figuras tridimensionales y hemos visto también una versión verdaderamente tridimensional del teorema de Pitágoras. Ahora, antes de terminar, vamos a resumir los puntos principales de este video.

Hemos visto que el teorema de Pitágoras en dos dimensiones se puede aplicar a triángulos rectángulos definidos en las caras de un objeto tridimensional y puede aplicarse tambien a secciones bidimensionales a través del interior de este objeto tridimensional. En un cono, el radio de la base 𝑟, la altura ℎ y la generatriz 𝑙 forman un triángulo rectángulo. Entonces, aplicando el teorema de Pitágoras, hallamos que 𝑟 al cuadrado más ℎ al cuadrado es igual a 𝑙 al cuadrado. Y finalmente, hemos visto la versión en tres dimensiones del teorema de Pitágoras, que dice que para un prisma rectangular con longitudes de lado 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y una diagonal de longitud 𝑑, se tiene que 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado es igual a 𝑑 al cuadrado.

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