Vídeo: Resolver ecuaciones logarítmicas aplicando las propiedades de los logaritmos

Determina el conjunto de soluciones de log₆ (−2𝑥 + 48) = 2 log₆ 𝑥 en ℝ.

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Transcripción del vídeo

Halla el conjunto de soluciones de log en base seis de menos dos 𝑥 más 48 igual a dos por log en base seis de 𝑥, en el conjunto de los números reales.

Empezamos escribiendo esta ecuación de nuevo. El lado izquierdo es el logaritmo en base seis de una expresión. El lado derecho casi también, pero hay un factor dos con el que hay que lidiar. Por suerte, existe una propiedad de los logaritmos que nos permite escribir el lado derecho como el log en base 6 de algo. Esta propiedad dice que 𝑛 veces el log en base 𝑏 de 𝑎 es igual al log en base 𝑏 de 𝑎 elevada a 𝑛.

Y puedes imaginar que esta constante multiplicativa 𝑛 se mueve para convertirse en el exponente de 𝑎. Y así, en el lado derecho, la constante multiplicativa 2, que está fuera del logaritmo, entra dentro del logaritmo como el exponente de la 𝑥. El lado izquierdo sigue siendo el mismo. Así que ahora tenemos una igualdad de logaritmos en base 6 de expresiones algebraicas. Y, por lo tanto, deben ser iguales las cosas que hay dentro de esos logaritmos. Menos dos 𝑥 más 48 debe ser igual a 𝑥 al cuadrado.

Otra forma de hacer esto sería decir que seis elevado al lado izquierdo debe ser igual a seis elevado al lado derecho. De cualquier manera, obtenemos esta ecuación de segundo grado de aquí, que, con suerte, sabremos cómo resolver. Si restamos menos dos 𝑥 más 48 de ambos lados, obtenemos que cero es igual a 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos 48. Conviene intercambiar los lados para obtener algo más convencional, de modo que el cero esté en el lado derecho. Ahora podemos factorizar, y obtenemos 𝑥 más ocho por 𝑥 menos seis igual a cero. Y así, las soluciones de esta ecuación de segundo grado son 𝑥 igual a menos ocho y 𝑥 igual a seis.

Ahora, sin embargo, debido a que estamos trabajando con una ecuación logarítmica, debemos tener cuidado de que las soluciones de la ecuación final también sean soluciones de la ecuación original, que contiene logaritmos. El argumento de una función logarítmica debe ser mayor que cero. Por lo tanto, menos dos 𝑥 más 48 y 𝑥 deben ser ambos positivos para que esta ecuación original tenga sentido.

Veamos primero 𝑥 igual a menos ocho. Al sustituir menos ocho en nuestra ecuación original, obtenemos log en base seis de menos dos por menos ocho más 48 es igual a dos por log en base seis de menos ocho. Simplificando obtenemos que log en base seis de 64 es igual a dos por log en base seis de menos ocho.

Menos ocho es menos que cero, por supuesto, y no tiene sentido hablar del logaritmo de un número negativo. El log en base seis de menos ocho es el número al que seis debe ser elevado para obtener menos ocho. Y claro, tal número no existe. Y, por lo tanto, aunque menos ocho es una solución de la ecuación de segundo grado que obtuvimos, no es una solución de la ecuación logarítmica original que habíamos de resolver.

Por otro lado, si sustituimos el seis en nuestra ecuación logarítmica original y simplificamos, obtenemos log en base seis de 36 igual a dos por log en base seis de seis. 36 y seis son ambos mayores que cero y, por lo tanto, los dos lados de la ecuación están definidos y tienen sentido.

Además, pensando un poco o usando la calculadora, es fácil ver que esta igualdad se cumple. Es cierto que log en base seis de 36 es igual a dos veces log en base seis de seis; ambos son iguales dos. Y, por lo tanto, 𝑥 igual a seis es una solución de la ecuación logarítmica. De hecho, es la única solución. Concluimos, pues, que el conjunto de soluciones de esta ecuación, que es, después de todo, lo que nos pidieron, es el conjunto que contiene el número seis únicamente.

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