Vídeo: La integral de una función vectorial

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la integral de una función vectorial en dos dimensiones y en tres dimensiones.

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Transcripción del vídeo

Una función de valores vectoriales, o función vectorial, es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y cuyo recorrido es un conjunto de vectores. A menudo, las funciones que nos interesan son funciones vectoriales 𝐫, cuyos valores son vectores tridimensionales. En este vídeo vamos a hacer uso de nuestros conocimientos del cálculo infinitesimal para calcular integrales indefinidas y definidas de una función vectorial en dos y tres dimensiones. Por lo tanto, es importante que sepas derivar una amplia variedad de funciones, incluyendo las funciones polinómicas, trigonométricas y exponenciales, y que sepas aplicar las propiedades de la integral.

La integral definida de una función vectorial continua 𝐫 de 𝑡 se define de una forma muy parecida a la de una función en los números reales, con la única diferencia de que la integral es un vector. Así que decimos que la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 con respecto a 𝑡 es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la sumatoria de 𝐫 de 𝑡 𝑖 asterisco por △𝑡 para valores de 𝑖 desde uno hasta 𝑛. Por tanto, podemos expresar la integral de 𝐫 en términos de las integrales de sus funciones componentes 𝑓, 𝑔 y ℎ como se muestra aquí. Seguidamente hacemos uso de la definición de la integral como el límite de las sumas de Riemann y vemos que podemos expresar la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 con respecto a 𝑡 como la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡 𝐢. Más la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑔 de 𝑡 con respecto a 𝑡 𝐣. Más la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de ℎ de 𝑡 con respecto a 𝑡 𝐤. Esto nos viene de perlas, pues significa que podemos calcular la integral de una función vectorial simplemente integrando cada función componente.

Asimismo, podemos aplicar la segunda parte del teorema fundamental del cálculo — o sea, la regla de Barrow — a las funciones vectoriales continuas, de modo que la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 con respecto a 𝑡 es la antiderivada 𝐑 mayúscula calculada en 𝑏 menos 𝐑 mayúscula calculada en 𝑎. Como ves, no es tan difícil. Tan solo tenemos que integrar cada una de nuestras componentes como hacemos normalmente. Veamos un ejemplo.

Calcula la integral indefinida de cuatro 𝑡 al cubo más tres 𝑡 al cuadrado 𝐢 más cuatro 𝑡 al cuadrado menos cinco 𝐣 más cuatro 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 al cuadrado más tres 𝐤 con respecto a 𝑡.

Esta es una función vectorial. Toma un número real 𝑡. Y produce un vector. Como acabamos de ver, para integrar una función vectorial tan solo tenemos que integrar cada componente. Así que tenemos que integrar la componente 𝐢 con respecto a 𝑡. Es cuatro 𝑡 al cubo más tres 𝑡 al cuadrado. Ahora integramos la componente 𝐣. Es cuatro 𝑡 al cuadrado menos cinco. Y seguidamente integramos la componente 𝐤, que es cuatro 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 al cuadrado más tres con respecto a 𝑡. Estas son funciones polinómicas. Y como sabemos, para integrar un término polinómico cuyo exponente no es igual a menos uno, aumentamos ese exponente en uno y luego lo dividimos por el nuevo valor. Esto significa que la integral de cuatro 𝑡 al cubo es cuatro 𝑡 a la cuarta sobre cuatro. Integramos tres 𝑡 al cuadrado y obtenemos tres 𝑡 al cubo sobre tres. Y como sabes, esta es una integral indefinida. Así que debemos añadir una constante de integración 𝑎. Simplificamos completamente y obtenemos 𝑡 a la cuarta más 𝑡 al cubo más 𝑎.

Análogamente, cuando integramos cuatro 𝑡 al cuadrado, obtenemos cuatro 𝑡 al cubo sobre tres. La integral de menos cinco es menos cinco 𝑡. Y necesitamos otra constante de integración 𝑏. En la última componente, cuando integramos cuatro 𝑡 al cubo, obtenemos, de nuevo, cuatro 𝑡 a la cuarta sobre cuatro. La integral de menos cinco 𝑡 al cuadrado es menos cinco 𝑡 al cubo sobre tres. Y la integral de tres es tres 𝑡. Y añadimos la última constante de integración, 𝑐. Y simplificamos de la siguiente manera.

Ponemos esto de nuevo en forma vectorial. Y vemos que nuestra integral es igual a 𝑡 a la cuarta más 𝑡 al cubo más 𝑎 𝐢 más cuatro tercios por 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 más 𝑏 𝐣 más 𝑡 a la cuarta menos cinco tercios por 𝑡 al cubo más tres 𝑡 más 𝑐 𝐤. Sin embargo, fíjate en que cada una de nuestras componentes tiene su propia constante. Así que podemos combinarlas para formar un vector constante 𝐜. Esto significa que nuestra integral es igual a 𝑡 a la cuarta más 𝑡 al cubo 𝐢 más cuatro tercios 𝑡 al cubo menos cinco 𝑡 𝐣 más 𝑡 a la cuarta menos cinco tercios 𝑡 al cubo más tres 𝑡 𝐤 más esta 𝐂 mayúscula, que representa un vector constante.

Veamos ahora cómo cambia este procedimiento cuando calculamos una integral definida.

Calcula la integral definida entre cero y 𝜋 sobre cuatro de secante de 𝑡 por tangente de 𝑡 𝐢 más 𝑡 por coseno de dos 𝑡 𝐣 más seno al cuadrado de dos 𝑡 por coseno de dos 𝑡 𝐤 con respecto a 𝑡.

Recuerda que, para integrar una función vectorial tan solo tenemos que integrar cada una de sus componentes. Como esta es una integral definida, podemos utilizar la regla de Barrow, que dice que la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 con respecto a 𝑡 es igual a la antiderivada 𝐑 mayúscula calculada en 𝑏 menos 𝐑 mayúscula calculada en 𝑎. Así que, básicamente, lo que vamos a hacer es integrar cada una de nuestras componentes con respecto a 𝑡 y calcularlas por separado entre los límites de cero y 𝜋 sobre cuatro.

Vamos a empezar con la componente 𝐢. Es la integral definida entre cero y 𝜋 sobre cuatro de secante de 𝑡 por tangente de 𝑡. Recuerda que la derivada de secante de 𝑡 es igual a secante de 𝑡 por tangente de 𝑡. Esto quiere decir que la antiderivada de secante de 𝑡 por tangente de 𝑡 debe ser secante de 𝑡. Así que aplicamos el teorema fundamental del cálculo. Y vemos que esto es igual a secante de 𝜋 sobre cuatro menos secante de cero. Pero obviamente secante de 𝑡 es igual a uno sobre coseno de 𝑡. Así que tenemos que calcular uno sobre coseno de 𝜋 sobre cuatro menos uno sobre coseno de cero. Eso es raíz de dos menos uno.

Hemos despejado algo de espacio para poder calcular la integral definida entre cero y 𝜋 sobre cuatro de 𝑡 por coseno de dos 𝑡. Esta vez tenemos el producto de dos funciones de distinta familia. Así que vamos a usar el método de integración por partes para operar. Este método dice que la integral de 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑢 por 𝑣 menos la integral de 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 con respecto a 𝑥. Hacemos 𝑢 igual a 𝑡. Esto es porque sabemos que d𝑢 sobre d𝑡 es uno. Esto hace que la segunda integral vaya a ser mucho más sencilla de calcular. Así que d𝑣 sobre d𝑡 debe ser coseno de dos 𝑡. Por lo tanto, la antiderivada de coseno de dos 𝑡 nos da 𝑣. Es un medio por seno de dos 𝑡.

Como ya te habrás dado cuenta, estamos operando con el parámetro 𝑡 en lugar de 𝑥. Por lo demás, las sustituciones son las mismas. Tenemos 𝑢 por 𝑣. Eso es 𝑡 por un medio de seno de dos 𝑡, que calcularemos entre cero y 𝜋 sobre cuatro menos la integral definida entre esos límites de un medio por seno de dos 𝑡 por d𝑢 sobre d𝑡, que es uno. Vamos a simplificar esto un poco. Vamos a calcular la integral definida entre cero y 𝜋 sobre cuatro de un medio de seno de dos 𝑡 con respecto a 𝑡. La antiderivada de un medio de seno de dos 𝑡 es menos un cuarto de coseno de dos 𝑡. Podemos combinar estos términos y calcularlos entre los límites de cero y 𝜋 sobre cuatro. Cuando sustituimos 𝜋 sobre cuatro, obtenemos 𝜋 sobre ocho más cero. Y cuando sustituimos cero, obtenemos cero más un cuarto. Así que tenemos 𝜋 sobre ocho menos un cuarto.

Vamos a hacer algo de espacio para calcular esta integral definida. Esta vez, vamos a usar el método de integración por sustitución o cambio de variable. Hacemos 𝑢 igual a seno de dos 𝑡. Sabemos que d𝑢 sobre d𝑡, la derivada de seno de dos 𝑡 con respecto a 𝑡, es dos coseno de dos 𝑡. Y aunque d𝑢 sobre d𝑡 no es una fracción, sabemos que podemos reescribir esto de forma equivalente como un medio por d𝑢 igual a coseno de dos 𝑡 d𝑡. Ahora tenemos que cambiar nuestros límites de integración. Así que sustituimos. El límite inferior es cuando 𝑡 es igual a cero. Y cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑢 es igual a seno de dos por cero, que es cero. Y cuando 𝑡 es igual a 𝜋 sobre cuatro, 𝑢 es igual a seno de dos por 𝜋 sobre cuatro, que es uno.

Ahora sustituimos seno de dos 𝑡 por 𝑢. Podemos reemplazar coseno de dos 𝑡 por un medio de d𝑢. Ojo, no debemos olvidarnos de sustituir nuestros límites. Podemos dejar el factor constante de un medio fuera de la integral para centrarnos en integrar 𝑢 al cuadrado. De esta forma obtenemos 𝑢 al cubo sobre tres. Sustituimos nuestros límites y obtenemos un medio por uno al cubo sobre tres menos cero al cubo sobre tres, que es un sexto. Ahora que ya hemos calculado la integral de cada una de nuestras funciones componentes, podemos expresar esto en forma vectorial. Es raíz de dos menos uno 𝐢 más 𝜋 sobre ocho menos un cuarto 𝐣 más un sexto 𝐤.

Veamos otro ejemplo de este tipo.

Calcula la integral definida entre cero y uno de la raíz cúbica de 𝑡 𝐢 más uno sobre 𝑡 más uno 𝐣 más 𝑒 elevado a menos 𝑡 𝐤 con respecto a 𝑡.

Como ya sabemos, para integrar una función vectorial solo tenemos que integrar cada componente. Y como esta es una integral definida de funciones vectoriales continuas, podemos aplicar la regla de Barrow, como se muestra. Aquí, 𝐑 mayúscula es la antiderivada de 𝐫 minúscula. Así que vamos a integrar cada componente con respecto a 𝑡 y calcularla entre los límites de cero y uno. Comenzamos integrando la función componente para 𝐢. Es raíz cúbica de 𝑡 con respecto a 𝑡. Si escribimos esto como 𝑡 elevado a un tercio, se nos facilitan un poco las cosas. Aumentamos en uno el exponente y dividimos por el nuevo valor. Y obtenemos tres cuartos de 𝑡 elevado a cuatro tercios. Calculamos esto entre los límites de cero y uno, y obtenemos tres cuartos de uno elevado a cuatro tercios menos tres cuartos de cero elevado a cuatro tercios, que es tres cuartos.

Seguidamente integramos la componente 𝐣. Es uno sobre uno más 𝑡. Recordamos que la integral indefinida de 𝑓 prima de 𝑡 sobre 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑡 más una constante de integración 𝑐. Uno es igual a la derivada de uno más 𝑡. Así que la integral de uno sobre uno más 𝑡 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de uno más 𝑡. Y tenemos que calcular esto entre los límites de cero y uno. Observa que no hemos incluido la constante de integración aquí porque esta es una integral definida. Así que se cancela. Por lo tanto, tenemos el logaritmo neperiano de uno más uno menos el logaritmo neperiano de uno más cero. Ya no necesitamos el signo de valor absoluto porque sabemos que tanto uno más uno como uno más cero son mayores que cero. Así que este es el logaritmo neperiano de dos menos el logaritmo neperiano de uno, que es el logaritmo neperiano de dos.

Por último, integramos nuestra función componente para 𝐤. Es la integral definida entre cero y uno de 𝑒 elevado a menos 𝑡. La integral de 𝑒 elevado a menos 𝑡 es menos 𝑒 elevado a menos 𝑡. Así que tenemos menos 𝑒 elevado a menos uno menos menos 𝑒 elevado a cero, que se convierte en menos 𝑒 elevado a menos uno más uno o uno menos uno sobre 𝑒. Ya hemos integrado todas nuestras funciones componentes. Así que vamos a escribir la respuesta en forma vectorial. Nuestra integral definida es tres cuartos de 𝐢 más logaritmo neperiano de dos 𝐣 más uno menos uno sobre 𝑒 𝐤. Veamos ahora cómo este método también puede aplicarse a problemas de valor inicial.

Resuelve la ecuación diferencial d𝐫 sobre d𝑡 igual a 𝑡 al cuadrado más tres 𝐢 más cinco 𝑡 𝐣 más tres 𝑡 al cuadrado 𝐤 sabiendo que 𝐫 de cero es igual a cinco 𝐢 más tres 𝐣 menos dos 𝐤.

Vamos a empezar reescribiendo nuestra ecuación diferencial como d𝐫 igual a 𝑡 al cuadrado más tres 𝐢 más cinco 𝑡 𝐣 más tres 𝑡 al cuadrado 𝐤 d𝑡. Seguidamente integramos ambos lados de la ecuación. La integral de d𝐫 es la misma que la integral de uno con respecto a 𝐫. Así que es 𝐫 más una constante de integración 𝐜. De hecho, 𝐜 debe ser un valor vectorial, pues 𝐫 es una función vectorial. A continuación integramos cada función componente por separado. Y obtenemos 𝑡 al cubo sobre tres más tres 𝑡 más una constante para 𝐢, cinco 𝑡 al cuadrado sobre dos más una constante para 𝐣 y 𝑡 al cubo más una constante adicional para 𝐤. Hemos combinado estos en un vector constante 𝐜 dos.

Restamos 𝐜 uno de ambos lados. Por lo que estamos buscando el valor del vector constante 𝐜. Podemos usar el hecho de que 𝐫 de cero es igual a cinco 𝐢 más tres 𝐣 menos dos 𝐤 para hacerlo. Así que sustituimos 𝐫 por cinco 𝐢 más tres 𝐣 menos dos 𝐤 y 𝑡 por cero. Y obtenemos cinco 𝐢 más tres 𝐣 menos dos 𝐤 igual a cero 𝐢 más cero 𝐣 más cero 𝐤. No necesitamos cada uno de estos. Y vemos que 𝐜 debe ser igual a cinco 𝐢 más tres 𝐣 menos dos 𝐤. Podemos reemplazar 𝐜 por este vector. Y seguidamente combinamos las 𝐢s, 𝐣s y 𝐤s. Al hacerlo hallamos que 𝐫 es igual a 𝑡 al cubo sobre tres más tres 𝑡 más cinco 𝐢 más cinco 𝑡 al cuadrado sobre dos más tres 𝐣 más 𝑡 al cubo menos dos 𝐤.

En este vídeo hemos aprendido cómo calcular la integral de una función vectorial integrando cada una de sus funciones componentes. Este método puede aplicarse a integrales definidas e indefinidas. Además, podemos aplicar la regla de Barrow a las funciones vectoriales, de modo que la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝐫 de 𝑡 con respecto a 𝑡 es igual a la antiderivada 𝐑 mayúscula calculada en 𝑏 menos la antiderivada calculada en 𝑎.

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