Vídeo: Hallar incógnitas en proporciones

A través de una serie de ejemplos, vamos a examinar la técnica de hallar fracciones equivalentes para hallar el término desconocido en una proporción (por ejemplo, 39/𝑥 = 13/7).

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a trabajar con proporciones y a hallar los valores de los términos desconocidos. O, dicho de otra manera, vamos a hallar fracciones equivalentes.

Sabiendo que 39 sobre 𝑥 es igual a 13 sobre siete. Halla el valor de 𝑥. Aquí tenemos dos fracciones: 39 sobre algo es igual a 13 sobre siete. Ahora, si pudiésemos hallar una fracción equivalente para trece sobre siete, la cual tuviera 39 en el numerador, de inmediato nos podemos dar cuenta de que el denominador habría de ser igual a 𝑥. Echemos un vistazo rápido a estas fracciones. Si multiplicamos 13 por tres, obtenemos 39. De modo que si multiplicamos la parte superior y la parte inferior de nuestra fracción por tres, obtendremos una fracción equivalente.

Recordemos que tres sobre tres es uno. Así que estamos multiplicando 13 sobre siete por uno, lo que nos deja con un número del mismo valor, 13 sobre siete. Pero se trata de una versión un poco diferente de ese número, 13 por tres es 39 y siete por tres es 21. Esta fracción es equivalente a esta fracción. Así que estas dos también son iguales. Pero ahora tenemos 39 sobre 𝑥 igual a 39 sobre 21. Así que 𝑥 debe ser igual a 21. Y esta es nuestra respuesta.

Sabiendo que 𝑥 sobre 25 es igual a 18 sobre 150. Halla el valor de 𝑥. En esta pregunta la incógnita está en el numerador. Así que si podemos encontrar una fracción equivalente a 18 sobre 150 que tenga 25 en el denominador, podremos hallar inmediatamente el valor de 𝑥.

Y si nos fijamos cuidadosamente, veremos que seis por 25 es igual a 150. Así que podemos hallar la fracción equivalente de 18 sobre 150 dividiendo la parte superior por seis y la inferior por seis, y, de hecho, 150 dividido por seis es 25 porque ese era el objetivo de hacer esto y 18 dividido por seis es tres, así que tenemos dos fracciones que son iguales. Ambas tienen el mismo denominador. Por lo tanto, 𝑥 debe ser igual a tres.

Otra alternativa para resolver este ejercicio es despejando 𝑥, que es fácil puesto que 𝑥 ya está en el numerador de una fracción. De modo que si multiplicamos ese lado por 25 sobre uno, podremos dividir, cancelamos de forma cruzada aquí, dividimos 25 por veinticinco para obtener uno y dividimos 25 por veinticinco para obtener uno. Y ahora en el lado izquierdo tenemos uno por 𝑥 sobre uno por uno, lo que es simplemente 𝑥.

Pero el problema es que ya no será igual a 18 sobre 150 porque lo que tenemos ahora al lado izquierdo es 25 veces más grande de lo que era. Así que ahora necesitamos hacer lo mismo con el lado derecho: 25 sobre uno multiplicado por todo eso. Y ahora podemos dividir 25 por 25 para obtener uno y 150 por 25 para obtener seis. Por lo tanto 𝑥 es igual a 18 sobre seis. Seis puede ser dividido por seis para obtener uno y 18 puede ser dividido por seis para hacer tres. Así que 𝑥 es igual a tres sobre uno. 𝑥 es igual a tres.

Entonces tenemos dos métodos diferentes y podemos escoger nuestro preferido: podemos hallar las fracciones equivalentes y después solo leer la respuesta o podemos usar un poco de álgebra, despejar 𝑥, y obtener la misma respuesta.

Aquí tenemos ahora una pregunta un poco rebuscada.

Sabiendo que 15 sobre 𝑥 es igual a dos punto cinco sobre siete. Halla el valor de 𝑥. En realidad, no nos gusta tener decimales en fracciones, es por eso que la estamos llamando rebuscada. Sin embargo, podemos aplicar los mismos métodos para resolverla.

Veamos, pues, esta pregunta, dos punto cinco, si duplicamos dos punto cinco obtenemos cinco. Y si luego lo triplicamos obtenemos 15. Así que dos punto cinco por seis es igual a 15. Es decir que multiplicando la parte superior y la parte inferior de esta fracción por seis, recordemos que seis sobre seis es uno, vamos a hallar una fracción equivalente a dos punto cinco sobre siete. Pero la parte superior, el numerador, será 15 en vez de dos punto cinco. Entonces como ya lo hemos dicho antes, dos punto cinco por seis es 15 y siete por seis es 42. Así que esta fracción y esta fracción son equivalentes. Y ahora podemos decir que tenemos los mismos numeradores en ambas fracciones. Por lo tanto, 𝑥 debe ser igual a 42.

Un enfoque alternativo, si no nos gusta trabajar con decimales, puede ser comenzar multiplicando la parte superior y la inferior del lado derecho por dos para hallar una fracción equivalente a dos punto cinco sobre siete, pero que no incluya decimales. Y ahora podemos ver que todo lo que tenemos que hacer es multiplicar por tres para obtener 15. Así que si multiplicamos 14 por tres, obtenemos 𝑥. Por tanto, 𝑥 es igual a 42.

Y veamos otra forma más de hacerlo usando multiplicación cruzada. Si multiplicamos ambos lados por 𝑥 sobre uno, los dos lados seguirán siendo iguales. Hemos hecho lo mismo a ambos lados pero en el lado izquierdo podemos dividir la parte superior por 𝑥 y podemos dividir la parte inferior por 𝑥. Entonces tenemos 15 por uno sobre uno por uno, esto es simplemente 15. Así que 15 es igual a dos punto cinco 𝑥 sobre siete. Ahora si multiplicamos ambos lados por siete. Y puesto que el lado derecho es una fracción, vamos a multiplicarlo por siete sobre uno, la fracción equivalente de siete. Y en el lado izquierdo no es una fracción, así que solo multiplicaremos por siete.

Siete por 15 es 105. Entonces, en el lado derecho, podemos dividir la parte superior por siete y la parte inferior por siete para eliminar esa fracción. Así que esto es solo dos puntos cinco por 𝑥. Y ahora vamos a dividir ambos lados por dos punto cinco para poder cancelar el punto cinco en el lado derecho, lo que nos deja con 𝑥. Tenemos 𝑥 igual a 105 sobre dos punto cinco. Bueno, si no nos sentimos cómodos haciendo esa división, lo que podemos hacer es multiplicar 105 sobre dos punto cinco por uno. Y, por supuesto, multiplicar por uno no lo cambia, pero la versión de uno por la que vamos a multiplicar es dos sobre dos. Y la ventaja de hacer esto es que obtenemos un denominador que ya no es decimal.

Obtenemos 210 sobre cinco. Bueno hay veinte cincos en cien, en 200 habrá 40 cincos. Y cinco cabe en diez dos veces, y eso hace 42. Este fue un poco más largo y complicado que el otro método, y es porque a veces en este método los números no son como te gustaría que fueran. Cuando eso pasa este método no funciona muy bien. Y es que a veces tenemos que usar álgebra completa y reorganizar la ecuación.

Sabiendo que 𝑥 sobre tres es igual a cinco sobre cuatro. Halla el valor de 𝑥. Bueno, en esta pregunta, no hay múltiplos sencillos. Por esta razón, vamos a usar la técnica de multiplicación cruzada. Queremos despejar 𝑥. Así que vamos a multiplicarlo por tres sobre uno. Y, si hacemos esto a un lado, tenemos que hacer lo mismo al otro lado. Y eso es para que sigan equilibrados. En el lado izquierdo, si dividimos el lado inferior por tres, obtenemos uno. Si dividimos la parte superior por tres, obtenemos uno. Tenemos 𝑥 por uno dividido por uno por uno; eso es solo 𝑥. Y en el lado derecho, cinco por tres es quince sobre cuatro. Entonces 𝑥 es igual a 15 sobre cuatro. Y, obviamente, dependiendo de la pregunta, es posible que necesitemos cambiar esto a un número mixto o tal vez a un decimal.

Y aquí tenemos otra pregunta rebuscada. Tenemos una fracción dentro de una fracción. Normalmente no está bien visto hacer esto, pero está en la pregunta.

Completa el número que falta: siete quintos es igual a algo sobre nueve con cuatro quintos. Nuevamente, no hay un múltiplo evidente para crear una fracción equivalente y nunca vimos antes un número mixto en el denominador. Así que primero vamos a simplificarlo, vamos a crear una fracción impropia.

Bueno, nueve con cuatro quintos es nueve más cuatro quintos. Y buscando un común denominador vemos que ese nueve es lo mismo que 45 dividido por cinco. Entonces tenemos 45 quintos más cuatro quintos, que son 49 quintos. Nueve y cuatro quintos es lo mismo que 49 quintos. Por lo tanto, ese es el número que vamos a usar.

Así que tenemos siete sobre cinco igual a algo dividido por 49 sobre cinco. Bueno, ahora se trata de dividir fracciones. Para ello conviene recordar la frase «dividir fracciones es tan fácil como hacer un pastel, voltear el segundo y multiplicar». Esto significa que este lado derecho es equivalente a algo multiplicado por cinco sobre 49. Entonces, simplemente transformamos la división en una multiplicación y para ellos intercambiamos el numerador y el denominador. Así que ahora en el lado derecho podemos cancelar, 49 dividido por 49 es uno y cinco dividido por cinco es uno. Así que acabamos de hallar ese algo. Y en el lado izquierdo cinco por cinco es 25 y 49 por siete es 343. A veces, los números no funcionan muy bien, pero solo tienes que revisarlos.

Y aquí hay una pregunta que usa decimales en fracciones, lo cual es nuevamente un poco rebuscado.

Completa el espacio en blanco: uno punto sobre cero punto seis es igual a algo sobre quince. Vamos directamente a usar la multiplicación cruzada para tratar de resolver esto. Así que multiplicaremos ambos lados por 15 sobre uno para despejar ese pequeño espacio en blanco en el lado derecho. Ahora en el lado derecho cuando dividimos la parte superior e inferior por quince, obtenemos uno sobre uno. Y nos queda justo el espacio en blanco. Y en el lado izquierdo, obtenemos 15 por uno punto uno sobre cero punto seis. Lo que vamos a hacer ahora es hallar una fracción equivalente a uno punto uno sobre cero punto seis que no tenga decimales. Por eso vamos a multiplicar la parte superior e inferior por diez.

Obviamente, multiplicar algo por 10 sobre 10 es multiplicarlo por uno. Así que no vamos a cambiar la magnitud de esto, de este número de aquí. No estamos cambiando el cálculo, sino obteniendo una fracción equivalente que no tenga decimales. Lo que nos dice que espacio en blanco es igual a 15 por 11 sobre seis. Ahora 15 es divisible por tres y seis es divisible por tres. Y quince dividido por tres es cinco y seis dividido por tres es dos. Así que tenemos cinco por 11 sobre dos. Y nuestro espacio en blanco es igual a 55 sobre dos. O dependiendo de la pregunta, podríamos haber dicho que son 27 y medio o 27.5.

Aquí tenemos una pregunta con tres fracciones que son iguales entre sí. Y tenemos que hallar dos incógnitas.

Completa los espacios en blanco 12 sobre siete es igual a sesenta sobre algo es igual a algo más sobre 30 con un tercio. Así que las haremos en parejas. Solo veremos las dos primeras fracciones juntas y luego veremos la primera y la tercera fracciones juntas.

Y mirando el primer par, doce sobre siete es igual a sesenta sobre algo, podemos ver de inmediato que 12 por cinco es igual a sesenta. Y podríamos llegar a una fracción equivalente multiplicando la parte superior e inferior por cinco y averiguar cuál es ese denominador faltante.

Entonces 12 sobre siete multiplicado por cinco en la parte superior e inferior nos da 60 sobre 35. Es decir que 12 sobre siete es lo mismo que 60 sobre 35. Por lo tanto, ese número faltante debe ser 35. Ahora veamos la primera y la tercera fracciones, 12 sobre siete es igual a algo sobre 30 y un tercio.

Bueno, podríamos haber dicho que 60 sobre 35 es igual a algo sobre 30 y un tercio. Pero si hemos cometido algún error en la primera parte de la pregunta, continuaremos con ese error en la segunda parte de la pregunta. Así que probablemente no sea una buena idea. Lo primero que vamos a hacer es convertir 30 con un tercio en una fracción impropia. Y 30 con un tercio es lo mismo que 30 más un tercio. Y 30 es lo mismo que 90 sobre tres. Entonces eso es equivalente a 90 sobre tres más uno sobre tres, que es noventa y uno sobre tres.

Entonces 12 sobre siete es igual a algo sobre 91 sobre tres. Es decir que si multiplicamos ambos lados por 91 sobre tres, el 91 sobre tres se cancela en el lado derecho, dejándonos con el espacio en blanco. Y así tenemos 91 sobre tres por 12 sobre siete en el lado izquierdo. Bueno, podemos cancelar un poco aquí. De modo que 12 y tres son divisibles por tres, y siete y 90 y uno son divisibles por siete porque siete veces trece es 91. Por lo tanto, el espacio en blanco es igual a 13 por cuatro sobre uno por uno. Y esto nos da 52. Así que podemos completar esa respuesta también.

En conclusión, hemos visto diferentes preguntas, bastante difíciles en algunos casos, y algunas técnicas diferentes para abordarlas. En algunos casos, podemos hallar fracciones equivalentes y obtener la respuesta directamente. Y en otros casos, tuvimos que hacer una multiplicación cruzada, un poco de álgebra, algo de reorganización y algunos cálculos bastante complicados para poder resolver nuestros problemas. Se trata, pues, de que sepas elegir las técnicas que más te gusten y aplicarlas a las preguntas de búsqueda de términos desconocidos en una proporción.

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