Lesson Video: Resolución de ecuaciones trigonométricas mediante la identidad del ángulo doble

Video Transcript

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones trigonométricas usando la identidad del ángulo doble. Hallaremos, en grados o radianes, las soluciones de estas ecuaciones en un intervalo especificado. Vamos a ser capaces de simplificar las ecuaciones con las que vamos a trabajar, usando las identidades del ángulo doble o del ángulo mitad. Antes de comenzar, vamos a recordar cómo se resuelven ecuaciones trigonométricas simples usando un sistema de coordenadas y las gráficas de funciones trigonométricas.

Como acabamos de decir, las unidades para expresar las medidas de ángulos son grados y radianes. Recordemos que 180 grados es igual a 𝜋 radianes. Esto significa que 90 grados es igual a 𝜋 partido por dos radianes y que 360 grados es igual a dos 𝜋 radianes. Podemos hallar las soluciones de una ecuación trigonométrica dibujando su gráfica o usando un sistema de coordenadas. Aunque nuestras ecuaciones tienen infinitas soluciones, en este vídeo consideraremos solo las soluciones que se encuentran entre cero y 360 grados o entre cero y dos 𝜋 radianes. Los ángulos son medidos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje positivo de las 𝑥, de esta manera. También podemos sustituir los valores en grados por los valores correspondientes en radianes.

En el primer cuadrante, ponemos A (de All, «Todos» en inglés), significando que los valores de seno de 𝜃, coseno de 𝜃 y tangente de 𝜃 son todos positivos. En el segundo cuadrante, ponemos S, indicando que el valor de seno 𝜃 es positivo, mientras que los valores de coseno 𝜃 y tangente 𝜃 son negativos. En el tercer cuadrante, la tangente de 𝜃 es positiva, mientras que el seno de 𝜃 y el coseno de 𝜃 son negativos. Por lo tanto, esto se cumple cuando 𝜃 se encuentra entre 180 y 270 grados. Por último, cuando 𝜃 se encuentra entre 270 y 360 grados, lo que se conoce como el cuarto cuadrante, el valor de coseno de 𝜃 es positivo, mientras que los valores de seno de 𝜃 y de tangente de 𝜃 son negativos. Vamos a usar esta información para resolver ecuaciones trigonométricas sencillas.

Halla el conjunto de todas las soluciones posibles de coseno 𝜃 igual a un medio, sabiendo que 𝜃 está entre cero y 360 grados inclusive.

Los corchetes aquí significan que 𝜃 debe ser mayor o igual a cero grados y menor o igual a 360 grados. Si tuviéramos paréntesis, entonces 𝜃 sería estrictamente mayor o menor que el valor. Para resolver la ecuación coseno 𝜃 igual a un medio, tomamos la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación. Al hacer esto, obtenemos un valor de 𝜃 igual a 60 grados. Dibujemos un sistema de coordenadas para ver si hay más soluciones y en qué cuadrantes están las soluciones. Como el coseno de 𝜃 es positivo, habrá soluciones en el primer y cuarto cuadrante.

Ya tenemos la solución en el primer cuadrante. Es 60 grados. Seguidamente hallamos la solución en el cuarto cuadrante restando 60 grados a 360 grados. Y obtenemos una respuesta de 300 grados. El conjunto de las soluciones de cos 𝜃 igual a un medio entre cero y 360 grados son 60 grados y 300 grados.

Pasemos ahora a resolver una serie de cuestiones más complicadas usando las identidades del ángulo doble.

Nuestras identidades del ángulo doble son las siguientes. La primera dice que seno de dos 𝜃 es igual a dos seno de 𝜃 coseno de 𝜃. Recuerda que a veces puedes ver las identidades escritas con tres rayas, lo que indica que se cumplen para todos los valores de la variable. Coseno de dos 𝜃 es igual a coseno al cuadrado de 𝜃 menos seno al cuadrado de 𝜃. Usando el hecho de que seno al cuadrado 𝜃 más coseno al cuadrado 𝜃 es igual a uno, cos dos 𝜃 también es igual a dos coseno al cuadrado de 𝜃 menos uno, y uno menos dos seno al cuadrado de 𝜃. Por último, tenemos que la tangente de dos 𝜃 es igual a dos tangente de 𝜃 dividido por uno menos tangente al cuadrado de 𝜃.

En este vídeo no vamos a demostrar estas identidades. Solo vamos a escribirlas para usarlas luego para resolver una serie de ecuaciones. Para resolver el siguiente problema vamos a usar la identidad sen dos 𝜃 igual a dos sen 𝜃 cos 𝜃.

Halla el conjunto de las soluciones posibles de dos sen 𝜃 cos 𝜃 igual a cero, sabiendo que 𝜃 es mayor o igual que cero y menor que 360 grados.

El corchete indica que 𝜃 es mayor o igual que cero grados, mientras que el paréntesis indica que 𝜃 es estrictamente menor que 360 grados. Podemos resolver esta ecuación usando lo que sabemos sobre las identidades del ángulo doble. Sabemos que seno de dos 𝜃 es igual a dos seno de 𝜃 coseno de 𝜃. Esto significa que tenemos que resolver la ecuación seno de dos 𝜃 igual a cero. Tomando la función inversa del seno en ambos lados de esta ecuación, obtenemos que dos 𝜃 es igual a la inversa del seno de cero.

Aunque sabemos que esta ecuación solo tiene una solución, vamos a dibujar las gráficas de seno 𝜃 y seno dos 𝜃 para comprobarlo. Sabemos que seno 𝜃 es una función periódica y nos interesan los valores entre cero y 360 grados. La función tiene un valor máximo de uno y un valor mínimo de menos uno, como se muestra. La gráfica de seno de dos 𝜃 será un alargamiento. La gráfica se alargará en un factor de escala de un medio en la dirección horizontal. Tendrá este aspecto.

La función tiene un valor máximo de uno cuando 𝜃 es 45 grados y un valor mínimo de menos uno cuando 𝜃 es 135 grados. Nos interesan los puntos en los que la gráfica es igual a cero. Hay cinco puntos que cumplen este requisito en nuestra gráfica, en cero, 90, 180, 270 y 360 grados. Pero recordemos que 𝜃 debe ser menor que 360 grados. Así que el último punto no es una solución. Las cuatro soluciones de la ecuación dos seno 𝜃 coseno igual a cero, donde 𝜃 es mayor o igual que cero grados y menor que 360 grados, son cero, 90, 180 y 270 grados.

En el siguiente ejemplo, que contiene coseno de dos 𝜃, vamos a hacer uso de una de las identidades del ángulo doble.

Halla el conjunto solución de 𝑥 sabiendo que coseno de dos 𝑥 más 13 raíz de tres por el coseno de 𝑥 es igual a menos 19, donde 𝑥 existe entre cero y dos 𝜋.

Los paréntesis indican que 𝑥 es estrictamente mayor que cero y menor que dos 𝜋. Esto también indica que debemos dar nuestras soluciones en radianes. Vamos a resolver la ecuación en este rango usando las identidades del ángulo doble.

Una de estas identidades dice que el coseno de dos 𝑥 es igual a dos coseno al cuadrado de 𝑥 menos uno. Así que reescribimos nuestra ecuación de esta forma. Sumamos 19 a ambos lados de la ecuación, y obtenemos que dos coseno al cuadrado de 𝑥 más 13 raíz de tres coseno de 𝑥 más 18 es igual a cero. Haciendo ahora 𝑦 igual a coseno de 𝑥, obtenemos la ecuación dos 𝑦 al cuadrado más 13 raíz de tres 𝑦 más 18 igual a cero.

Ahora tenemos una ecuación cuadrática en la forma 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 igual a cero, que podemos resolver usando la fórmula cuadrática. Los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son dos, 13 raíz de tres y 18, respectivamente. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos dos valores para 𝑦. O bien 𝑦 es igual a menos raíz de tres entre dos, o bien es igual a menos seis raíz de tres. Esto significa que el coseno de 𝑥 debe ser igual a menos raíz de tres entre dos o menos seis raíz de tres.

Como el valor del coseno de 𝑥 debe estar entre menos uno y uno inclusive, la segunda opción no tiene solución. Ahora podemos resolver la ecuación coseno de 𝑥 es igual a menos raíz de tres entre dos dibujando para ello un sistema de coordenadas. Como el coseno de nuestro ángulo es negativo, las soluciones estarán en el segundo y tercer cuadrante. Una de nuestras soluciones estará entre 𝜋 medios y 𝜋 y la segunda entre 𝜋 y tres 𝜋 medios.

Sabemos que el coseno de 30 grados o 𝜋 partido por seis radianes es igual a raíz de tres partido por dos. Esto significa que nuestras dos soluciones serán iguales a 𝜋 menos 𝜋 partido por seis y 𝜋 más 𝜋 partido por seis. Esto nos da dos soluciones: cinco 𝜋 entre seis y siete 𝜋 entre seis. El conjunto solución de la ecuación coseno de dos 𝑥 más 13 raíz de tres coseno de 𝑥 igual a menos 19 son cinco 𝜋 entre seis y siete 𝜋 entre seis.

Antes de resolver la última cuestión, repasemos las identidades del ángulo mitad.

En primer lugar, tenemos que el seno de 𝜃 medios es igual a más o menos la raíz cuadrada de uno menos coseno, todo partido por dos. La segunda identidad es muy parecida. Coseno de 𝜃 medios es igual a más o menos la raíz cuadrada de uno más coseno 𝜃, todo partido por dos. Por último, tenemos que la tangente de 𝜃 medios es igual al seno de 𝜃 partido por uno más coseno de 𝜃. Esto también puede escribirse como uno menos coseno de 𝜃, todo partido por seno de 𝜃. Ahora vamos a resolver una cuestión usando una de estas identidades.

Resuelve tangente de 𝑥 medios igual a seno de 𝑥 sabiendo que 𝑥 es mayor o igual que cero y menor que dos 𝜋 radianes.

El enunciado del problema nos dice que nuestras soluciones deben ser menores que dos 𝜋 y mayores o iguales que cero. Esto significa que podremos resolver las ecuaciones dibujando un sistema de coordenadas o las gráficas de las funciones trigonométricas. Escogemos una de nuestras identidades del ángulo mitad, tangente de 𝑥 medios igual a uno menos coseno 𝑥, todo partido por seno 𝑥. Esto significa que podemos reescribir nuestra ecuación como uno menos coseno 𝑥 partido por seno 𝑥 igual a seno 𝑥

Multiplicando ambos lados de la ecuación por seno 𝑥 obtenemos que uno menos coseno 𝑥 es igual a seno al cuadrado 𝑥. Como seno al cuadrado 𝑥 es igual a uno menos coseno al cuadrado 𝑥, tenemos que uno menos coseno 𝑥 es igual a uno menos coseno al cuadrado 𝑥. Seguidamente sumamos coseno al cuadrado 𝑥 y restamos uno de ambos lados de nuestra ecuación. Esto nos da que coseno al cuadrado de 𝑥 menos coseno de 𝑥 es igual a cero. Si sacamos el factor común coseno 𝑥 obtenemos que coseno 𝑥 multiplicado por coseno 𝑥 menos uno es igual a cero. Esto significa que, o bien, coseno de 𝑥 es igual a cero, o bien, coseno de 𝑥 menos uno es igual a cero. La segunda ecuación puede reescribirse como coseno de 𝑥 igual a uno.

Ahora podemos resolver estas dos ecuaciones usando un sistema de coordenadas o dibujando la gráfica de cos 𝑥. La gráfica de la función coseno entre cero y dos 𝜋 es la siguiente. Teniendo en cuenta que nuestros valores deben ser mayores o iguales que cero y menores que dos 𝜋, vemos que la gráfica es igual a cero cuando 𝑥 es igual a 𝜋 medios y tres 𝜋 medios. coseno de 𝑥 es igual a uno cuando 𝑥 es igual a cero o dos 𝜋. Pero dos 𝜋 no se encuentra en el rango de valores permitidos de 𝑥. Esto significa que nuestra ecuación tiene tres soluciones. La tangente de 𝑥 medios es igual a seno de 𝑥 cuando 𝑥 es igual a cero, 𝜋 medios o tres 𝜋 medios.

Resumamos los puntos clave que hemos visto en este vídeo. En esta lección hemos aprendido que podemos resolver ecuaciones trigonométricas usando las identidades del ángulo doble. Hemos visto también que podemos usar las identidades del ángulo mitad para resolver ecuaciones trigonométricas. En ambos casos, normalmente se nos dará un intervalo de valores entre cero y 360 grados, o entre cero y dos 𝜋 radianes. Y, por último, hemos aprendido que podemos ayudarnos a resolver estas ecuaciones dibujando un sistema de coordenadas o las gráficas de las funciones trigonométricas.