Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo usar el conjugado de un número complejo para evaluar expresiones. Vamos a comenzar por definir lo que es el conjugado de un número complejo, antes de considerar sus propiedades y cómo podemos usarlas para ayudarnos a resolver ecuaciones que contienen números complejos. A lo largo de este video vamos a derivar resultados generales que pueden usarse en problemas de números complejos más complicados.
Todo número complejo tiene otro número complejo asociado a él, conocido como su conjugado. La definición de la palabra «conjugado» es algo que tiene características en común pero opuestas o inversas en algún particular. Fuera de las matemáticas, puede significar yuxtaponer o unir, lo que indica que un número complejo y su conjugado tienen una relación especial. Veamos la definición. Para un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, su conjugado, denotado por 𝑧 barra o 𝑧 asterisco, es 𝑎 menos 𝑏𝑖. En términos simples, el conjugado de un número complejo se encuentra cambiando el signo de la parte imaginaria del número.
Por ejemplo, para un número complejo dado como tres más dos 𝑖, vamos a tener un complejo conjugado de tres menos dos 𝑖. De forma similar, el número complejo cuatro menos seis 𝑖, tendrá un conjugado de cuatro más seis 𝑖. Y, de hecho, el complejo conjugado del conjugado es cuatro menos seis 𝑖. Y vemos que podemos generalizar esto y decir que el complejo conjugado del conjugado es simplemente el número original. Es 𝑧.
¿Y qué hay de un número real puro? ¿Tiene un conjugado? Sí. De hecho, podemos decir que un número real es de la forma 𝑎. Y se trata, por supuesto, de un número complejo. Pero es uno de la forma 𝑎 más cero 𝑖. Su parte imaginaria es cero. Ya que cambiamos el signo de la parte imaginaria para hallar el conjugado, El conjugado de este número será 𝑎 menos cero 𝑖. Pero obviamente, esto aún es 𝑎. Así que el conjugado de un número real es simplemente ese mismo número. Otras cualidades de hallar el conjugado es que esta operación se comporta muy bien con respecto a otras operaciones con números complejos. Se comporta muy bien, por ejemplo, con respecto a la suma y a la multiplicación. Y ahora vamos a ver cómo es todo esto.
Si 𝑠 es igual a ocho más dos 𝑖, ¿cuánto es 𝑠 más 𝑠 asterisco?
Recordemos que 𝑠 asterisco es el conjugado del número complejo 𝑠, dado como ocho más dos 𝑖. Sabemos que el conjugado del número complejo 𝑧, dado por 𝑎 más 𝑏𝑖, es 𝑧 asterisco igual a 𝑎 menos 𝑏𝑖. Nuestro número complejo tiene una parte real de ocho y una parte imaginaria de dos. Esto significa que su conjugado es ocho menos dos 𝑖. Y esto también significa que la suma de los dos números es ocho más dos 𝑖 más ocho menos dos 𝑖. Y realizamos la suma de las partes reales separadamente de las partes imaginarias, que es lo que solemos hacer al reducir términos semejantes. Ocho más ocho es 16. Y dos 𝑖 menos dos 𝑖 es cero. Y vemos que 𝑠 más 𝑠 asterisco es 16.
Nótese, por lo tanto, que la suma de un número complejo y su conjugado es un número real. Y esto tiene mucho sentido si consideramos la forma general. 𝑧 más 𝑧 asterisco es 𝑎 más 𝑏𝑖 más 𝑎 menos 𝑏𝑖. 𝑏𝑖 menos 𝑏 𝑖 es cero. Y por consiguiente vemos que la suma de un número complejo y su conjugado es simplemente dos 𝑎. Que es lo mismo que decir que la suma de un número complejo y su conjugado es dos veces la parte real de ese número.
Asimismo, la diferencia es 𝑎 más 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. Desarrollamos el segundo paréntesis multiplicando cada parte por menos uno. Y obtenemos 𝑎 más 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖. Esta vez, 𝑎 menos 𝑎 es cero, y obtenemos dos 𝑏𝑖. Por lo tanto, podemos decir que la diferencia entre un número complejo y su conjugado es dos 𝑖 multiplicado por la parte imaginaria de ese número complejo.
Vamos a ver un ejemplo detallado que incluye la suma y la resta de un número complejo y su conjugado.
Halla el número complejo 𝑧 el cual satisfice las siguientes ecuaciones. 𝑧 más 𝑧 asterisco igual a menos cinco. 𝑧 asterisco menos 𝑧 igual a tres 𝑖.
Recordemos que 𝑧 asterisco representa el conjugado del número complejo 𝑧. 𝑧 será de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Y 𝑧 asterisco será de la forma 𝑎 menos 𝑏𝑖. Hemos cambiado el signo de la parte imaginaria. La primera ecuación nos da la suma de estos dos números. Podemos crear una expresión para su suma usando la forma general del número complejo. Es 𝑎 más 𝑏𝑖 más 𝑎 menos 𝑏𝑖. Esto simplifica a dos 𝑎 o dos multiplicado por la parte real de 𝑧.
De hecho, sabemos que la suma de estos números es menos cinco. Así que podemos decir que menos cinco es igual a dos multiplicado por la parte real de 𝑧. Lo resolvemos dividiendo por dos. Y vemos que la parte real de 𝑧 es igual a menos cinco sobre dos.
La segunda ecuación nos dice la diferencia de estos dos números. Es 𝑎 menos 𝑏𝑖 menos 𝑎 más 𝑏𝑖. Desarrollamos el segundo paréntesis multiplicando cada término por menos uno. Obtenemos 𝑎 menos 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖, que es igual a menos dos 𝑏𝑖. Esto es igual a menos dos 𝑖 multiplicado por la parte imaginaria de 𝑧. Y por supuesto, sabemos que esto es igual a tres 𝑖. Vemos que tres 𝑖 es igual a menos dos 𝑖 multiplicado por la parte imaginaria de 𝑧. Para resolver esta ecuación, dividimos por menos dos 𝑖. Y como 𝑖 dividido por 𝑖 es uno, vemos que la parte imaginaria de 𝑧 es menos tres sobre dos.
Es útil detectar que, alternativamente, podríamos haber multiplicado por menos uno. Eso nos hubiera dado 𝑧 menos 𝑧 asterisco igual a menos tres 𝑖. Pero esto habría resultado en la misma solución. Por tanto, sabemos que el número complejo 𝑧, que satisface las dos ecuaciones dadas, tiene una parte real de menos cinco sobre dos y una parte imaginaria de menos tres sobre dos. Así que la solución es menos cinco sobre dos menos tres sobre dos 𝑖.
Con esto nos damos cuenta de por qué conocer el resultado de la suma y la resta de un número complejo y su conjugado puede ahorrarnos mucho tiempo. A continuación, vamos a considerar el producto de un número complejo y su conjugado.
Halla el complejo conjugado de uno más 𝑖 y el producto de este número con su conjugado.
Recordemos que el complejo conjugado se halla cambiando el signo de la parte imaginaria del número complejo. Esto quiere decir que el conjugado de uno más 𝑖 es uno menos 𝑖. Y queremos hallar el producto de uno más 𝑖 y uno menos 𝑖. Hallamos el producto de estos dos números tal y como haríamos con dos binomios cualesquiera.
El método PEIÚ puede ser una buena forma para resolver esto. P significa primero. Multiplicamos el primer término en el primer paréntesis por el primer término en el segundo paréntesis. Uno multiplicado por uno es uno. E representa externo. Multiplicamos los dos términos externos. Uno multiplicado por menos 𝑖 es menos 𝑖. I representa interno. Multiplicamos los términos internos. 𝑖 multiplicado por uno es 𝑖. Y finalmente, Ú representa el último. Multiplicamos el último término en cada paréntesis. 𝑖 multiplicado por menos 𝑖 es menos 𝑖 al cuadrado. Naturalmente, 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno. Y dado que menos 𝑖 más 𝑖 es cero, esto se convierte en uno menos menos uno, que es igual a dos. Y el producto de este número por su complejo conjugado es dos.
Podemos generalizar este resultado. Y vamos a ver enseguida que existen bastantes aplicaciones para el complejo conjugado.
Sea 𝑎 más 𝑏𝑖 un número complejo cuyo conjugado es 𝑎 menos 𝑏𝑖. Su producto es 𝑎 más 𝑏𝑖 multiplicado por 𝑎 menos 𝑏𝑖. Si desarrollamos estos paréntesis como antes, obtenemos 𝑎 al cuadrado menos 𝑎𝑏𝑖 más 𝑎𝑏𝑖 menos 𝑏 al cuadrado 𝑖 al cuadrado. Y, por supuesto, menos 𝑎𝑏𝑖 más 𝑎𝑏𝑖 es cero. Y notamos que esto es como la diferencia de dos cuadrados. Reemplazamos 𝑖 al cuadrado por menos uno. Y vemos que el producto de este número complejo con su conjugado es 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Es decir, 𝑧 multiplicado por 𝑧 asterisco es 𝑎 al cuadrado más 𝑏 al cuadrado. Para nuestros dos últimos ejemplos, vamos a considerar algunas preguntas más complicadas que incluyen sumas y productos de números complejos y sus conjugados.
Considera 𝑧 igual a cinco menos 𝑖 raíz de tres y 𝑤 igual a raíz de dos más 𝑖 raíz de cinco. Primero, calcula 𝑧 asterisco y 𝑤 asterisco. Segundo, halla 𝑧 asterisco más 𝑤 asterisco y 𝑧 más 𝑤 asterisco. Tercero, halla 𝑧 asterisco 𝑤 asterisco y 𝑧𝑤 asterisco.
En esta pregunta, nos han dado dos números complejos. Y necesitamos hallar sus conjugados. Recordemos que para hallar el conjugado de un número complejo, cambiamos el signo de su parte imaginaria. Esto significa que el conjugado complejo de cinco menos 𝑖 raíz de tres es cinco más 𝑖 raíz de tres. No te preocupes porque 𝑖 está delante de la raíz de tres aquí. Sí, esa no es la forma general. Pero es la mejor forma de escribirlo cuando se trata de raíces.
Si, en cambio, optáramos por escribir raíz de tres multiplicado por 𝑖, podría parecer un poco como si estuviéramos hallando la raíz cuadrada de tres 𝑖 en lugar de la raíz cuadrada de tres multiplicado por 𝑖. A continuación, vamos a ver que, dado que 𝑤 es raíz de dos más 𝑖 raíz de cinco, su conjugado es raíz de dos menos 𝑖 raíz de cinco.
Para la segunda parte, necesitamos calcular dos números. Necesitamos hallar la suma de los conjugados. Y necesitamos hallar el conjugado de la suma de los números complejos originales. Comencemos por la suma de sus conjugados. Esto es cinco más 𝑖 raíz de tres más raíz de dos menos 𝑖 raíz de cinco. Podemos encontrar su suma agrupando términos similares. Y al hacer esto, vemos que 𝑧 asterisco más 𝑤 asterisco es cinco más raíz de dos más 𝑖 multiplicado por raíz de tres menos raíz de cinco. Y también podemos calcular 𝑧 más 𝑤 asterisco.
Esta vez, sumamos 𝑧 y 𝑤 antes de hallar el conjugado. Esto es el conjugado de cinco menos 𝑖 raíz de tres más raíz de dos más 𝑖 raíz de cinco. Nuevamente, hacemos esto sumando las partes reales y después las partes imaginarias. Obtenemos cinco más raíz de dos menos 𝑖 multiplicado por menos raíz de tres más raíz de cinco. Cambiamos el signo de la parte imaginaria para hallar el conjugado. Y obtenemos cinco más raíz de dos menos 𝑖 multiplicado por menos raíz de tres más raíz de cinco. Y en realidad, si simplificamos la parte imaginaria, obtenemos que es igual a cinco más raíz de dos más 𝑖 multiplicado por raíz de tres menos raíz de cinco. Notamos, pues, que 𝑧 asterisco más 𝑤 asterisco es, de hecho, lo mismo que 𝑧 más 𝑤 asterisco.
Para esta tercera parte, necesitamos hallar el producto de los conjugados de 𝑧 y 𝑤. Esto es cinco más 𝑖 raíz de tres multiplicado por raíz de dos menos 𝑖 raíz de cinco. Multiplicamos el primer término en cada paréntesis y obtenemos cinco raíz de dos. Multiplicamos los términos externos, y obtenemos menos cinco 𝑖 raíz de cinco. Multiplicamos los términos internos, esto es 𝑖 raíz de tres multiplicado por raíz de dos, y obtenemos 𝑖 raíz de seis. Y multiplicar los últimos términos nos da 𝑖 raíz de tres multiplicado por 𝑖 raíz de cinco, que es igual a menos 𝑖 al cuadrado multiplicado por raíz de 15. Y como 𝑖 al cuadrado es igual a menos uno, este último término se convierte en más raíz de 15. Agrupando términos semejantes, vemos que el producto del conjugado de 𝑧 y 𝑤 es cinco raíz dos más raíz de 15 más 𝑖 multiplicado por raíz de seis menos cinco raíz de cinco.
A continuación, hallamos el producto de 𝑧 y 𝑤 y después hallamos su conjugado. Esta vez, su producto es cinco menos 𝑖 raíz de tres multiplicado por raíz de dos más 𝑖 raíz de cinco. Al desarrollar estos paréntesis obtenemos cinco raíz de dos más raíz de 15 menos 𝑖 multiplicado por la raíz de seis menos cinco raíz de cinco. Y se deduce que el conjugado de este número es cinco raíz de dos más raíz de 15 más 𝑖 multiplicado por la raíz de seis menos cinco raíz de cinco, una vez más.
Hemos visto en este ejemplo que, para los números complejos 𝑧 y 𝑤, la suma de sus conjugados es igual al conjugado de su suma. Y también hemos visto que el producto de sus conjugados es igual al conjugado de su producto. Y esto, de hecho, es una regla general, que se aplica a todos los números complejos.
Resuelve dos 𝑧 menos 𝑧 barra igual a cinco en ℂ.
Aquí tenemos un número complejo. Y podemos decir que ese número habrá de ser de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales. Y 𝑧 barra es su conjugado. Eso es 𝑎 menos 𝑏𝑖. Y ℂ se usa para denotar el conjunto de los números complejos. Sustituyamos 𝑧 y 𝑧 barra en nuestra ecuación.
Cuando lo hacemos, vemos que dos multiplicado por 𝑎 más 𝑏𝑖 menos 𝑎 menos 𝑏𝑖 es igual a cinco. Luego, desarrollamos los paréntesis multiplicando la parte real y la imaginaria por el número en el exterior. Para el primer paréntesis, es dos multiplicado por 𝑎 y dos multiplicado por 𝑏𝑖. Y para el segundo paréntesis, es menos uno multiplicado por 𝑎 más menos uno multiplicado por menos 𝑏𝑖. Por lo tanto, obtenemos dos 𝑎 más dos 𝑏𝑖 menos 𝑎 más 𝑏𝑖 igual a cinco. Y, por supuesto, podemos agrupar términos similares. Y vemos que 𝑎 más tres 𝑏𝑖 es igual a cinco.
Ahora, este número es real puro. Lo que equivale a decir que es un número complejo cuya parte imaginaria es cero. Y una vez que hemos identificado eso, podemos igualar las partes reales y las imaginarias. Vemos que 𝑎 debe ser igual a cinco. Y tres 𝑏 debe ser igual a cero. De hecho, si tres 𝑏 es igual a cero, 𝑏 también debe ser igual a cero. Estamos resolviendo para 𝑧. Y hemos establecido que 𝑎: su parte real es igual a cinco. Y 𝑏: su parte imaginaria es igual a cero. Así que podríamos decir que 𝑧 es igual a cinco más cero 𝑖, aunque no necesitamos escribir la parte imaginaria. Por lo que decimos que 𝑧 es simplemente igual a cinco.
En este video hemos aprendido que un número complejo de la forma 𝑎 más 𝑏𝑖 tiene un complejo conjugado 𝑎 menos 𝑏𝑖. Y este se suele representar como 𝑧 asterisco o a veces como 𝑧 barra. También hemos visto que, para dos números complejos 𝑧 uno y 𝑧 dos, existe un conjunto de reglas que se refieren a los números complejos y sus conjugados. Y, finalmente, hemos aprendido que un número complejo es igual a su conjugado si y solo si su parte imaginaria es cero, en otras palabras, si es un número real.
