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Vídeo de la lección: Conjuntos y diagramas de Venn Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo representar conjuntos mediante diagramas de Venn.

17:57

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo representar conjuntos mediante diagramas de Venn. Vamos a comenzar repasando la notación de conjuntos y viendo cómo son los diagramas de Venn. La notación de conjuntos que se usa en matemáticas sirve para números, resultados, objetos…, cualquier cosa. Para esto usamos llaves. Lo que haya entre las llaves serán los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números pares de un solo dígito puede escribirse como 𝐸 igual a dos, cuatro, seis y ocho. Estos elementos —los números dos, cuatro, seis y ocho— pueden ser escritos en cualquier orden. Podemos usar cualquier letra mayúscula para nombrar el conjunto. En este caso, hemos usado la letra 𝐸.

Veamos ahora cómo es un diagrama de Venn. Los diagramas de Venn son estructuras muy útiles formadas por círculos que a veces se superponen. Si bien se usan en diferentes áreas de las matemáticas, son más útiles y habituales en el trabajo con conjuntos y probabilidades. En este video, nos enfocaremos en cuestiones que incluyen conjuntos.

Consideremos el siguiente diagrama de Venn, en el que tenemos el círculo 𝑋 dentro del rectángulo 𝑍. Como los cinco números están dentro del rectángulo, podemos decir que el conjunto 𝑍 está formado por los números uno, dos, tres, cuatro y cinco. El conjunto 𝑋 está formado por todos los números dentro del círculo, en este caso, dos, tres y cinco. De hecho, estos son todos los números primos entre uno y cinco. Los diagramas de Venn son generalmente usados para representar problemas prácticos o de la vida real como este. Si bien no vamos a analizar problemas de este tipo en este video, el conjunto 𝑋 prima está formado por los números uno y cuatro. 𝑋 prima está formado por todos los números que no están en el conjunto 𝑋. Y como uno y cuatro están fuera del círculo 𝑋, están en el conjunto 𝑋 prima. Este es, pues, el conjunto de los números entre uno y cinco que no son números primos.

Veamos ahora lo que sucede cuando tenemos círculos superpuestos. En este ejemplo, tenemos dos círculos, 𝑋 y 𝑌, dentro del rectángulo 𝑍. Una vez más, 𝑍 es el conjunto de todos los números en el diagrama de Venn, en este caso, los enteros o números enteros del uno al nueve. El conjunto 𝑋 contiene los números dos, cuatro, seis y ocho. Estos son todos los números dentro del círculo 𝑋, y se trata de los múltiplos de dos, o sea, de los números pares. Los números que forman el conjunto 𝑌 son tres, seis y nueve. Estos son los múltiplos de tres.

Vemos que el número seis aparece tanto en el conjunto 𝑋 como en el conjunto 𝑌. Esto se debe a que el seis está en la intersección de los círculos 𝑋 y 𝑌. Representamos la intersección con un símbolo parecido a una n minúscula. El conjunto de los números en la intersección de 𝑋 y 𝑌 está formado, por tanto, por el número seis. En este caso particular, esto se debe a que seis es el único número entre uno y nueve que es múltiplo de dos y múltiplo de tres. A continuación, vamos a ver algunas cuestiones específicas que involucran conjuntos en diagramas de Venn.

Escribe por extensión el conjunto 𝑌.

Expresar por extensión un conjunto significa escribir entre llaves todos los números que forman el conjunto. En este caso, estamos considerando el conjunto 𝑌. Los números del conjunto 𝑌, conocidos como elementos, han de ser escritos entre llaves. En este caso, tenemos seis números. En orden ascendente, estos son uno, tres, cuatro, seis, siete y ocho. Sin embargo, al escribir un conjunto por extensión, el orden no importa. Por ejemplo, 𝑌 es igual al conjunto de números ocho, uno, tres, seis, cuatro y siete. Cualquier ordenación que contenga estos seis elementos o números es correcta.

Nuestra siguiente cuestión se refiere a un diagrama de Venn con dos círculos.

Escribe por extensión el conjunto 𝑋.

En esta cuestión, tenemos dos círculos que se intersecan, el círculo 𝑋 y el círculo 𝑌. Por tanto, podríamos escribir el conjunto de elementos o números en el círculo 𝑋 y el conjunto de números en el círculo 𝑌. En esta pregunta, estamos interesados solo en 𝑋. Nos piden que escribamos entre llaves los números contenidos en este conjunto. Hay cinco números en total contenidos en el conjunto 𝑥. Los números nueve, seis y tres están solo en el conjunto 𝑋. Los números ocho y cinco están en la intersección. Es decir, están tanto en el conjunto 𝑋 como en el conjunto 𝑌. El conjunto 𝑋 está formado, por lo tanto, por los números nueve, seis, tres, ocho y cinco.

Estos números pueden escribirse en cualquier orden. Sin embargo, es útil escribirlos en orden ascendente o descendente, por ejemplo, tres, cinco, seis, ocho y nueve. Aunque no nos piden resolver este caso, el conjunto 𝑌 contiene los números uno, cinco, siete y ocho. Uno y siete solo aparecen en el conjunto 𝑌. Y, como ya hemos dicho, ocho y cinco están en la intersección. Esto es la superposición de los círculos.

En nuestra siguiente cuestión nos piden identificar el diagrama de Venn que representa dos conjuntos correctamente.

Si 𝑋 es el conjunto de números siete, tres, nueve, uno y 𝑌 es el conjunto de números nueve, siete, dos, ¿qué diagrama de Venn representa correctamente estos dos conjuntos?

En esta cuestión, podemos comenzar comparando cada uno de nuestros diagramas de Venn con el listado entre llaves del conjunto 𝑋 y del conjunto 𝑌. Sin embargo, esto a menudo no es suficiente. En (A), (B) y (C), los números uno, tres, siete y nueve forman el conjunto 𝑋. Esto es fácil de ver puesto que estos cuatro números están dentro del círculo 𝑋. Del mismo modo, el círculo 𝑌 en las tres opciones está formado por los números dos, siete y nueve. Las tres opciones satisfacen, pues, estas dos condiciones. La palabra clave en esta cuestión es la palabra «y».

De modo que debemos enfocarnos en la intersección o superposición de los dos círculos, denotada por 𝑋 n 𝑌. El símbolo en minúscula que se parece un poco a una n significa intersección. Los números siete y nueve aparecen en ambos conjuntos. Están en el conjunto 𝑋 y en el conjunto 𝑌. Esto significa que estos números deben aparecer en la intersección en nuestro diagrama de Venn. En la opción (B), no hay intersección entre los dos círculos. Por tanto, esta no puede ser la respuesta correcta. En la opción (C), el único número que aparece en la intersección del círculo 𝑋 y del círculo 𝑌 es siete, así que esto también es incorrecto. En la opción (A), vemos que siete y nueve aparecen ambos en la intersección.

La respuesta correcta es, por lo tanto, la opción (A) ya que los números siete, tres, nueve y uno están en el conjunto 𝑋, nueve, siete y dos están en el conjunto 𝑌, y el número siete y nueve aparecen en la intersección. Podemos descartar la opción (D) porque el conjunto 𝑋 contiene los números uno, dos, tres, siete y nueve. Y el conjunto 𝑌 contiene siete y nueve solamente. Y aunque siete y nueve están en la intersección de ambos conjuntos, los conjuntos individuales son incorrectos.

La siguiente es una cuestión en la que un conjunto es un subconjunto de otro.

Fíjate en el diagrama de Venn a continuación y expresa por extensión el conjunto 𝑋.

En este diagrama, tenemos un círculo 𝑌 dentro de un círculo 𝑋, que a su vez está dentro de un cuadrado 𝑍. Como el círculo 𝑌 está contenido completamente dentro del círculo 𝑋, decimos que 𝑌 es un subconjunto de 𝑋. Esto significa que todos los elementos del conjunto 𝑌 están en el conjunto 𝑋. El conjunto 𝑌 se puede escribir usando llaves como se muestra. Contiene los números, o elementos, tres, cinco y seis. Estos números pueden ser escritos en cualquier orden. En esta pregunta, nos interesan los elementos del conjunto 𝑋.

Como 𝑌 es un subconjunto de 𝑋, 𝑋 debe incluir todos los números del conjunto 𝑌, tres, cinco y seis. También tenemos los números extra uno y nueve que están dentro del círculo 𝑋 pero no en el círculo 𝑌. Los elementos del conjunto 𝑋 son, por lo tanto, tres, cinco, seis, uno y nueve. Y, como ya hemos dicho, pueden ser escritos en cualquier orden. A pesar de que no nos lo pidan, también podemos escribir el conjunto 𝑍. Este contendrá todos los elementos dentro de 𝑋, tres, cinco, seis, uno y nueve junto con el número dos, que está fuera del conjunto 𝑋, pero dentro del conjunto 𝑍.

Nuestra cuestión final nos pide que identifiquemos el diagrama de Venn que representa tres conjuntos correctamente.

Si 𝑋 es igual al conjunto de los números seis, cero, tres, siete, ocho; 𝑌 es igual al conjunto de los números ocho, tres, cinco, dos; y 𝑍 es igual a ocho, cero, uno, cuatro, cinco, ¿qué diagrama de Venn representa correctamente estos tres conjuntos?

Podemos comenzar por el conjunto 𝑋 y ver cuál de nuestros diagramas contiene los números seis, cero, tres, siete y ocho. Desafortunadamente, esto por sí solo no es suficiente, porque las cuatro opciones tienen estos cinco números. El conjunto 𝑌 contiene los números ocho, tres, cinco y dos. Una vez más, los cuatro círculos contienen estos cuatro números. Sabemos que el conjunto 𝑍 contiene los números ocho, cero, uno, cuatro y cinco. Las opciones (A), (C) y (D) contienen estos cinco números en el círculo 𝑍. Esto significa que solo podemos eliminar la opción (B) usando este punto de inicio.

En cuestiones como esta, es muy importante fijarse bien en las intersecciones o superposiciones entre los círculos. La notación de intersección es tal como se muestra aquí. Consideremos primero los números que aparecen en el conjunto 𝑋, en el conjunto 𝑌 y en el conjunto 𝑍. El único número que aparece en los tres conjuntos es ocho. Esto significa que debemos tener un ocho en la intersección de los tres círculos. Las opciones (A), (C) y (D) satisfacen esta condición. Veamos ahora qué números aparecen en el conjunto 𝑋 y 𝑌, 𝑋 y 𝑍, y 𝑌 y 𝑍. El único número aparte del ocho que aparece en el conjunto 𝑋 y el conjunto 𝑌 es tres. Lo que significa que el conjunto de números en la intersección 𝑋 y 𝑌 es ocho y tres. El número tres debe aparecer en la superposición entre el conjunto 𝑋 y el conjunto 𝑌.

En las opciones (C) y (D), esto es cierto. Sin embargo, en el conjunto (A) no hay ningún número en esta intersección, por lo que podemos descartar esta opción. El número cero está en el conjunto 𝑋 y en el conjunto 𝑍. Por lo que la intersección de 𝑋 y 𝑍 contiene ocho y cero. Debemos tener un cero en la superposición entre 𝑋 y 𝑍. Esto aplica para la opción (C), pero no para la opción (D) ya que no hay ningún número en la intersección entre 𝑋 y 𝑍 solamente. Concluimos que la opción (C) debe ser la respuesta correcta.

Vamos a comprobar esto considerando la intersección de 𝑌 y 𝑍. El número cinco aparece en el conjunto 𝑌 y el conjunto 𝑍. También aparece en el diagrama de Venn en la intersección de estos dos círculos. La intersección del conjunto 𝑌 y el conjunto 𝑍 debe contener los números ocho y cinco, lo cual es correcto. El diagrama de Venn que representa los tres conjuntos dados es la opción (C). En este tipo de cuestiones, la parte más importante es mirar la intersección de los diferentes conjuntos.

Para concluir, vamos a resumir los puntos clave de este video. Hemos visto que un conjunto de números se puede escribir como se muestra aquí. Usamos letras mayúsculas para nombrar conjuntos. Usamos llaves en ambos extremos. Los números dentro de las llaves se conocen como los elementos del conjunto. También hemos visto que podemos usar diagramas de Venn para representar conjuntos. Podemos representar con un diagrama de Venn un conjunto o conjuntos expresados con llaves, y viceversa.

En el diagrama que se muestra, tenemos los conjuntos 𝑋, 𝑌 y 𝑍. El conjunto 𝑋 contiene los números tres y uno. Estos se pueden escribir en cualquier orden. El conjunto 𝑌 contiene los elementos o números dos, cuatro y uno. Todos los números tres, uno, cuatro y dos, junto con el número siete, están en el conjunto 𝑍. Esto significa que el conjunto 𝑋 y el conjunto 𝑌 son subconjuntos del conjunto 𝑍. Todos sus elementos están contenidos en el conjunto 𝑍.

También hemos visto la importancia de la intersección o superposición de nuestros dos conjuntos. En este ejemplo, el número uno está en el conjunto 𝑋 y en el conjunto 𝑌. Esto significa que debe aparecer en la superposición de los dos círculos. El conjunto intersección de 𝑋 y 𝑌 está formado por el número uno. Los tipos de cuestiones que hemos visto en este video pueden ayudarnos a resolver problemas de probabilidades.

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