Vídeo: Determinar la probabilidad geométrica

Tres de los puntos señalados se eligen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos elegidos sean colineales?

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Transcripción del vídeo

Tres de los puntos señalados se eligen al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los puntos elegidos sean colineales?

Bueno, vamos a pensar primero en lo que significa colineal. Significa que los puntos se encuentran en una línea recta. Así que tenemos cinco puntos de entre los que elegir. Vamos a elegir tres de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esos tres puntos se encuentren en una línea recta?

Ahora, fijándonos en esos cinco puntos, vemos que los únicos tres puntos que se encuentran en la misma línea recta son 𝐹, 𝐺 y 𝐻. No importa si elegimos primero 𝐻 luego 𝐺 y luego 𝐹 o 𝐹 luego 𝐺 y luego 𝐻 o cualquier otro orden de esos tres puntos, pero esos son los tres puntos que debemos escoger para tener puntos colineales.

Así que tenemos cinco puntos distintos de entre los que elegir, y tenemos que elegir tres de ellos. Por lo que vamos a utilizar nuestra fórmula de 𝑛 sobre 𝑟 donde 𝑛, el número de puntos diferentes, es cinco y 𝑟, el número de los que tenemos que elegir, es tres.

Hay muchas maneras distintas de escribir la fórmula que nos ocupa, por lo que elegimos la que nos es más familiar. Pero todas se reducen a este cálculo: 𝑛 factorial sobre 𝑟 factorial por 𝑛 menos 𝑟 factorial. Por lo que, si ponemos nuestros números, 𝑛 es cinco y 𝑟 es tres, obtenemos cinco factorial sobre tres factorial por cinco menos tres factorial. Bueno, cinco menos tres es dos.

Así que esto se simplifica a cinco factorial sobre tres factorial dos factorial. Y por supuesto cinco factorial significa cinco por cuatro por tres por dos por uno; tres factorial significa tres por dos por uno; y dos factorial es dos por uno, ahora podemos cancelar. Se cancelan el tres, el dos y el uno. Por lo que tenemos cinco por cuatro sobre dos por uno, que es igual a 20 sobre dos, o sea, 10.

Tenemos, pues, 10 maneras de elegir tres puntos diferentes de entre cinco puntos diferentes. Pero solo una de ellas incluye las letras 𝐻, 𝐺 y 𝐹, que son las tres que nos interesan.

Así que de entre las 10 maneras distintas que tenemos de seleccionar tres letras de entre cinco, solo una de ellas es la del grupo 𝐹, 𝐺, 𝐻. Esto significa que solo uno de los 10 resultados posibles resulta en que los puntos elegidos sean colineales, por lo que la respuesta es que la probabilidad de que sean colineales es uno sobre 10, una décima.

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