Vídeo: Expresar un conjunto por extensión

En este video, vamos a ver cómo expresar un conjunto por extensión.

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Transcripción del vídeo

En esta lección, vamos a ver cómo expresar un conjunto por extensión o por enumeración. Esto significa enumerar «cosas» que pertenecen, de alguna forma, a un mismo grupo. Y a cada una de estas «cosas» se la llama «elemento». Y, aunque a veces a estas «cosas» les digamos «valores», debemos verdaderamente llamarlos «elementos» porque no tienen que ser necesariamente números, por ejemplo, el conjunto de las vocales a, e, i, o, u. Pero también podemos tener conjuntos de números, como el conjunto de los números impares, que es uno, tres, cinco, etcétera. Y ahora sabemos un poco más sobre cómo expresar un conjunto.

A continuación, vamos a ver algunas cuestiones que nos muestran ejemplos de cómo expresar por extensión conjuntos particulares. Estamos listos. Veamos la primera pregunta.

Expresa por extensión o por enumeración el conjunto de los días de la semana.

Lo que «por extensión o por enumeración» nos dice es que tenemos que hacer una lista con todos y cada uno de los elementos del conjunto con el que estamos trabajando. Es importante recordar la terminología correcta. Si nos estamos refiriendo a las cosas que forman nuestro conjunto, cada una estas cosas es un «elemento». Y podemos decir que sabemos que nuestro conjunto tendrá siete elementos porque, si estamos hablando de los días de la semana, sabemos que la semana tiene siete días. Y como vamos a expresar un conjunto, usamos es un tipo especial de notación para dejar claro que se trata de un conjunto. Y parte de esa notación son unos paréntesis especiales que se llaman «llaves». Ponemos una llave al principio de nuestra lista y otra llave al final.

Nuestro primer elemento es sábado. Podemos empezar con cualquier elemento. Así que si empezamos por el sábado, después vendrán domingo, lunes, martes. Luego miércoles, jueves y finalmente viernes. Y verificamos rápidamente que tenemos los siete elementos que esperábamos. Por lo tanto, podemos decir que el conjunto de los días de la semana es sábado, domingo, lunes, martes, miércoles, jueves y viernes.

Ahora bien. Hemos expresado el conjunto y hemos visto cómo hacerlo usando el método por extensión o por enumeración. Y hemos aprendido algo de notación con nuestras llaves. Y también hemos dicho que un elemento es cada una de las «cosas» en nuestro conjunto. A continuación, vamos a ver un ejemplo de cómo se pueden expresar conjuntos de valores numéricos.

𝑌 es el conjunto de los dígitos en el número 90.590. Escribe 𝑌 usando el método por extensión.

Lo primero que tenemos que hacer en esta pregunta para poder escribir 𝑌 usando el método por extensión, es identificar los dígitos en nuestro número. Para comenzar, vemos que el dígito nueve aparece dos veces. Después tenemos el cero, que también aparece dos veces, y finalmente el dígito cinco. Vamos a enumerar estos dígitos, y puesto que esto es un conjunto de números, que es 𝑌, solo necesitamos escribir cada dígito una vez. Por lo tanto, el conjunto 𝑌 es igual a nueve, cinco y cero. Y cabe señalar que un error común es escribir todos los dígitos que tenemos, por ejemplo, dos nueves, dos ceros y un cinco. Por lo tanto, también debemos resaltar que no importa en qué orden los coloquemos. Simplemente los puse aquí en orden descendente.

Hemos visto dos ejemplos, uno con valores no numéricos y uno con valores numéricos. ¿Qué veremos a continuación? En el siguiente ejemplo vamos a ver qué hacer si tenemos un conjunto muy grande, de hecho, un conjunto infinito.

𝑋 es el conjunto de los números impares mayores que ocho. Expresa 𝑋 usando el método por extensión o por enumeración.

En esta pregunta, si queremos expresar nuestro conjunto y enumerar cada uno de los elementos, vamos a necesitar echar un vistazo a estos dos datos clave. Queremos que el conjunto sea de números impares, pero que contenga solo aquellos que son mayores que ocho. Bueno, tenemos un problema. Los números impares mayores que ocho son muchos. De hecho, son una cantidad ∞ de números. Es decir, nuestro conjunto tendrá ∞ elementos porque seguirá y seguirá y seguirá. Así que, ¿qué podemos hacer?

Primero, lo que vamos a hacer es escribir nuestro primer valor porque el primer número impar que es mayor que ocho es nueve. Y luego, lo que vamos a hacer es enumerar un par de valores más, 11 y 13. Pero luego, en lugar de tener que escribir montones y montones de valores diferentes o muchos elementos diferentes, todo lo que haremos es poner tres puntos, uno después de otro. Y esto significa continuación sin fin, porque, como hemos dicho, habrá un número infinito de elementos diferentes dentro de este conjunto. Por tanto, podemos decir que si 𝑋 es este conjunto de números impares, 𝑋 puede escribirse como nueve, 11, 13, etc. Y lo puse dentro de nuestros paréntesis rizados — que se llaman «llaves», que son parte de nuestra notación de conjunto e indican que se trata de un conjunto.

Hemos visto cómo expresar por extensión (o enumeración) diferentes conjuntos y hemos mostrado cómo podemos hacer esto usando una notación especial. Finalmente, lo que haremos es mostrar cómo enumerar elementos. No se trata ahora de escribir un conjunto formado por estos elementos, sino solo de escribir los elementos como tales elementos.

Escribe los elementos del conjunto de los números impares entre 799 y 805, no incluyendo ninguno de estos dos valores.

La palabra clave aquí es la palabra «elemento» porque indica que queremos escribir las «cosas» que están en nuestro conjunto. Y estas «cosas» se conocen como elementos. También nos es de utilidad la siguiente información. Y es que estamos tratando con números impares. Y deben estar entre 799 y 805, pero sin incluir a uno u otro de estos dos números. De modo que nuestro primer valor no será 799; será 801 porque este es el siguiente número impar. El siguiente número impar que cumple con nuestros criterios es 803 y luego, finalmente, 805. Pero este tampoco se incluirá porque en la pregunta se nos dice que 799 y 805 no están incluidos. Por lo tanto, los elementos del conjunto, los números impares entre, pero sin incluir, 799 y 805 son 801 y 803. Son solo dos números.

Hemos llegado al final de la lección puesto que ya hemos mostrado como expresar conjuntos por extensión. Y hemos expresado por extensión conjuntos de valores numéricos y conjuntos de valores no numéricos. También hemos visto elementos y cómo enumerar elementos individuales. Y hemos mostrado cómo expresar por extensión conjuntos que tienen un número infinito de valores.

Y ahora vamos a ver los puntos clave. El primer punto clave es que un elemento es cada una de las «cosas» que forman un conjunto. Así que cualquier «cosa» que está en un conjunto es un elemento. También hemos visto cómo usamos la notación de conjuntos. Tenemos estos paréntesis rizados, llaves, que indican que algo es un conjunto. Además, hemos mostrado que, si tenemos un número infinito de elementos en un conjunto particular, podemos expresarlo escribiendo los primeros dos o tres elementos y añadiendo después tres puntos, que se llaman «puntos suspensivos», que indican que la lista continúa sin fin. Y hemos mostrado todo esto con ejemplos de conjuntos numéricos y no numéricos. Y un conjunto puede tener cualquier número de elementos y ser definido de muchas formas distintas, lo que nos ayuda a decidir cuál es ese conjunto y cuáles son los elementos que contiene.

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