Lesson Video: Calcular el porcentaje de cambio

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En este vídeo vamos a ver una serie de problemas en los que se nos pide calcular el tanto por ciento de cambio. Vamos a explicar a qué nos referimos cuando hablamos de porcentaje de cambio o cambio porcentual. Y también vamos a exponer los errores más comunes que debemos evitar.

Utilizamos porcentajes como una forma de representar proporciones. Nos ayudan a comparar diferentes situaciones. Por ejemplo, si queremos comprar un cortacésped nuevo, y una marca afirma que alguien ahorró diez minutos cortando el césped con su cortacésped, mientras que otra marca dice que alguien ahorró veinte minutos con su cortacésped, ¿qué marca deberíamos elegir si queremos ahorrar tiempo cortando el césped? Bueno, en primer lugar, depende del tiempo que empleen esas dos personas normalmente cortando el césped, suponiendo que ambas estén usando el mismo cortacésped. En estos problemas debes preguntarte: ¿comparado con qué?

Supongamos que las dos personas estaban usando dos cortacéspedes idénticos antes de probar nuevas marcas. Y que la primera persona tarda, normalmente, unos veinte minutos en cortar el césped, mientras que la segunda tarda, normalmente, unos cincuenta minutos en cortar el césped. Si calculamos el porcentaje de cambio para la primera persona, vemos que hay una reducción de diez minutos con respecto al tiempo inicial de veinte minutos. Como una proporción, esto es menos diez sobre veinte. Que es menos un medio. Así que el tiempo empleado en cortar el césped disminuye en un medio. Para convertir esta proporción en un porcentaje tenemos que multiplicar por cien. Y obtenemos un porcentaje de menos cincuenta por ciento. Así que la primera persona ha reducido el tiempo empleado en cortar el césped en un cincuenta por ciento. Y la segunda persona ha ahorrado veinte minutos respecto a los cincuenta minutos iniciales. Así que la proporción de cambio es menos veinte sobre cincuenta. Y cuando multiplicamos esto por cien para convertir la proporción en un porcentaje, obtenemos una reducción del cuarenta por ciento.

Por lo tanto, aunque la segunda persona haya ahorrado veinte minutos cortando el césped en comparación con los diez minutos que ha ahorrado la primera persona, es una proporción más pequeña del tiempo total que ha empleado cortando el césped con respecto a la primera persona. Eso significa que la marca A ahorra una mayor proporción de tiempo al cortar el césped. Y si la persona B hubiera utilizado el cortacésped nuevo de la marca A, se habría ahorrado el cincuenta por ciento del tiempo al cortar el césped, lo que significa que se habría ahorrado veinticinco minutos en lugar de veinte minutos.

Muy bien, hagamos unos problemas de cambio porcentual.

Un billete de tren cuesta treinta y nueve dólares si se compra el mismo día del viaje. Si se compra el día anterior al viaje, cuesta solo treinta dólares. Calcula el porcentaje de descuento por comprar el billete con antelación, y redondea la respuesta al tanto por ciento más cercano.

Queremos hallar el porcentaje de descuento por comprar el billete con antelación. El precio original es treinta y nueve dólares. Y, si obtenemos el precio rebajado, pagamos solo treinta dólares. Por lo tanto, pasamos de treinta y nueve dólares a treinta dólares, por lo que nos ahorramos nueve dólares. Así que la proporción del precio total que hemos ahorrado es menos nueve sobre treinta y nueve. Y si queremos convertir esta proporción en un porcentaje, tenemos que multiplicar por cien. Cuando escribimos esto en la calculadora obtenemos menos veintitrés con cero siete seis nueve dos tres, etcétera. Por lo tanto, la cantidad que nos estamos ahorrando, al tanto por ciento más cercano, es un veintitrés por ciento. Además, el hecho de que sea un número negativo significa que el precio se ha reducido. Significa que tenemos un ahorro o un descuento. Así que nuestra respuesta es que, al tanto por ciento más cercano, el descuento que obtenemos es del veintitrés por ciento.

Ahora tenemos que calcular el porcentaje de cambio, al tanto por ciento más cercano, de cuatrocientos noventa y tres a trescientos ochenta y seis, y debemos indicar si se trata de un aumento o de una disminución. Bien, pasamos de cuatrocientos noventa y tres a trescientos ochenta y seis. Y esto supone una disminución de ciento siete. Por lo tanto, para calcular el cambio porcentual debemos saber que menos ciento siete es el cambio, y que la cantidad inicial era cuatrocientos noventa y tres. Así que tenemos menos ciento siete sobre cuatrocientos noventa y tres.

Para convertir esta proporción en un porcentaje multiplicamos por cien. Y cuando escribimos esto en la calculadora obtenemos menos veintiuno con siete cero tres ocho cinco, etcétera. Si ignoramos todo lo que viene después del punto decimal, vemos que tenemos menos veintiuno por ciento. Sin embargo, si echamos una ojeada a la primera cifra decimal vemos que es un siete. Un siete es cinco o más, así que vamos a tener que redondear veintiuno hacia arriba, a veintidós. De este modo, al tanto por ciento más cercano, el cambio es del veintidós por ciento. Y el hecho de que el valor sea negativo significa que el valor ha bajado, ha disminuido. Así que la respuesta es que ha habido una disminución del veintidós por ciento.

Fred ha pagado cincuenta dólares por un jersey. Luego, se ha enterado de que su amigo Ted se ha comprado exactamente el mismo tipo de jersey, y que ha pagado sesenta y cinco dólares por él. Ted ha dicho que ha pagado un treinta por ciento más que Fred, pero Fred ha dicho que solo ha pagado un veintitrés por ciento menos que Ted. ¿Quién tiene razón?

Primero, veamos cuánto dinero más que Fred ha pagado Ted. Fred ha pagado cincuenta dólares, y Ted ha pagado sesenta y cinco dólares. Eso significa que, en comparación con Fred, Ted ha pagado quince dólares más. Por lo tanto, cuando Ted se compara con Fred, el punto de partida es cincuenta dólares. Así que Ted paga quince dólares además de los cincuenta dólares. Para convertir esta proporción en un porcentaje tenemos que multiplicar por cien. Así que tenemos un aumento del treinta por ciento.

Ted ha dicho que ha pagado un treinta por ciento más que Fred. Bien, esto es correcto. Pero cuando Fred ha dicho que ha pagado un veintitrés por ciento menos que Ted, se estaba comparando con el valor inicial del precio de Ted, sesenta y cinco dólares. Aun así, la diferencia en el precio sigue siendo de quince dólares. Fred ha pagado quince dólares menos que Ted.

Sin embargo, cuando estamos calculando la proporción, esos quince dólares se han de comparar con los sesenta y cinco dólares del precio inicial que ha pagado Ted por el jersey. De nuevo, multiplicamos esta cantidad por cien para pasarla a porcentaje. Y eso es menos veintitrés con cero siete seis nueve dos tres, etcétera. Bueno, al tanto por ciento más cercano, Fred ha pagado un veintitrés por ciento menos que Ted. Así que parece que Fred también tiene razón. Por lo tanto, la respuesta a la pregunta «¿Quién tiene razón?» es «Los dos».

En este problema se nos dice que, según las Naciones Unidas, la población mundial era la que se muestra en la tabla siguiente en los años mil novecientos, mil novecientos cincuenta y dos mil. Tenemos que calcular el porcentaje de aumento entre el año mil novecientos y el año mil novecientos cincuenta y entre el año mil novecientos cincuenta y el año dos mil. Y tenemos que redondear las respuestas a una cifra decimal. Las cifras que tenemos son: en el año mil novecientos la población era de uno con sesenta y cinco millardos de personas, en el año mil novecientos cincuenta la población era de dos con cincuenta y dos millardos, y en el año dos mil era de seis con cero seis millardos.

Vale, vamos a hacer dos cálculos distintos: vamos a pasar del año mil novecientos al año mil novecientos cincuenta y luego del año mil novecientos cincuenta al año dos mil. Bueno, entre mil novecientos y mil novecientos cincuenta la población pasó de uno con sesenta y cinco millardos de personas a dos con cincuenta y dos millardos, lo que supuso un aumento de cero con ochenta y siete millardos. Y entre el año mil novecientos cincuenta y el año dos mil la población pasó de dos con cincuenta y dos millardos a seis con cero seis millardos, lo que supuso un aumento de tres con cincuenta y cuatro millardos.

Para el primer caso, el aumento fue de cero con ochenta y siete millardos. Y esto es con respecto a la cantidad inicial de uno con sesenta y cinco millardos. Así que esa es la proporción. Y, para convertir esto en un porcentaje, vamos a multiplicar por cien. Y obtenemos un porcentaje de aumento de cincuenta y dos con siete dos siete dos, etcétera.

Luego, entre el año mil novecientos cincuenta y el año dos mil, el aumento fue de tres con cincuenta y cuatro millardos, y eso fue con respecto al valor inicial de dos con cincuenta y dos millardos. Si ahora multiplicamos por cien para expresar esto como un porcentaje, obtenemos un porcentaje de ciento cuarenta con cuatro siete seis uno nueve cero, y una serie infinita de cifras.

Bien, si leemos de nuevo el problema, vemos que tenemos que expresar las respuestas con una cifra decimal. Vamos a fijarnos en la primera respuesta de aquí, cincuenta y dos con siete dos, que, con una cifra decimal, es cincuenta y dos con siete. La siguiente cifra es un dos, así que no tenemos que redondear hacia arriba. Y en el segundo caso, entre el año mil novecientos cincuenta y el año dos mil, tenemos ciento cuarenta con cuatro. Pero la siguiente cifra es un siete, así que tenemos que redondear el cuatro hacia arriba, a un cinco. Ya tenemos nuestras respuestas: del año mil novecientos al año mil novecientos cincuenta hubo un aumento del cincuenta y dos con siete por ciento, y del año mil novecientos cincuenta al año dos mil hubo un aumento del ciento cuarenta con cinco por ciento.

Bien, si hacemos algo de redondeo, podemos decir que, entre el año mil novecientos y el año mil novecientos cincuenta la población aumentó en un cincuenta por ciento. Es decir, una cantidad de personas equivalente a la mitad de las que vivían en mil novecientos se habían sumado a la población en mil novecientos cincuenta. Pero, además, entre mil novecientos cincuenta y dos mil, la población aumentó en más de un cien por cien. En ese periodo de cincuenta años la población hizo más que duplicarse, pues, de hecho, casi aumentó en una vez y media su valor original.

Hemos visto en el primer ejemplo que tener un número más grande aquí — un aumento neto mayor o una reducción neta mayor — no significa que haya habido un cambio porcentual mayor, pues hay que compararlo con el valor inicial. Por lo tanto, en el caso del cortacésped, aunque teníamos un mayor ahorro de veinte minutos, era un menor porcentaje del valor original. En este otro caso, sin embargo, el aumento de tres con cincuenta y cuatro millardos era mayor, incluso en comparación con el valor inicial aquí. Era ciento cuarenta por ciento en vez de solo cincuenta y dos con siete por ciento.

En conclusión, hay que completar los cálculos de los tantos por ciento para obtener la idea completa y poder hacer así una mejor comparación entre dos conjuntos de cifras.