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En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la suma de una progresión geométrica infinita. Antes de comenzar vamos a recordar lo que es una progresión geométrica.
Una progresión geométrica es una sucesión que tiene una razón constante entre términos consecutivos. Es decir, para pasar de un término al siguiente, tenemos que multiplicar por el mismo número, el cual se llama razón. Y, por lo tanto, para hallar el valor de la razón, dividimos cualquier término por el término que lo precede. Para una progresión geométrica con un primer término 𝑎 y una razón 𝑟, el término general o término 𝑛-ésimo viene dado por 𝑢 sub 𝑛 igual a 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Recordemos, también, que podemos hallar la suma de una progresión geométrica finita. Y cuando sumamos los términos de una progresión, lo que obtenemos lo llamamos serie.
Para una serie geométrica con primer término 𝑎 y razón constante 𝑟, la suma de los 𝑛 primeros términos es 𝑎 por uno menos 𝑟 elevado a 𝑛 partido por uno menos 𝑟. Recordemos, además, que esto es lo mismo que 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno partido por 𝑟 menos uno. Podemos usar cualquiera de las dos formas de la fórmula, lo que puede ser útil si tenemos que efectuar cálculos a mano. Cuando 𝑟 es mayor que la unidad, tendemos a usar esta forma. Y si 𝑟, la razón, es menor que la unidad, tendemos a usar esta forma.
Las fórmulas que hemos visto hasta ahora son muy útiles para resolver problemas de series geométricas. Pero lo que nos interesa aquí es explorar cómo podemos usar estas últimas fórmulas para hallar la suma de todos los términos en una serie geométrica. Puede que estés pensando que eso no es posible. Una serie contendrá un número infinito de términos, por lo que su suma será un número infinitamente grande. Y, hasta cierto punto, esto es cierto. Consideremos, por ejemplo, la progresión dos, cuatro, ocho, 16 y 32. La razón constante aquí es dos. Y a medida que avanzamos en esta progresión, los términos se hacen más y más grandes. Por lo tanto, la suma de todos estos términos no es un número que podamos calcular.
Pero ¿qué ocurre con esta otra progresión; 32, 16, ocho, cuatro, dos, etcétera? Esta vez, la razón es un medio. Por lo tanto, los términos se convierten en la mitad cada vez. Esto significa que nuestros términos son cada vez más pequeños. De hecho, cuando el número de términos en nuestra serie geométrica tiende a ∞, los términos se acercan a cero. Esto significa que la suma de estos términos se acercará a un valor finito. Pero ¿cuál es la diferencia aquí? ¿Por qué podemos calcular la suma de todos los términos de nuestra segunda progresión, pero no de la primera? El motivo es porque los términos se hacen suficientemente más pequeños cada, y esto solo ocurre cuando la razón constante es un número menor que la unidad.
De hecho, vamos a ser un poco más precisos aquí y vamos a decir que, si el valor absoluto de la razón constante es menor que la unidad —es decir, si 𝑟 es mayor que menos uno y menor que uno— entonces la serie geométrica es convergente. Y la palabra convergente significa que podemos hallar la suma hasta ∞ de la serie. Entonces, ¿cómo podemos usar este hecho para hallar la suma de todos los términos de la progresión? Consideremos de nuevo la fórmula 𝑆 sub 𝑛 y pensemos en lo que pasa cuando 𝑛 tiende a ∞. Como el módulo de 𝑟 es menor que uno —es decir, es un número entre menos uno y uno— cuando 𝑛 se hace más grande, 𝑟 elevado a 𝑛 se hará más pequeño. Cuando 𝑛 tiende a ∞, 𝑟 elevado a 𝑛 se acerca a cero. Por lo tanto, la suma a 𝑛 debe acercarse a 𝑎 por uno menos cero partido por uno menos 𝑟, que es 𝑎 partido por uno menos 𝑟.
Formalicemos esto. Decimos que la suma hasta ∞ de una serie geométrica convergente es igual a 𝑎 partido por uno menos 𝑟. ¡Ojo!: aquí es importante que te des cuenta de que, si la serie no es convergente, o sea, si el módulo de la razón constante no es menor que la unidad, no podemos hallar la suma de un número infinito de términos. Ahora que ya tenemos la definición de progresión geométrica, veamos algunas cuestiones. En la primera se nos pedirá identificar las progresiones que pueden ser sumadas hasta ∞.
¿Cuál de las siguientes progresiones geométricas pueden ser sumadas hasta ∞?
Se nos dan cinco progresiones. Comenzamos recordando que una progresión geométrica es aquella que tiene un cociente constante entre términos consecutivos. El término general o 𝑛-ésimo de una progresión geométrica es 𝑎𝑟 elevado a 𝑛 menos uno, donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón constante. Podemos hallar la suma de los términos de una progresión geométrica hasta ∞ si la serie es convergente. Y esto ocurre cuando el módulo de 𝑟 —o sea, el valor absoluto de 𝑟— donde 𝑟 es la razón constante, es menor que la unidad.
Se nos dice que todas estas progresiones son geométricas, por lo que nuestro objetivo aquí es simplemente hallar la razón. Comencemos con la progresión (A). Es ocho por seis elevado a 𝑛 menos cinco. Vamos a escribir esta secuencia en esta forma: 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno. Y usamos una de las propiedades de las potencias para hacerlo. Sabemos que cuando multiplicamos dos potencias con la misma base, simplemente sumamos sus exponentes. Por lo tanto, podemos decir que «seis elevado a 𝑛 menos cinco es lo mismo que seis elevado a menos cuatro por seis elevado a 𝑛 menos uno». Seis elevado a menos cuatro es uno partido por seis elevado a cuatro. Así que reescribimos esto como ocho partido por seis a la cuarta multiplicado por seis elevado a 𝑛 menos uno.
Si comparamos esto con el término general o 𝑛-ésimo de una progresión geométrica, vemos que 𝑎, que es el primer término de esta progresión, es ocho partido por seis a la cuarta potencia. 𝑟, sin embargo, es seis. Y, por supuesto, seis no es menor que la unidad. Así que la progresión (A) no es convergente, por lo que no podemos hallar su suma hasta ∞.
Consideremos la progresión (B). Esta vez, recordemos que podemos hallar la razón constante dividiendo cualquier término por el término que lo precede. Así que en este caso dividimos tres veintiochoavos por un veintiochoavo. Y como el denominador de estas fracciones es el mismo, eso es tres dividido por uno, que es tres. Y tres no es menor que la unidad. Por lo tanto, la progresión (B) no es convergente y no puede ser sumada hasta ∞.
Consideremos ahora la progresión (C). Vamos a hallar la razón dividiendo el segundo término por el primero. Recuerda que obtendríamos la misma respuesta si dividiéramos, por ejemplo, el tercer término por el segundo. Un método para dividir fracciones es crear un denominador común. Si multiplicamos 263 por cinco, obtenemos 1315. Así que 263 equivale a mil trescientos quince quintos. Seguidamente dividimos los numeradores. Y hallamos que 𝑟 es igual a menos 789 partido por 1315. Este valor de 𝑟 está entre menos uno y uno. Por lo tanto, podemos decir que el valor absoluto de la razón constante en esta progresión es menor que la unidad. Esto significa que la progresión es convergente y se puede sumar hasta ∞.
Vamos a comprobar las otras dos progresiones. Dividiendo el segundo término por el primero en la progresión (D), vemos que el valor absoluto de la razón constante no es menor que la unidad, y por lo tanto la progresión (D) no nos sirve. Y obtenemos la misma conclusión para la razón en la progresión (E). Esto nos confirma que, de las progresiones geométricas que nos dieron, la única que puede ser sumada hasta ∞ es (C).
En el siguiente ejemplo nos piden calcular la suma de una serie geométrica.
Halla la suma de la serie geométrica 13 medios más 13 cuartos más 13 octavos, etcétera.
No se nos dice el número de términos que debemos sumar en esta serie geométrica. Así que suponemos que tenemos que hallar la suma de todos los términos. Es decir, tenemos que hallar la suma hasta ∞ de esta serie. Recordemos que para una serie geométrica cuyo primer término es 𝑎 y cuya razón constante es 𝑟, la suma hasta ∞ es 𝑎 partido por uno menos 𝑟. Pero esta fórmula solo puede aplicarse si el valor absoluto de la razón constante es menor que uno. Por lo tanto, lo primero que vamos a hacer es comprobar que esta serie geométrica es convergente, que el valor absoluto de 𝑟 es menor que la unidad.
Como ya hemos visto, en una progresión geométrica podemos hallar el valor de la razón dividiendo cualquier término por el término anterior. Dividimos el segundo término por el primero. Al hacerlo, obtenemos que la razón constante es 13 cuartos dividido por 13 medios. Y una técnica que tenemos para dividir fracciones es hacer que los denominadores de esas fracciones sean iguales, o sea, crear un denominador común. Si multiplicamos el numerador y el denominador de 13 medios por dos, obtenemos 26 cuartos. Y una vez que tenemos un denominador común, solo tenemos que dividir los numeradores. Por lo tanto, la razón constante es 13 partido por 26, que es un medio. El valor absoluto de un medio es un medio, que es menor que la unidad. Esto significa que nuestra serie geométrica es convergente y, por lo tanto, podemos hallar la suma a ∞.
𝑎, el primer término de nuestra serie, es 13 medios. Y acabamos de ver que 𝑟 es igual a un medio. Esto significa que la suma a ∞ de nuestra serie es 13 medios dividido por uno menos un medio. Uno menos un medio es un medio. Así que nos queda 13 medios dividido por un medio. Y como hay un denominador común, solo tenemos que dividir los numeradores. Así, obtenemos que la suma a ∞ es 13 dividido por uno, que es 13. Como la suma a ∞ es la suma de todos los términos de nuestra serie geométrica, hemos terminado. La suma de la serie geométrica que se nos ha dado es 13.
Veamos ahora una cuestión en la que se nos pide hallar la suma de una progresión geométrica conocidos dos de sus términos.
Halla la suma de una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 171 y que el cuarto término es 171 partido por 64.
Sabemos que podemos hallar la suma de una progresión geométrica convergente usando la fórmula suma hasta ∞ es igual a 𝑎 partido por uno menos 𝑟. Y dijimos que una progresión es convergente si el valor absoluto de su razón es menor que la unidad. 𝑎 es el primer término en la progresión, y se nos dice que el primer término es 171. Pero, ¿cuál es la razón constante? Vamos a usar la fórmula general del término 𝑛-ésimo de una progresión geométrica para hallarla.
Es 𝑎 por 𝑟 elevado a 𝑛 menos uno, donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón constante. Combinamos con el hecho de que el cuarto término de la progresión es 171 partido por 64. Por lo tanto, 𝑢 sub cuatro es 171, que es 𝑎, por 𝑟 elevado a cuatro menos uno o 𝑟 al cubo. Pero, de hecho, conocemos el valor de 𝑢 sub cuatro. Es 171 partido por 64. Así que nuestra ecuación es 171 partido por 64 igual a 171 por 𝑟 al cubo. Dividimos ambos lados de la ecuación por 171. Y obtenemos que 𝑟 al cubo es igual a uno partido por 64.
Podemos calcular 𝑟 haciendo la raíz cúbica en ambos lados, y hallamos que 𝑟 es igual a la raíz cúbica de uno partido por 64, que es igual a un cuarto. El valor absoluto de un cuarto es un cuarto; que es menor que la unidad. Así que hemos confirmado que la progresión geométrica es convergente. Y conocemos el valor de 𝑎, que es 171, y de 𝑟.
Sustituyamos estos datos en la fórmula. Obtenemos que la suma a ∞, o sea, la suma de todos los términos de nuestra progresión, es 171 partido por uno menos un cuarto. Que es 171 partido por tres cuartos. Como sabemos, para dividir por una fracción multiplicamos por el recíproco de esa fracción. Multiplicamos 171 por cuatro tercios. Seguidamente, cancelamos en cruz dividiendo 171 y tres por tres, por lo que nos queda 57 por cuatro partido por uno, que es 57 por cuatro. Y eso es igual a 228. De esta forma, hemos hallado que la suma de una progresión geométrica infinita cuyo primer término es 171 y cuyo cuarto término es 171 partido por 64, es 228.
En el último ejemplo vamos a aplicar este procedimiento para convertir un decimal periódico en una fracción.
Expresa el número decimal periódico 0.375 como una fracción.
Puede, que, a primera vista, parezca que esto no tiene nada que ver con hallar la suma de una serie geométrica. Pero vamos a considerar el decimal 0.375 periódico y buscar una forma alternativa de escribirlo. Sabemos que cada una de las cifras decimales, tres, siete y cinco, se repiten. Así que el número decimal es 0.375375375, etcétera. Podemos dividir este número decimal, y decir que es la suma de 0.375, 0.000375, 0.000000375, y así sucesivamente. Para facilitarnos las cosas podemos expresar cada número decimal como una fracción, y obtenemos 375 partido por 1000, 375 partido por un millón, etcétera.
De hecho, ahora tenemos una serie geométrica. La razón constante en esta serie es un milésimo. Para comprobar si esto es cierto podemos dividir cualquier término por el término que lo precede. Y como el valor absoluto de un milésimo es un milésimo y eso es menor que la unidad, la serie geométrica que hemos creado es convergente. Y como es convergente, podemos calcular su suma hasta ∞. Es decir, podemos sumar todos sus términos. Para ello, usamos la fórmula 𝑎 partido por uno menos 𝑟, donde 𝑎 es el primer término y 𝑟 es la razón constante.
Vemos que el primer término de nuestra serie es 375 partido por 1000, y que 𝑟 es uno partido por 1000. Y, por lo tanto, nuestra suma a ∞ debe ser 375 partido por 1000 dividido por uno menos uno partido por 1000. El denominador de esta fracción se simplifica a 999 partido por 1000. Y vemos que estamos dividiendo un par de fracciones con un denominador común. Por lo que podemos calcular directamente el cociente dividiendo los numeradores. Al hacerlo, obtenemos 375 partido por 999. Siempre que sea posible, debemos simplificar nuestra fracción. Vemos que podemos dividir tanto el numerador como el denominador de nuestro cociente por tres. Al hacerlo, hallamos que 375 dividido por tres es 125 y que 999 dividido por tres es 333. Por lo tanto, la suma de nuestra serie geométrica que dijimos que era igual al número decimal periódico 0.375, es 125 partido por 333. Así que hemos escrito nuestro número decimal periódico como una fracción constante.
Veamos los puntos clave que hemos visto en esta lección. En esta lección, hemos aprendido que, si el valor absoluto de la razón constante 𝑟 de una progresión geométrica es menor que la unidad, entonces esa progresión es convergente. Hemos visto, además, que llamamos serie a la suma de los términos de una progresión geométrica. Y que, si el valor absoluto de 𝑟 es menor que la unidad para esta serie, decimos que la serie es convergente porque podemos calcular su suma. Es decir, podemos hallar la suma de todos los términos de la progresión. A esto lo llamamos la suma hasta ∞ de la serie. Y se calcula dividiendo 𝑟, 𝑎 que es el primer término, por uno menos 𝑟, siendo 𝑟 la razón constante. Por último, vimos que, expresando un número decimal periódico como una serie geométrica, podemos usar este método para convertirlo en una fracción.