Vídeo: Calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos

En este video, vamos a calcular la probabilidad de que, de dos sucesos no necesariamente incompatibles, ocurra uno, el otro o los dos, haciendo uso de la probabilidad de su intersección.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a ver sucesos que no son necesariamente mutuamente excluyentes, y vamos a examinar la probabilidad de que uno u otro o los dos ocurran. Esto puede tomarnos un poco de tiempo.

Pensemos en una clase de 30 niños. Digamos que 15 de ellos tocan instrumentos musicales regularmente, y 20 de ellos practican algún tipo de deporte en algún equipo. 15 más 20 son 35, que es más que 30. Lo que significa que algunos de los niños tocan un instrumento y practican un deporte. Si nos dicen que 12 de ellos hacen ambas cosas, tocan un instrumento y practican un deporte, podemos crear un diagrama que muestre toda esta información de forma clara. Así que vamos a hacer un diagrama de Venn. Antes de empezar, asignemos 𝐼 al conjunto de niños que tocan un instrumento, y 𝑆 al conjunto de niños que practican un deporte. Tenemos una clase con un total de 30 estudiantes representada en el diagrama. Tenemos a los que tocan un instrumento en el conjunto del lado izquierdo, y a los que practican un deporte en el conjunto del lado derecho. Correcto. Y sabemos que 12 estudiantes hacen ambas cosas. En esta área de intersección en el medio, hay 12 estudiantes que están dentro del conjunto de instrumentos y también dentro del conjunto de deportes. Si 15 de ellos tocan un instrumento, pero 12 de ellos también practican un deporte, porque eso es lo que hemos dicho aquí, 15 menos 12 nos deja con tres estudiantes que únicamente tocan un instrumento y no practican deportes. Y sabemos que en total 20 practican deportes. 12 de ellos también tocan un instrumento, así que 20 menos 12 nos dice que solo ocho de ellos practican deportes, pero no tocan un instrumento.

La clase está formada por 30 estudiantes, tres de los cuales únicamente tocan un instrumento, 12 hacen las dos actividades, instrumentos y deportes, y ocho solo practican un deporte. Y si restamos estos números de 30, obtenemos siete como respuesta. Obtenemos siete, es decir que siete de los estudiantes no practican deportes ni tocan un instrumento. Podemos usar nuestra técnica de conteo para ayudarnos a calcular las probabilidades si seleccionamos un niño al azar. Al hacer esto, cada niño tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Así que la probabilidad de que toque un instrumento, 𝑃𝐼, es simplemente igual a, bueno, hay tres que solo tocan un instrumento y hay 12 que también practican un deporte, así que si los sumamos, son 15 en total quienes tocan un instrumento de las 30 personas en la clase, por lo que la probabilidad de que toquen un instrumento es 15 de 30, 15 treintavos. Para practicar un deporte, nuevamente, tenemos 12 que practican un deporte y un instrumento y ocho que solo practican un deporte, así que suma esos dos y eso nos dirá qué proporción de los 30 practican deporte. Y esto es, de hecho, es lo que nos dijeron al comienzo de la pregunta. Y, finalmente, ya hicimos los cálculos para esta, la probabilidad de que no toquen un instrumento y no practiquen un deporte, había siete de 30 estudiantes en esta categoría en la clase, de modo que la probabilidad de que no toquen un instrumento ni practiquen un deporte es siete sobre 30.

Introduzcamos algo de notación. 𝐼 intersección 𝑆, este símbolo de aquí, este es el grupo de estudiantes en la intersección. Están en ambos grupos, en este grupo de aquí. Estos 12 estudiantes están en el grupo de los instrumentos y también en el de los deportes. Siempre que seleccionemos un estudiante al azar, todos tienen la misma probabilidad de ser elegidos, la probabilidad de 𝐼 intersección 𝑆, la probabilidad de que toquen un instrumento y practiquen un deporte es 12 sobre 30 porque hay 12 en esa categoría de 30 personas en total en la clase.

Este símbolo significa 𝐼 unión 𝑆 y es un conteo de 23 estudiantes que tocan un instrumento o practican un deporte, o ambas cosas. Así que están el conjunto 𝐼, o en el 𝑆, o en ambos. Y nos damos cuenta de que debemos tener mucho cuidado al resolverlo. Si hubiéramos sumado los 15 que tocan un instrumento más los 20 que practican deporte, habríamos contado estos 12 aquí en ambos grupos. Así que los habríamos contado dos veces obteniendo una respuesta con un error de 12 por exceso. En definitiva, si escogemos estudiantes al azar, todos con la misma probabilidad de ser escogidos, para calcular la probabilidad de 𝐼 unión 𝑆, solo tenemos que sumar estos tres números aquí para obtener el total de estudiantes que están en estas tres, en estas dos categorías.

Una última cosa, la prima. Este símbolo de aquí, podemos pronunciarlo 𝐼 prima o complemento de 𝐼; significa no 𝐼. Y estos son los estudiantes que no tocan un instrumento. Así que puede ser uno de estos ocho que no tocan instrumentos, pero practican un deporte, o puede ser uno de estos siete que no tocan un instrumento ni practican un deporte. Ya que los estudiantes, o bien tocan un instrumento o bien no tocan un instrumento, podemos decir esto. Es absolutamente seguro, una probabilidad de uno, que toquen o no toquen un instrumento. Si sumamos la probabilidad de que toquen un instrumento a la probabilidad de que no toquen un instrumento, debe salir uno. Así que, si queremos calcular la probabilidad de que un estudiante no toque un instrumento, podemos reorganizar la fórmula 𝑃𝐼 prima como igual a uno menos 𝑃𝐼, la probabilidad de que toquen un instrumento. Recordemos que conocemos la probabilidad de que toquen un instrumento y es de 15 sobre 30. De hecho, nos dieron eso en la pregunta. Por tanto, la probabilidad de que no toquen un instrumento es uno menos eso, que también resulta ser 15 sobre 30.

Y aplicando el mismo principio con aquellos que practican o no deportes, la probabilidad de que alguien no practique un deporte es uno menos la probabilidad de que practique un deporte. Y nos dijeron que la probabilidad de que practiquen deportes es 20 sobre 30 porque 20 de 30 estudiantes practican deportes. Uno menos 20 sobre 30 nos da una respuesta de 10 treintavos o un tercio. Por lo tanto, la probabilidad de que no practiquen deportes es 10 treintavos.

Bueno. Una cosa más. Probemos un par de estas técnicas. ¿Qué crees que 𝐼 unión 𝑆 todo con prima significa? 𝐼 unión 𝑆 es la intersección, es el conjunto completo de estudiantes que practican un deporte o tocan un instrumento o ambas cosas. Es decir, todas las personas que tenemos aquí. Eso es 𝐼 unión 𝑆. Ahora queremos la prima, el complemento de esto. Es toda la gente fuera del grupo. Estos siete estudiantes aquí. Por tanto, el diagrama de Venn nos ayuda a visualizar lo que esto significa. Vamos a hacer esto un poco más formal. La probabilidad, si todos los estudiantes son escogidos al azar, de 𝐼 unión 𝑆 prima, todos los que no están en ese grupo, es uno menos la probabilidad de 𝐼 unión 𝑆. Y puesto que hay 23 estudiantes en 𝐼 unión 𝑆, que tocan un instrumento, practican un deporte o ambas cosas, la probabilidad de escoger uno de ellos es de 23/30. La probabilidad de seleccionar alguien que no toque un instrumento ni practique un deporte es uno menos 23/30. Y esto está muy bien. Esta es la respuesta que podríamos haber obtenido por simple inspección visual. Pero ahora sabemos formas diferentes en las que podemos calcular lo mismo. Podemos verificar nuestras respuestas y podemos enfocar las cosas de diferentes maneras cuando tenemos diferentes preguntas.

Resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora. Y esto es, en realidad, el resultado que estamos tratando de hallar. La probabilidad de 𝐴 unión 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 más la probabilidad de 𝐵 menos la probabilidad de 𝐴 intersección 𝐵. ¿Cómo funciona esto? Bueno, la probabilidad de 𝐴 es esta región de aquí, es decir que todos los que están aquí están en el grupo 𝐴. Y la probabilidad de 𝐵 son todas estas personas aquí. Ahora bien, podemos ver que las personas que están en esta región de intersección, hemos contado a estas personas dos veces. Una vez como elementos del grupo 𝐵 y otra como elementos del grupo 𝐴. Es por esto que estamos restando 𝐴 intersección 𝐵 del total para, básicamente, eliminar los elementos que habíamos contado dos veces al hacer nuestro cálculo. Una vez que hemos entendido esto, vemos que a veces es conveniente hacer un diagrama de Venn, pero no tenemos que dibujar un diagrama de Venn para cada pregunta, podemos usar la fórmula directamente para hacer algunos de estos cálculos para algunas de nuestras preguntas. Veamos un ejemplo en donde hacemos esto.

La pregunta nos pide hallar la probabilidad de obtener un número impar o primo al lanzar un dado de seis caras. La parte que dice impar o primo nos indica que estamos tratando con la unión de impar y primo. De modo que puede ser impar o primo o ambos, cuando lanzamos este dado.

Veamos las definiciones de nuestros sucesos. Estamos definiendo un suceso impar como obtener un número impar, por lo que es uno, tres o cinco. Todo lo cual es igualmente probable cuando lanzamos un dado. Y el suceso primo es cuando obtenemos un número primo, los números primos entre uno y seis son dos, tres y cinco. Y la pregunta nos pide la probabilidad de obtener un número impar o uno primo, que es lo mismo que impar unión primo. Y como se trata de un dado que tiene la misma probabilidad de caer en cualquiera de sus caras, podemos decir que para calcular la probabilidad de obtener un número impar, podemos usar la técnica de conteo, tres formas de entre un total de seis. Y lo mismo para los números primos, hay tres formas de obtener un número primo de entre los seis resultados posibles que se pueden obtener al lanzar un dado de seis caras.

Para calcular la probabilidad de impar unión primo, vamos a sumar la probabilidad de impar más la probabilidad de primo. Y después restaremos la intersección de los dos, la probabilidad de intersección de los dos. Lo siguiente que necesitamos calcular, es cuál es la probabilidad de obtener un número que sea impar y primo a la vez. Si miramos a estas dos listas, uno es impar pero no es primo, dos es primo pero no es impar. Tres y cinco son los únicos elementos en ese conjunto. Hay dos formas de obtener un número que es impar y primo de entre los seis resultados posibles. Por lo tanto, usando la fórmula, la probabilidad de primo unión impar es la probabilidad de impar más la probabilidad de primo menos la probabilidad de la intersección de impar y primo. Y ahora, sustituyendo los números que hemos hallado, tres sextos más tres sextos menos dos sextos, son cuatro sextos.

Y ahora una comprobación mental rápida, lo cual tiene sentido, ¿verdad?, porque cuatro de los seis números de uno a seis son impares o primos o ambos. Estos son uno, dos, tres y cinco.

Bien. Aquí tenemos otra pregunta.

En una encuesta realizada a personas que comprabas helados en un café se halla que al 60 por ciento le gusta la fresa y al 40 por ciento el pistacho. Los estudios muestran que al 70 por ciento le gusta la fresa, el pistacho, o ambos. ¿A qué porcentaje solo le gusta la fresa?

Primero, vamos a definir nuestros sucesos. Digamos que 𝑆 es el suceso de que a una persona le gusta la fresa, y 𝑃 el suceso de que a una persona le gusta el pistacho. Y simplemente reemplazando con los números de la pregunta, la probabilidad de que les guste la fresa es 60 por ciento, esto es cero punto seis, la probabilidad de que les guste el pistacho es 40 por ciento, eso es decir cero punto cuatro, y la probabilidad de que les guste uno de los dos o ambos es cero punto siete, pues 70 por ciento, como probabilidad es cero punto siete.

Nuestra fórmula nos dice que la probabilidad de 𝑆 unión 𝑃, la probabilidad de que les guste fresa, pistacho o ambos, es igual a la probabilidad de que les guste la fresa más la probabilidad de que les guste el pistacho menos la probabilidad de la intersección, recuerda que hemos contado dos veces esa intersección. Así que necesitamos restarla una vez. Estamos buscando el porcentaje al que le gustan los dos sabores. Y es esta proporción aquí. La probabilidad de 𝑆 intersección 𝑃, de que les gusten ambos sabores fresa y pistacho. Podemos reorganizar esta ecuación, sumando la probabilidad de 𝑆 intersección 𝑃 a ambos lados y restando la probabilidad de 𝑆 unión 𝑃 de ambos lados. Y ahora podemos sustituir los valores que tenemos. Eso es cero punto seis más cero punto cuatro menos cero punto siete, que es igual a cero punto tres. En otras palabras, al 30 por ciento de las personas encuestadas le gustan los helados de fresa y los de pistacho.

La última parte de la pregunta, a qué porcentaje le gusta solo la fresa. O dicho de otro modo, a qué porcentaje no le gusta el pistacho. Acabamos de hallar que el área de intersección es cero punto tres. La pregunta nos dice que la probabilidad de que les guste la fresa es cero punto seis. Por consiguiente, cero punto tres es esto de aquí. Y tenemos que restarlo de cero punto seis para saber cuánto nos queda. Y esta región es, podemos llamarla 𝑆 intersección 𝑃 prima, es la intersección de a quienes les gusta la fresa y no les gusta el pistacho. Y esta es la probabilidad de que les guste la fresa menos la probabilidad de que les gusten los dos sabores. Esto es cero punto seis menos cero punto tres, que es nuevamente cero punto tres. Tenemos este resultado final, 30 por ciento, es decir cero punto tres para el helado de fresa. Cero punto seis menos cero punto tres es cero punto tres. Al 30 por ciento de las personas encuestadas solo les gusta la fresa y no les gusta el pistacho. De modo que podemos escribir esto como nuestra respuesta también.

Los mejores consejos aquí son, primero, definir claramente nuestros sucesos, y, segundo, usar la fórmula que dice que la unión de dos sucesos es igual a la probabilidad de 𝑆 más la probabilidad de 𝑃 menos la probabilidad de la intersección de esos dos sucesos. Además, esta técnica de usar el diagrama de Venn para ayudarnos a organizar nuestros pensamientos es realmente útil. Y asegurarnos de que la respuesta sea clara y precisa al final.

Muy bien. Y si hay una cosa que debes recordar de este video, y debe ser esta. La probabilidad de 𝐴 unión 𝐵 es igual a la probabilidad de 𝐴 más la probabilidad de 𝐵 menos la parte que contamos dos veces, la intersección de esas dos áreas.

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